408真题解析-2010-1-数据结构-栈基础操作

一真题2010-1

2010-1题 若元素 a, b, c, d, e, f 依次进栈，允许进栈、退栈操作交替进行，但不允许连续三次进行退栈操作，则不可能得到的出栈序列是（）

A. dceabf

B. cbdaef

C. bcaefd

D. afedcb

二题目要素解析

1. 核心考点

栈的性质：后进先出（LIFO）。
操作限制：
1. 进栈顺序固定为 a→b→c→d→e→f。
2. 禁止连续三次退栈（即出栈序列中不能出现连续 3 个元素是纯粹靠 "连续弹栈" 得到的，中间必须穿插进栈操作）。
3. 允许交替进行（如：进、出、进、出）。

2. 解题关键

对于每个选项，模拟其进栈出栈过程。
重点检查在模拟过程中，是否出现了连续执行 3 次 Pop（出栈）操作的情况。

三哔哔详解

我们逐项模拟各选项的操作过程 ，重点记录退栈操作是否连续三次。

🔹 A. `dceabf`

目标出栈序列：d, c, e, a, b, f

模拟过程：

push a → push b → push c → push d
pop d（1次）
pop c（2次）
push e
pop e（1次，因中间有 push，不连续）
pop a（2次）→ ❗a 在栈底，c、b 已出？
- 当前栈：[a, b]（a 在底，b 在顶）
- 但 c 出后，b 仍在栈中，不能直接出 a！

🚫 问题：在 d, c 出栈后，栈中为 [a, b]（b 在顶），下一个只能出 b，不能出 a ！

所以 dceabf 中 e 出后直接出 a 是不可能的！

但等等------是否可能在 c 出后，先出 b？但序列是 d,c,e,a...，没有 b。

重新仔细模拟：

push a → push b → push c → push d
pop d → 栈：[a,b,c]
pop c → 栈：[a,b]
此时栈顶是

b

，但下一个是

e

，所以必须：
- push e
- pop e → 栈：[a,b]
下一个是 a ，但栈顶是 b → 无法弹出 a！

✅ 结论：A 选项 dceabf 实际上是不可能的栈序列（即使不考虑连续退栈）！

但这是真的吗？

再想：能否在 d,c 出后，不出 b ，而继续 push e？可以。

但之后要出 a，必须先把 b 弹出，但序列中 b 在 a 之后（...a,b...），所以：

出 e 后，栈：[a,b]

要出 a，必须先出 b → 但序列是 a 先于 b → 矛盾！

➡️ A 本身不是合法栈序列！

但标准答案通常认为 A 是合法的？我们再看其他选项。

🔹 B. `cbdaef`

序列：c, b, d, a, e, f

模拟：

push a → push b → push c
pop c（1）
pop b（2）
此时栈顶是 a，但下一个是 d → 必须 push d
pop d（1，因中间无 pop，但上一次 pop 是 b，现在 pop d，中间有 push d，所以不连续）
现在栈：[a] → pop a（2次连续？上一次 pop 是 d，这次 pop a → 连续两次 pop）
push e → pop e
push f → pop f

退栈操作序列：c, b, d, a, e, f

c → b：连续 2 次
然后 push d → pop d：中断连续
pop d → pop a：连续 2 次（d 和 a）
无连续 3 次！

✅ B 是合法的，且无连续三次退栈！

💡 关键：b 出后，push d ，再 pop d，所以 b 和 d 的 pop 不连续！

所以 B 是可能的。

🔹 C. `bcaefd`

序列：b, c, a, e, f, d

模拟：

push a → push b
pop b（1）
push c
pop c（2）
pop a（3）→ 连续三次退栈？

退栈操作：

pop b（第1次）
pop c（第2次）→ 连续
pop a（第3次）→ 连续三次！

✅ 违反规则！

但注意：b 出后，push c，再 pop c，再 pop a →

pop b
push c
pop c
pop a

→ 这里只有 两次连续退栈（c 和 a），因为 b 和 c 之间有 push！

退栈操作时间线：

操作1: push a
操作2: push b
操作3: pop b → 退栈 #1
操作4: push c
操作5: pop c → 退栈 #2
操作6: pop a → 退栈 #3

但 操作3、5、6 是退栈 ，但 操作4 是 push ，所以退栈操作不是连续的！

📌 "连续三次退栈操作" 指的是 三个 pop 操作连续发生，中间无任何 push。

在 C 中：

pop b
push c ← 中断
pop c
pop a ← 这里是 连续两次退栈（c 和 a）

所以 没有连续三次退栈！

✅ C 是合法的。

🔹 D. `afedcb`

序列：a, f, e, d, c, b

模拟：

push a
pop a（1）
push b → push c → push d → push e → push f
pop f（2）
pop e（3）
pop d（4）
pop c（5）
pop b（6）

退栈操作序列：

pop a
pop f
pop e
pop d
pop c
pop b

从 f 开始，连续 5 次 pop：f, e, d, c, b → 连续五次退栈！

✅ 明显违反"不允许连续三次退栈"规则！

✅ 最终判断

选项	是否合法栈序列	是否违反连续三次退栈	结论
A	❌（a 无法在 b 前出）	------	不可能
B	✅	❌	可能
C	✅	❌	可能
D	✅	✅	不可能

四参考答案

答案：D. afedcb （本题有点歧义，A 其实也可以，但各参考书给的答案都是D）

理由：

要得到 afedcb，必须先将 a 入栈并立即出栈，然后将 b, c, d, e, f 依次入栈，再连续出栈 f, e, d, c, b。这一过程包含连续五次退栈操作，违反了"不允许连续三次进行退栈操作"的约束。其他选项均可通过合理安排进栈/退栈顺序，在不连续三次退栈的前提下实现。

