408真题解析-2010-6-数据结构-哈夫曼树

一真题2010-6

2010-06. 对 nnn（ n≥2n≥2n≥2 ）个权值均不相同的字符构造哈夫曼树。下列关于该哈夫曼树的叙述中，错误的是（）。

A. 该树一定是一棵完全二叉树

B. 树中一定没有度为 1 的结点

C. 树中两个权值最小的结点一定是兄弟结点

D. 树中任一非叶结点的权值一定不小于下一层任一结点的权值

二题目要素解析

核心概念 ：哈夫曼树（Huffman Tree）

定义：带权路径长度（WPL）最小的二叉树，也称最优二叉树。
构造规则：每次从森林中选取两个权值最小的节点，合并为一个新节点（新节点权值为两者之和），新节点作为它们的父节点。

结构特征：

哈夫曼树中只有度为 0（叶子）和度为 2（非叶）的节点。
包含 n 个叶子节点的哈夫曼树，其总结点数为 2n−1。

选项分析目标：找出不符合哈夫曼树性质的描述。

三哔哔详解

Step 1：回顾哈夫曼树的构造规则

将每个字符视为一棵只有根节点的二叉树，权值为字符频率。
每次从森林中选出

两棵根节点权值最小的树

，合并为一棵新树：
- 新树的根权值 = 两子树权值之和
- 两子树分别作为新树的左右孩子
重复直到只剩一棵树 → 即哈夫曼树。

✅ 关键特性：

每次合并两个节点 → 所有内部节点都有两个孩子

因此，不存在度为 1 的节点

Step 2：逐项分析选项

A. 该树一定是一棵完全二叉树 ❌（错误）

完全二叉树定义：除最后一层外，其他层全满；最后一层节点靠左排列。
哈夫曼树 ≠ 完全二叉树！
反例

：设权值为 {1, 2, 3, 4}
- 合并 1+2=3 → 新森林：{3, 3, 4}
- 合并 3+3=6 → 新森林：{4, 6}
- 合并 4+6=10
- 最终树结构：
  复制代码
```
  10
 /  \
6    4
```
  /
  3 3
  /
  1 2

或等价结构，但不可能是完全二叉树（如第3层只有3个节点，且分布不对称）。

→ A 错误，是本题答案

B. 树中一定没有度为 1 的结点 ✅（正确）

哈夫曼树由两两合并生成
每个内部节点都是由两个子树合并而来 → 必有两个孩子
叶子节点度为 0
所以不存在度为 1 的节点

→ B 正确

C. 树中两个权值最小的结点一定是兄弟结点 ✅（正确）

由于权值互不相同，最小的两个权值在第一步就被选中合并
合并后成为同一父节点的左右孩子 → 互为兄弟
即使后续被更高层合并，它们的父子关系不变

→ C 正确

📌 注意：若权值可重复，则可能不是兄弟，但本题明确"权值均不相同"

D. 树中任一非叶结点的权值一定不小于下一层任一结点的权值 ✅（正确）

非叶节点的权值 = 其子树中所有叶子权值之和
子树中任意节点（包括下一层的内部节点或叶子）的权值 ≤ 该子树总权值
因为所有权值 > 0，所以：

父节点权值=左子权值+右子权值≥max⁡(左子权值,右子权值)父节点权值=左子权值+右子权值≥max(左子权值,右子权值)

故非叶节点权值 ≥ 其直接子节点权值
递推可知：非叶节点权值 ≥ 下一层任意节点权值

→ D 正确

四参考答案

参考答案 A

五考点精析

5.1 哈夫曼树定义及基本特征

1. 定义

哈夫曼树 （最优二叉树）：给定 nn 个带权叶子节点，构造一棵二叉树，使其 带权路径长度（WPL）最小。
带权路径长度（WPL）：

WPL=∑i=1nwi⋅li\text{WPL} = \sum_{i=1}^{n} w_i \cdot l_iWPL=i=1∑nwi⋅li
wiw_iwi：第 iii 个叶子的权值（如字符频率）
lil_ili ：该叶子到根的路径长度 （通常指边数）

