2023年12月GESP真题及题解(C++八级): 奖品分配

题目描述

班上有 N N N 名同学，学号从 0 0 0 到 N − 1 N-1 N−1。有 M M M 种奖品要分给这些同学，其中，第 i i i 种奖品总共有 a i a_i ai 个（ i = 0 , 1 , ⋯ , M − 1 i=0,1, \cdots ,M-1 i=0,1,⋯,M−1）。

巧合的是，奖品的数量不多不少，每位同学都可以恰好分到一个奖品，且最后剩余的奖品不超过 1 1 1 个（即： N ≤ a 0 + a 1 + ⋯ + a M − 1 ≤ N + 1 N\le a_0+a_1+ \cdots +a_{M-1}\le N+1 N≤a0+a1+⋯+aM−1≤N+1）。

现在，请你求出每个班级礼物分配的方案数，所谓方案，指的是为每位同学都分配一个种类的奖品。

只要有一位同学获得了不同种类的奖品，即视为不同的方案。方便起见，你只需要输出方案数对 10 9 + 7 10^{9}+7 109+7 取模后的结果即可。

共有 T T T 个班级都面临着奖品分配的问题，你需要依次为他们解答。

输入格式

第一行一个整数 T T T，表示班级数量。

接下来 T T T 行，每行若干用单个空格隔开的正整数。首先是两个正整数 N , M N,M N,M，接着是 M M M 个正整数 a 0 , a 1 . . . a M − 1 a_0,a_1...a_{M-1} a0,a1...aM−1。保证 $N \\le a_0+a_1+\\cdots+a_{M-1} \\le N+1$ 。

输出格式

输出 T T T 行，每行一个整数，表示该班级分配奖品的方案数对 10 9 + 7 10^{9}+7 109+7 取模的结果。

输入输出样例 1

输入 1

复制代码

输出 1

复制代码

3
4
20

输入输出样例 2

输入 2

复制代码

5
100 1 100
100 1 101
20 2 12 8
123 4 80 20 21 3
999 5 101 234 499 66 99

输出 2

复制代码

说明/提示

样例解释 1

对于第 1 1 1 个班级，学号为 0 , 1 , 2 0,1,2 0,1,2 的同学可以依次分别获得奖品 0 , 1 , 1 0,1,1 0,1,1，也可以依次分别获得奖品 1 , 0 , 1 1,0,1 1,0,1，也可以依次分别获得奖品 1 , 1 , 0 1,1,0 1,1,0 ，因此共有 3 3 3 种方案。

对于第 2 2 2 个班级，学号为 0 , 1 , 2 0,1,2 0,1,2 的同学可以依次分别获得奖品 0 , 1 , 1 0,1,1 0,1,1 ，也可以依次分别获得奖品 1 , 0 , 1 1,0,1 1,0,1，也可以依次分别获得奖品 1 , 1 , 0 1,1,0 1,1,0，也可以依次分别获得奖品 1 , 1 , 1 1,1,1 1,1,1，因此共有 4 4 4 种方案。

对于第 3 3 3 个班级，可以把编号为 0 0 0 的奖品分配给 5 5 5 名同学中的任意一名，共有 5 5 5 种方案；再把编号为 2 2 2 的奖品分配给剩余 4 4 4 名同学中的任意一名，共有 4 4 4 种方案；最后给剩余 3 3 3 名同学自然获得 1 1 1 号奖品。因此，方案数为 5 × 4 = 20 5 \times 4 = 20 5×4=20。

数据范围

对于 30 % 30\% 30% 的测试点，保证 N ≤ 10 N \le 10 N≤10。

对于另外 30 % 30\% 30% 的测试点，保证 M = 2 M=2 M=2。

对于所有测试点，保证 N ≤ 1000 N \le 1000 N≤1000；保证 T ≤ 1000 T \le 1000 T≤1000 ；保证 M ≤ 1001 M \le 1001 M≤1001。

思路分析

这道题的关键在于发现总奖品数S与人数N的关系，从而简化计算。当S=N时，必须全部分配，方案数为N!除以各奖品数量的阶乘；当S=N+1时，有一种奖品少分一个，方案数为(N+1)!除以各奖品数量的阶乘。由于模数为质数，可以用预处理阶乘和阶乘逆元来快速计算。

代码实现

cpp 复制代码

#include <bits/stdc++.h> // 万能头
using namespace std;
typedef long long ll;
const int MOD = 1e9 + 7;   // 模数
const int MAXF = 1001;     // 最大阶乘数，因为N最大1000，N+1最大1001

ll fac[MAXF + 5];         // 阶乘数组
ll invfac[MAXF + 5];      // 阶乘逆元数组

// 快速幂取模
ll pow_mod(ll a, ll b) {
    ll res = 1;
    while (b) {
        if (b & 1) res = res * a % MOD;
        a = a * a % MOD;
        b >>= 1;
    }
    return res;
}

// 预处理阶乘和阶乘逆元
void init() {
    fac[0] = 1;
    for (int i = 1; i <= MAXF; i++) {
        fac[i] = fac[i - 1] * i % MOD;
    }
    // 费马小定理求最大阶乘的逆元
    invfac[MAXF] = pow_mod(fac[MAXF], MOD - 2);
    // 递推求其他阶乘逆元
    for (int i = MAXF; i >= 1; i--) {
        invfac[i - 1] = invfac[i] * i % MOD;
    }
}

int main() {
    init(); // 预处理
    int T;
    cin >> T;
    while (T--) {
        int N, M;
        cin >> N >> M;
        ll d = 1; // 保存分母的逆元乘积，即所有invfac[a_i]的积
        int S = 0;
        for (int i = 0; i < M; i++) {
            int a;
            cin >> a;
            S += a;
            d = d * invfac[a] % MOD; // 乘以当前a_i阶乘的逆元
        }
        ll ans;
        if (S == N) {
            ans = fac[N] * d % MOD; // S=N时，分子为N!
        } else { // S == N+1
            ans = fac[N + 1] * d % MOD; // S=N+1时，分子为(N+1)!
        }
        cout << ans << endl;
    }
    return 0;
}

功能分析

预处理阶乘和逆元：预先计算0到1001的阶乘及其逆元，便于后续O(1)查询。
快速幂取模：用于计算阶乘的逆元（费马小定理）。
主逻辑：对于每个测试用例：
- 读入N、M和每种奖品的数量a_i。
- 计算总奖品数S。
- 计算分母的逆元乘积（所有invfac[a_i]的乘积）。
- 根据S与N的关系选择分子（N!或(N+1)!），与分母逆元相乘取模得到答案。
复杂度：

时间复杂度：预处理O(MAXF log MOD)，每个测试用例O(M)，整体O(T*M)，在数据范围内完全可以接受。
空间复杂度：O(MAXF)，用于存储阶乘和逆元表。

完整GESP C++考级真题题解专栏：

GESP(C++ 一级+二级+三级)真题题解（持续更新）：https://blog.csdn.net/weixin_66461496/category_12858102.html 点击跳转

GESP(C++ 四级+五级+六级)真题题解（持续更新）：https://blog.csdn.net/weixin_66461496/category_12869848.html 点击跳转

GESP(C++ 七级+八级)真题题解（持续更新）：
https://blog.csdn.net/weixin_66461496/category_13117178.html

· 文末祝福 ·

cpp 复制代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
	cout<<"跟着王老师一起学习信奥赛C++";
	cout<<"    成就更好的自己！       ";
	cout<<"  csp信奥赛一等奖属于你!   ";
	return 0;
}

2023年12月GESP真题及题解(C++八级): 奖品分配