二分查找(x的平方根)(4)

https://blog.csdn.net/2601_95366422/article/details/158690947

上节课连接

一.题目

二.思路讲解

对于求一个非负整数 x 的算术平方根（要求返回整数部分），我们首先需要判断这个问题是否具备二分性 。所谓二分性，就是我们可以通过某种规则将搜索区间一分为二，并且能够确定目标值在哪一半。这里，算术平方根的值一定落在区间 [0, x] 内，而且这个区间是单调递增 的------随着数值增大，其平方也增大。正是这种单调性 赋予了问题二分性 ，因此我们可以采用二分查找来逼近答案。

接下来要确定使用左端点 还是右端点 模板。我们需要找到的是满足 mid * mid <= x 的最大 mid 值，也就是最后一个满足条件的数。左端点模板用于寻找第一个满足某个条件 的位置，而右端点模板则用于寻找最后一个满足条件 的位置。显然，本题的需求是最后一个小于等于目标 的值，因此应该采用右端点二分查找。使用右端点模板，我们可以直接定位到满足条件的最大值，即算术平方根的整数部分。

理解这一点很关键：左边界 找的是第一个，右边界找的是最后一个。根据问题是要找最大还是最小，选择合适的模板即可。

三.代码演示

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    int mySqrt(int x)
    {
        long left = 0;
        long right = x;
        while(left < right)
        {
            long mid = left + (right - left + 1)/2;//求右端点
            long long sum = mid * mid;
            if(sum > x)
                right = mid - 1;
            else
                left = mid;
        }
        return left;
        
    }
};

四.代码讲解

一、循环条件与中点计算

采用 while (left < right) 作为循环条件，而不是 left <= right。这是因为当左右指针相遇时，区间内只剩一个元素，此时无需继续二分 ，可以直接在循环外返回该元素。这种写法可以避免死循环，并符合右端点模板的常规写法。

中点计算采用向上取整 的公式，即 mid = left + (right - left + 1) / 2。当区间长度为偶数时，中点会偏向右边 ，这确保了当 left 和 right 相邻时，中点指向 right，从而保证区间能够正确收缩，不会出现 left 原地不动的情况。向上取整 是右端点查找的精髓，也是避免死循环的关键。

二、区间缩进规则

在循环中，根据 mid * mid 与 x 的比较结果，按照以下规则更新指针：

当 mid * mid > x 时 ：说明 mid 的平方已经超过了 x，那么所有大于等于 mid 的数都不可能满足条件，因此最后一个满足条件的数一定在 mid 的左侧。所以将右指针移动到 mid - 1，即舍弃右半区间。
当 mid * mid <= x 时 ：说明 mid 本身是满足条件的，但右边可能还有更大的数也满足条件。因此将左指针移动到 mid，保留 mid 在搜索区间内 ，继续向右寻找更大的可行解。这里注意不能写成 left = mid + 1，因为 mid 可能是最终答案，必须保留。

三、循环结束后的处理

循环结束时，left 与 right 相等，此时指向的位置就是最后一个满足 mid * mid <= x 的数 ，即 x 的算术平方根的整数部分。直接返回 left 即可，无需额外判断，因为题目保证 x 是非负整数，且当 x = 0 时循环也能正确处理（区间只有 0）。

四、为什么不需要分类讨论

与之前"搜索插入位置"的右端点解法不同，本题循环结束后无需分类讨论，原因在于：我们寻找的是满足条件的最大值 ，而循环结束时 left 一定落在可行解的范围内。即使 x = 0，初始 left = 0, right = 0，循环不执行，直接返回 0，正确。当 x 为其他值时，由于我们始终在可行解区间内收缩，最终 left 必然指向满足条件的最大值。

五、与左端点模板的对比

如果错误地采用左端点模板（向下取中，缩进规则为 if (mid * mid < x) left = mid + 1; else right = mid），循环结束后 left 会指向第一个满足 mid * mid >= x 的位置 ，这可能是平方刚好等于 x 或第一个超过 x 的数，需要根据情况调整（**比如平方大于 x 则返回 left - 1，或者找到最左边的但是右边的也可以满足条件）。**虽然也能求解，但逻辑更绕，且容易出错。而右端点模板直接命中目标，更加直观。

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    int mySqrt(int x) 
    {
        // 使用二分查找在 [0, x] 范围内寻找平方根的整数部分
        long left = 0;
        long right = x;
        
        // 标准二分查找循环
        while(left < right)
        {
            // 计算中点，防止直接 (left + right) / 2 可能溢出
            long mid = left + (right - left) / 2;
            // 计算中点的平方，使用 long long 防止乘积溢出
            long long sum = mid * mid;
            
            // 如果平方小于 x，说明 mid 可能是解，但解肯定在 [mid+1, right] 之间
            if(sum < x)
            {
                left = mid + 1;
            }
            // 如果平方大于等于 x，说明解在 [left, mid] 之间（包含 mid）
            else
            {
                right = mid;
            }
        }
        
        // 需要判断 left 是否过小，如果 (left+1)^2 <= x，说明结果应该是 left+1
        if((left+1) * (left+1) <= x)
            return left + 1;
        // 如果 left^2 > x（太大了），说明结果应该是 left-1
        else if (left * left > x)
            return left - 1;
        // 否则 left 就是正确结果
        return left;
    }
};

六、细节注意

使用 long 类型定义 left、right 和 mid，是因为 x 最大可达 2^31 - 1，mid * mid 可能超出 int 范围，因此用 long long 存储乘积避免溢出。
初始 right 设置为 x，对于 x = 0 或 1 也能正确工作（0 的平方根是 0，1 的平方根是 1）。

七、总结

本题是右端点二分查找的经典应用。关键在于正确运用向上取中 和区间缩进规则，使区间最终收敛到满足条件的最大值。掌握这一解法，不仅能解决求平方根问题，也为处理其他"最大值可行解"类问题提供了通用思路。