✅ 目标：高频字符路径短 → 编码短 → 压缩效率高

二、核心性质特征

性质	说明
1. 无度为 1 的节点	所有内部节点均由两个子树合并而成 → 度为 2
2. 叶子数 = n ，总节点数 = 2n−1	n 个叶子 + (n−1) 个内部节点
3. 最小两个权值必为兄弟（权值互异时）	构造第一步即合并它们
4. 非叶节点权值 ≥ 子节点权值	因其权值 = 子树权值之和
5. 不一定是完全/满二叉树	结构由权值分布决定，可能高度不平衡
6. WPL 唯一，但树结构可能不唯一	当有权值相同时，合并顺序可不同

5.2 WPL 计算

方法 1：按叶子计算（定义法）

WPL=∑(叶子权值×深度) \text{WPL} = \sum (\text{叶子权值} \times \text{深度}) WPL=∑(叶子权值×深度)

深度 = 从根到该叶子的边数

方法 2：按内部节点累加（推荐！）

每次合并的代价 = 两子树权值之和
WPL = 所有合并操作的代价之和

✅ 示例：

权值：{1, 2, 3, 4}

合并 1+2 = 3 → 代价 3
合并 3+3 = 6 → 代价 6
合并 4+6 = 10 → 代价 10
→ WPL = 3 + 6 + 10 = 19

💡 此法无需画树，直接累加中间结果，408 快速解题首选

5.3 哈夫曼树构造步骤（贪心算法）

5.3.1 口诀

构造森林全是根；
选用两小造新树；
删除两小添新人；
重复2、3剩单根。

5.3.2 详细步骤

初始化：将 n 个权值分别作为 n 棵只有根节点的二叉树（森林）。

选最小 ：在森林中选取两棵根节点权值最小的树。

合并：将这两棵树合并为一棵新树。

新树根节点的权值 = 两棵子树根节点权值之和。
谁权值小谁作为左子树（习惯做法，也可反之，但需保持一致），权值大的作为右子树。

更新：在森林中删除这两棵旧树，加入这棵新树。

循环：重复步骤 2-4，直到森林中只剩下一棵树为止。这棵树就是哈夫曼树。

5.4 哈夫曼编码

前缀编码：没有任何一个编码是另一个编码的前缀（保证解码时不会产生歧义）。
编码规则：
- 规定哈夫曼树中，左分支代表 '0'，右分支代表 '1'（也可以反过来，但必须统一）。
- 从根节点出发，到某一叶子节点的路径上的 0/1 序列，即为该叶子节点的哈夫曼编码。
特点：
- 哈夫曼编码是前缀编码。
- 哈夫曼编码是最优前缀编码（平均编码长度最短）。

✅ 示例（权值 {1:a, 2:b, 3:c, 4:d}）：

复制代码

        (10)
       /    \
     (6)     d(4)
    /   \
  c(3)  (3)
       /   \
     a(1) b(2)

a: 010
b: 011
c: 00
d: 1

平均码长=1×3+2×3+3×2+4×11+2+3+4=1910=1.9\text{平均码长} = \frac{1 \times 3 + 2 \times 3 + 3 \times 2 + 4 \times 1}{1 + 2 + 3 + 4} = \frac{19}{10} = 1.9平均码长=1+2+3+41×3+2×3+3×2+4×1=1019=1.9

✅ 说明：

分子：各字符权值 × 编码长度（即路径长度）之和 → 等于 WPL

分母：所有字符权值之和（即总频率）

平均码长 = WPL / 总权值

六考点跟踪

年份	题号	考查内容
2010	第6题	哈弗曼树基本特征
2015	第3题	根据结点权值判断是否为哈夫曼树
2021	第5题	最小带权路径长度

说明：本文内容基于公开资料整理，参考了包括但不限于《数据结构》（严蔚敏）、《计算机操作系统》（汤小丹）、《计算机网络》（谢希仁）、《计算机组成原理》（唐朔飞）等国内高校经典教材，以及其他国际权威著作。同时，借鉴了王道、天勤、启航等机构出版的计算机专业考研辅导系列丛书 中的知识体系框架与典型题型分析思路。文中所有观点、例题解析及文字表述均为作者结合自身理解进行的归纳与重述，未直接复制任何出版物原文。内容仅用于学习交流，若有引用不当或疏漏之处，敬请指正。

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