本文涉及知识点
P12191 [蓝桥杯 2025 省研究生组] 01 串
题目描述
给定一个由 0 , 1 , 2 , 3 ... 0, 1, 2, 3 \dots 0,1,2,3... 的二进制表示拼接而成的长度无限的 01 01 01 串。其前若干位形如 011011100101110111 ... 011011100101110111\dots 011011100101110111...。
请求出这个串的前 x x x 位里有多少个 1 1 1。
输入格式
输入的第一行包含一个正整数 x x x。
输出格式
输出一行包含一个整数表示答案。
输入输出样例 #1
输入 #1
7输出 #1
5说明/提示
样例说明
给定的串的前 7 7 7 位为 0110111 0110111 0110111。
评测用例规模与约定
- 对于 60 % 60\% 60% 的评测用例， x ≤ 10 6 x \leq 10^6 x≤106；
- 对于所有评测用例， 1 ≤ x ≤ 10 18 1 \leq x \leq 10^{18} 1≤x≤1018。
数论
f(x)所有x位二进制的总长度。f(0)=0。一位数，共0,1两种长度, 故f(1)=2。
i>1, f(i)= 2 i − 1 × i 2^{i-1}\times i 2i−1×i。
令 s ( i ) = ∑ j : 1 i f ( i ) s(i)=\sum_{j:1}^if (i) s(i)=∑j:1if(i)
求最小z1，使得 s ( z 1 ) > = x ， f ( i ) ≤ s ( i ) ≤ x , 由于 f ( i + 1 ) < 8 f ( i ) 。故 f ( i + 1 ) < 8 e 18 在 l o n g l o n g 范围中 s(z1)>=x ，f(i)\leq s(i) \leq x, 由于f(i + 1)<8f(i)。故f(i+1)<8e18在long long范围中 s(z1)>=x，f(i)≤s(i)≤x,由于f(i+1)<8f(i)。故f(i+1)<8e18在longlong范围中。
二进制串第一部分，包括所有 1 ∼ z 1 − 1 1 \sim z1-1 1∼z1−1位数，0和1各占一半。低于z1-1位可以看成z1-1位包括若干前导0。共s(z1-1)/2个1。
x2 = x - s(z1-1) 第二部分包括最小的z2=x2/z1个z1位数，第二部分1的数量：z2+h(z2)。h(z2)最小的z2个数1的数量。
第三部分：1<<(z1-1)+z2 的前x2%z1位。直接tostring再枚举。
h(z2)：令z2是z3位数。z4=z2-(1<<(z3-1) return s(z3-1)/2+z4+h(z4)
代码
核心代码
cpp
#include <iostream>
#include <sstream>
#include <vector>
#include<map>
#include<unordered_map>
#include<set>
#include<unordered_set>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<functional>
#include<queue>
#include <stack>
#include<iomanip>
#include<numeric>
#include <math.h>
#include <climits>
#include<assert.h>
#include<cstring>
#include<list>
#include<array>
#include <bitset>
using namespace std;
template<class T1, class T2>
std::istream& operator >> (std::istream& in, pair<T1, T2>& pr) {
in >> pr.first >> pr.second;
return in;
}
template<class T1, class T2, class T3 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3>& t) {
in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t);
return in;
}
template<class T1, class T2, class T3, class T4 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3, T4>& t) {
in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t) >> get<3>(t);
return in;
}
template<class T1, class T2, class T3, class T4, class T5, class T6, class T7 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3, T4,T5,T6,T7>& t) {
in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t) >> get<3>(t) >> get<4>(t) >> get<5>(t) >> get<6>(t);
return in;
}
template<class T = int>
vector<T> Read() {
int n;
cin >> n;
vector<T> ret(n);
for (int i = 0; i < n; i++) {
cin >> ret[i];
}
return ret;
}
template<class T = int>
vector<T> ReadNotNum() {
vector<T> ret;
T tmp;
while (cin >> tmp) {
ret.emplace_back(tmp);
if ('\n' == cin.get()) { break; }
}
return ret;
}
template<class T = int>
vector<T> Read(int n) {
vector<T> ret(n);
for (int i = 0; i < n; i++) {
cin >> ret[i];
}
return ret;
}
template<int N = 1'000'000>
class COutBuff
{
public:
COutBuff() {
m_p = puffer;
}
template<class T>
void write(T x) {
int num[28], sp = 0;
if (x < 0)
*m_p++ = '-', x = -x;
if (!x)
*m_p++ = 48;
while (x)
num[++sp] = x % 10, x /= 10;
while (sp)
*m_p++ = num[sp--] + 48;
AuotToFile();
}
void writestr(const char* sz) {
strcpy(m_p, sz);
m_p += strlen(sz);
AuotToFile();
}
inline void write(char ch)
{
*m_p++ = ch;
AuotToFile();
}
inline void ToFile() {
fwrite(puffer, 1, m_p - puffer, stdout);
m_p = puffer;
}
~COutBuff() {
ToFile();
}
private:
inline void AuotToFile() {
if (m_p - puffer > N - 100) {
ToFile();
}
}
char puffer[N], * m_p;
};
template<int N = 1'000'000>
class CInBuff
{
public:
inline CInBuff() {}
inline CInBuff<N>& operator>>(char& ch) {
FileToBuf();
while (('\r' == *S) || ('\n' == *S) || (' ' == *S)) { S++; }//忽略空格和回车
ch = *S++;
return *this;
}
inline CInBuff<N>& operator>>(int& val) {
FileToBuf();
int x(0), f(0);
while (!isdigit(*S))
f |= (*S++ == '-');
while (isdigit(*S))
x = (x << 1) + (x << 3) + (*S++ ^ 48);
val = f ? -x : x; S++;//忽略空格换行
return *this;
}
inline CInBuff& operator>>(long long& val) {
FileToBuf();
long long x(0); int f(0);
while (!isdigit(*S))
f |= (*S++ == '-');
while (isdigit(*S))
x = (x << 1) + (x << 3) + (*S++ ^ 48);
val = f ? -x : x; S++;//忽略空格换行