五考点精析

5.1 栈的操作序列合法性判断

基础规则 ：任何时刻，出栈序列中的元素必须满足 "后进先出"。例如，若 a 先出，b 后出，则 a 必须在 b 进栈前就已经进栈并出栈。
本题陷阱 ：题目不仅考基础合法性，还叠加了一个 "操作次数限制"（禁止连续 3 次退栈）。

5.2. 为什么选 D？

序列 afedcb 的后半部分 fedcb 是完全逆序的。
要得到这个逆序，必须先把 b, c, d, e, f 全部压入栈中。
然后依次弹出。弹出 f、e、d
这三个元素时，中间没有任何进栈操作，形成了 连续 3 次退栈，直接触发题目中的 "不允许" 条件。

5.3 栈的概念、性质

5.3.1 基本概念

栈（Stack）是一种操作受限的线性表 ，只允许在一端（称为"栈顶"）进行插入和删除操作。

插入操作 称为入栈（Push）；
删除操作 称为出栈（Pop）；
另一端称为栈底（Bottom），固定不变。

📌 核心特性 ：后进先出（LIFO, Last In First Out）

5.3.2 基本性质与特征

性质	说明
逻辑结构	线性结构（一维）
存储结构	可采用顺序存储（数组）或链式存储（链表）
操作限制	仅能在栈顶操作（Push/Pop）
访问方式	非随机访问，只能访问栈顶元素
空栈判断	栈顶指针 = -1（顺序栈）或 NULL（链栈）
满栈判断（仅顺序栈）	栈顶指针 = MaxSize - 1

5.3.3 顺序栈 vs 链栈对比

维度	顺序栈	链栈
存储空间	预分配，连续	动态分配，不连续
溢出风险	有（固定大小）	无（只要内存够）
空间效率	高（无指针开销）	低（每个结点含指针）
时间效率	Push/Pop O(1)	Push/Pop O(1)
408 考频	★★★★	★★

💡 408 更侧重顺序栈（因涉及数组下标、溢出等计算）

5.3.4 经典场景

1. 表达式求值与转换

中缀 → 后缀（逆波兰）表达式转换（如 a+b*c → abc*+）
后缀表达式求值（遇操作数入栈，遇运算符弹出两数计算后压回）

2. 函数调用与递归

函数调用时，返回地址、局部变量、参数压入系统栈；
递归本质是隐式使用栈 ，深度过大可能导致栈溢出

3. 括号匹配

遇左括号入栈，遇右括号则弹出匹配；
最终栈空且无失配 → 合法

4. 浏览器"后退"功能

访问历史记录压入栈，点击"后退"即 Pop

5. 迷宫求解 / DFS

深度优先搜索（DFS）可借助栈实现（显式栈替代递归）

6. 进制转换

如十进制转二进制：不断除以 2，余数入栈，最后依次出栈

5.4：栈混洗（Stack Permutation）

n 个元素入栈，可能的出栈序列数 = 卡特兰数 C n = 1 n + 1 ( 2 n n ) C_n = \frac{1}{n+1} \binom{2n}{n} Cn=n+11(n2n)
例如：3 个元素 → C 3 C_3 C3=5 种合法序列

✅ 卡特兰数通项公式：

C n = 1 n + 1 ( 2 n n ) C_n = \frac{1}{n+1} \binom{2n}{n} Cn=n+11(n2n)

🔢 计算 $C_3$ ：

**代入 $n = 3$ **：

C 3 = 1 3 + 1 ( 2 × 3 3 ) = 1 4 ( 6 3 ) C_3 = \frac{1}{3+1} \binom{2 \times 3}{3} = \frac{1}{4} \binom{6}{3} C3=3+11(32×3)=41(36)

**计算组合数 $\\binom{6}{3}$ **：

( 6 3 ) = 6 ! 3 ! ⋅ ( 6 − 3 ) ! = 6 × 5 × 4 × 3 ! 3 ! × 3 × 2 × 1 = 6 × 5 × 4 3 × 2 × 1 = 120 6 = 20 \binom{6}{3} = \frac{6!}{3! \cdot (6-3)!} = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3!}{3! \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = \frac{120}{6} = 20 (36)=3!⋅(6−3)!6!=3!×3×2×16×5×4×3!=3×2×16×5×4=6120=20

代入回原式：

C 3 = 1 4 × 20 = 5 C_3 = \frac{1}{4} \times 20 = 5 C3=41×20=5

✅ 结果：

C 3 = 5 C_3 = 5 C3=5

5.5：共享栈（双栈）

两个栈共享一个数组空间，栈底分别在两端，栈顶向中间增长；
优点：减少溢出概率，提高空间利用率；
判满条件 ：top1 + 1 == top2

5.6：栈与递归的关系

任何递归算法都可用非递归 + 栈实现；
递归深度 = 栈的最大深度；
尾递归可优化为循环（无需栈）

六考点跟踪

年份	题号	考查内容	CSDN 参考链接	VX参考链接
2009	第2题	栈后进先出，队列先进先出	408真题解析-2009-2-数据结构-栈-队列-进出规则	408真题解析2009-2-数据结构-栈-队列-进出规则
2010	第1题	栈后进先出

说明：本文内容基于公开资料整理，参考了包括但不限于《数据结构》（严蔚敏）、《计算机操作系统》（汤小丹）、《计算机网络》（谢希仁）、《计算机组成原理》（唐朔飞）等国内高校经典教材，以及其他国际权威著作。同时，借鉴了王道、天勤、启航等机构出版的计算机专业考研辅导系列丛书 中的知识体系框架与典型题型分析思路。文中所有观点、例题解析及文字表述均为作者结合自身理解进行的归纳与重述，未直接复制任何出版物原文。内容仅用于学习交流，若有引用不当或疏漏之处，敬请指正。