一 真题2010-4
2010-04. 在右图所示的平衡二叉树中，插入关键字 48 后得到一棵新平衡二叉树。
在新平衡二叉树中，关键字 37 所在结点的左、右子结点中保存的关键字分别是（ ）
A. 13, 48
B. 24, 48
C. 24, 53
D. 24, 90
24
/ \
13 53
/ \
37 90二 题目要素解析
核心概念 ：平衡二叉树（AVL 树）
- 平衡因子（BF）：节点的左子树高度 - 右子树高度，AVL 树要求所有节点的 BF ∈ {-1, 0, 1}。
- 插入失衡修复：插入节点后若 BF 超出范围，需通过旋转（左旋 / 右旋） 恢复平衡，常见旋转类型包括 LL、RR、LR、RL。
操作流程：插入 48 → 检查平衡因子 → 定位失衡节点 → 旋转修复 → 确定 37 的子节点。
关键节点：插入 48 后，需跟踪 53、37 等节点的子树结构变化。
三 哔哔详解
步骤 1：按 BST 规则插入 48
原树结构：
24
/ \
13 53
/ \
37 90- 48 > 24 → 走右子树 53。
- 48 < 53 → 走左子树 37。
- 48 > 37 → 成为 37 的右孩子。
插入后临时结构：
24
/ \
13 53
/ \
37 90
\
48步骤 2：计算平衡因子，定位失衡节点
从插入点 48 向上回溯：
- 节点 37：左高 0，右高 1 → BF = -1
- 节点 53：左高 2，右高 1 → BF = 1
- 节点 24：左高 1，右高 3 → BF = -2（失衡！）
失衡类型为 RL 型（失衡节点 24 的右孩子 53 的左子树插入导致失衡）。
步骤 3：执行旋转修复
-
右旋 53
（先处理右孩子的左子树）：
- 37 成为 53 的父节点。
- 53 成为 37 的右孩子。
- 37 原来的右孩子 48 保持不变。
plaintext24 / \ 13 37 / \ 空 53 / \ 48 90
2.左旋 24（修复根节点失衡）：
- 37 成为新的根节点。
- 24 成为 37 的左孩子。
- 53 保持为 37 的右孩子。
最终修复后的平衡二叉树：
37
/ \
24 53
/ / \
13 48 90步骤 4：确定 37 的子节点
从最终结构可见：
- 37 的左子节点：24
- 37 的右子节点：53
这正好对应选项 C。
四 参考答案
C ✅
五 考点精析
5.1 平衡二叉树概念和性质特征
5.1.1 基本概念
平衡二叉树（AVL Tree）：
它是一棵二叉排序树（BST），且在 BST 的基础上增加了 "平衡" 的限制条件：
- 空树是平衡二叉树。
- 若非空树，则其左、右子树都是平衡二叉树 ，且左子树和右子树的高度差的绝对值不超过 1。
平衡因子（Balance Factor, BF）：
- 定义：BF(T)=hL−hR （左子树高度 - 右子树高度）。
- AVL 树要求：对于树中每一个节点，都有 BF∈{−1,0,1}。
5.1.2 性质特征
结构自平衡：
在插入或删除节点时，如果破坏了平衡条件（即出现了 BF=2 或 BF=−2 的节点），树会通过旋转操作自动恢复平衡。
高度与节点数的关系：
平衡二叉树的高度 h 与节点数 n 之间的关系是 h = O(\\log_2 n)。
- 这保证了 AVL 树的查找、插入、删除操作的时间复杂度均为 O(logn)O(\log n)O(logn)。
最小节点数：
设 N_h 为高度为 h 的 AVL 树的最少节点数，则递推公式为：
Nh=Nh−1+Nh−2+1 N_h = N_{h-1} + N_{h-2} + 1 Nh=Nh−1+Nh−2+1
初始条件：
N0=0,N1=1 N_0 = 0,\quad N_1 = 1 N0=0,N1=1
-
记忆：类似斐波那契数列。
高度 hhh 最少节点数 NhN_hNh 0 0 1 1 2 N1+N0+1=1+0+1=2N_1 + N_0 + 1 = 1 + 0 + 1 = 2N1+N0+1=1+0+1=2 3 N2+N1+1=2+1+1=4N_2 + N_1 + 1 = 2 + 1 + 1 = 4N2+N1+1=2+1+1=4 4 N3+N2+1=4+2+1=7N_3 + N_2 + 1 = 4 + 2 + 1 = 7N3+N2+1=4+2+1=7
5.2 四种旋转（LL/RR/LR/RL）步骤速记
这是考试中画图和做选择题的关键。判断旋转类型的核心在于 "看失衡节点的哪一侧子树更高，以及导致失衡的新节点在那一侧的哪一边"。
1. 核心判断口诀