return *this;
}
template<class T1, class T2>
inline CInBuff& operator>>(pair<T1, T2>& val) {
*this >> val.first >> val.second;
return *this;
}
template<class T1, class T2, class T3>
inline CInBuff& operator>>(tuple<T1, T2, T3>& val) {
*this >> get<0>(val) >> get<1>(val) >> get<2>(val);
return *this;
}
template<class T1, class T2, class T3, class T4>
inline CInBuff& operator>>(tuple<T1, T2, T3, T4>& val) {
*this >> get<0>(val) >> get<1>(val) >> get<2>(val) >> get<3>(val);
return *this;
}
template<class T = int>
inline CInBuff& operator>>(vector<T>& val) {
int n;
*this >> n;
val.resize(n);
for (int i = 0; i < n; i++) {
*this >> val[i];
}
return *this;
}
template<class T = int>
vector<T> Read(int n) {
vector<T> ret(n);
for (int i = 0; i < n; i++) {
*this >> ret[i];
}
return ret;
}
template<class T = int>
vector<T> Read() {
vector<T> ret;
*this >> ret;
return ret;
}
private:
inline void FileToBuf() {
const int canRead = m_iWritePos - (S - buffer);
if (canRead >= 100) { return; }
if (m_bFinish) { return; }
for (int i = 0; i < canRead; i++)
{
buffer[i] = S[i];//memcpy出错
}
m_iWritePos = canRead;
buffer[m_iWritePos] = 0;
S = buffer;
int readCnt = fread(buffer + m_iWritePos, 1, N - m_iWritePos, stdin);
if (readCnt <= 0) { m_bFinish = true; return; }
m_iWritePos += readCnt;
buffer[m_iWritePos] = 0;
S = buffer;
}
int m_iWritePos = 0; bool m_bFinish = false;
char buffer[N + 10], * S = buffer;
};
class Solution {
public:
long long Ans(long long x) {
if (x <= 1) { return 0; }
if (x <= 2) { return 1; }
vector<long long> f = { 0,2 }, s = { 0,2 };
for (int i = 2; s.back()<x ; i++) {
f.emplace_back((1LL << (i-1))*i);
s.emplace_back(s.back() + f.back());
}
const int bit = s.size() - 1;
long long ans = (1LL << (bit-1))*(bit-1)/2;
x -= s[s.size() - 2];
const long long c1 = x / bit;
const long long c2 = x % bit;
ans += (c1 + h(c1));
const long long end =( 1LL << (bit - 1)) + c1;
ans += Cnt(end, bit,c2);
return ans;
}
int Cnt(long long x,int bit,int c2) {
int cnt = 0;
for (bit--; c2 > 0; bit--,c2--) {
cnt += bool((1LL << bit) & x);
}
return cnt;
}
long long h(long long x) {
if (x <=1) { return 0; }
int bit = 0;
for ( bit = 62; bit >= 0; bit--) {
if ((1LL << bit) & x) { break; }
}
const long long m = 1LL << bit;
if (m == x) { return (1LL << bit) * bit / 2; }
return h(m) + (x - m) + h(x - m);
}
long long m_ans = 0;
};
int main() {
#ifdef _DEBUG
freopen("a.in", "r", stdin);
#endif // DEBUG
ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(nullptr);
//CInBuff<> in; COutBuff<10'000'000> ob;
long long N;
cin >> N;
#ifdef _DEBUG
//printf("N=%d,K=%d", N,K);
//Out(W, ",W=");
//Out(edge, ",edge=");
//Out(xyzw, ",xyzw=");
//Out(a, ",a=");
////Out(rr, ",rr=");
// //Out(ab, ",ab=");
// //Out(par, "par=");
// //Out(que, "que=");
// //Out(B, "B=");
#endif // DEBUG
auto res = Solution().Ans(N);
cout << res;
return 0;
};单元测试
cpp
string ToStr2(long long x) {
if (0 == x) { return "0"; }
string str;
while (x) {
str += ((x & 1) ? "1" : "0");
x /= 2;
}
return string(str.rbegin(), str.rend());
}
TEST_METHOD(TestMethod1)
{
auto res = Solution().Ans(1);
AssertEx(0LL, res);
}
TEST_METHOD(TestMethod2)
{
auto res = Solution().Ans(2);
AssertEx(1LL, res);
}
TEST_METHOD(TestMethod3)
{
auto res = Solution().Ans(3);
AssertEx(2LL, res);
}
TEST_METHOD(TestMethod4)
{
auto res = Solution().Ans(4);
AssertEx(2LL, res);
}
TEST_METHOD(TestMethod11)
{
auto res = Solution().Ans(7);
AssertEx(5LL, res);
}
TEST_METHOD(TestMethod12)
{
auto res = Solution().Ans(6);
AssertEx(4LL, res);
}
TEST_METHOD(TestMethoda)
{
string str;
for (int i = 0; i <= 1000; i++) {
str += ToStr2(i);
}
long long ans = 0;
for (long long i = 0; i < str.length(); i++) {
ans += ('1' == str[i]);
auto res = Solution().Ans(i+1);
Assert::AreEqual(ans, res,to_wstring(i+1).c_str());
}
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视频课程
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https://edu.csdn.net/course/detail/38771
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https://edu.csdn.net/lecturer/6176
测试环境
操作系统：win7 开发环境： VS2019 C++17
或者 操作系统：win10 开发环境： VS2022 C++17
如无特殊说明，本算法用**C++**实现。