"看失衡，找孩子；左左 LL，右右 RR；左右 LR，右左 RL。"
- LL 型 ：失衡节点的左孩子 高，且新节点插入在左孩子的左子树。
- RR 型 ：失衡节点的右孩子 高，且新节点插入在右孩子的右子树。
- LR 型 ：失衡节点的左孩子 高，且新节点插入在左孩子的右子树。
- RL 型 ：失衡节点的右孩子 高，且新节点插入在右孩子的左子树
2🌳 旋转操作总览及示例（以节点 A 为失衡点）
| 类型 | 判断条件（插入路径） | 旋转方式 | 新根 | 口诀 |
|---|---|---|---|---|
| LL | A → 左(B) → 左© | A 右旋 | B | 左左 → 右旋 |
| RR | A → 右(B) → 右© | A 左旋 | B | 右右 → 左旋 |
| LR | A → 左(B) → 右© | B 左旋 + A 右旋 | C | 左右 → 先左后右 |
| RL | A → 右(B) → 左© | B 右旋 + A 左旋 | C | 右左 → 先右后左 |
✅ 关键：
- A：第一个 BF 超限的祖先（失衡点）
- B：A 的孩子（左或右）
- C：B 的孩子（插入发生的位置）
1. LL 型（Left-Left）------ 右旋（Right Rotation）
🔍 判断
- 插入发生在 A 的左孩子的左子树
🔄 操作
- 对 A 执行右旋
- B 成为新根
📐 图例
A B
/ / \
B → C A
/
C🧠 说明
- B 的右子树（若有）成为 A 的左子树
- 保持 BST 性质：C < B < A
2. RR 型（Right-Right）------ 左旋（Left Rotation）
🔍 判断
- 插入发生在 A 的右孩子的右子树
🔄 操作
- 对 A 执行左旋
- B 成为新根
📐 图例
A B
\ / \
B → A C
\
C🧠 说明
- B 的左子树（若有）成为 A 的右子树
- 保持 BST 性质：A < B < C
3. LR 型（Left-Right）------ 先左旋，后右旋
🔍 判断
- 插入发生在 A 的左孩子的右子树
🔄 操作
- 对 B（A 的左孩子）执行左旋
- 对 A 执行右旋
- C 成为新根
📐 图例
初始（LR 型）：
A
/
B
\
CStep 1：B 左旋 → 转为 LL 型：
A
/
C
/
BStep 2：A 右旋 → 平衡：
C
/ \
B A🧠 说明
- C 的左子树 → B 的右子树
- C 的右子树 → A 的左子树
- 最终：B < C < A
4. RL 型（Right-Left）------ 先右旋，后左旋
🔍 判断
- 插入发生在 A 的右孩子的左子树
🔄 操作
- 对 B（A 的右孩子）执行右旋
- 对 A 执行左旋
- C 成为新根
📐 图例
初始（RL 型）：
A
\
B
/
CStep 1：B 右旋 → 转为 RR 型：
A
\
C
\
BStep 2：A 左旋 → 平衡：
C
/ \
A B🧠 说明
- C 的左子树 → A 的右子树
- C 的右子树 → B 的左子树
- 最终：A < C < B
✅ 快速判断流程图（文字版）
插入新节点后，从插入点向上找第一个 |BF| > 1 的节点 A
│
├─ 若插入在 A 的左子树：
│ ├─ 若插入在 A.left 的左子树 → LL 型 → 右旋
│ └─ 若插入在 A.left 的右子树 → LR 型 → 先左旋(A.left)，再右旋(A)
│
└─ 若插入在 A 的右子树：
├─ 若插入在 A.right 的右子树 → RR 型 → 左旋
└─ 若插入在 A.right 的左子树 → RL 型 → 先右旋(A.right)，再左旋(A)六 考点跟踪
| 年份 | 题号 | 考查内容 | CSDN 参考链接 | VX参考链接 |
|---|---|---|---|---|
| 2010 | 第4题 | 平衡二叉树插入 | ||
| 2019 | 第4题 | 平衡二叉树删除 | ||
| 2020 | 第5题 | 平衡二叉树生成 |
说明 ：本文内容基于公开资料整理，参考了包括但不限于《数据结构》（严蔚敏）、《计算机操作系统》（汤小丹）、《计算机网络》（谢希仁）、《计算机组成原理》（唐朔飞）等国内高校经典教材，以及其他国际权威著作。同时，借鉴了王道、天勤、启航等机构出版的计算机专业考研辅导系列丛书 中的知识体系框架与典型题型分析思路。文中所有观点、例题解析及文字表述均为作者结合自身理解进行的归纳与重述，未直接复制任何出版物原文。内容仅用于学习交流，若有引用不当或疏漏之处，敬请指正。