2025年数学建模美赛B题解读

问题背景：

美国阿拉斯加州的朱诺拥有约30000名居民，2023年接待了创纪录的160万名游轮乘客，最繁忙的一天接待了多达7艘大型游轮，游客数量超过20000人。这些游客为该市带来了约3.75亿美元的可观收入，但也带来了过度拥挤的问题，促使该市开始限制游客数量。讽刺的是，朱诺的顶级景点之一------门登霍尔冰川正因为气温升高而消退，而气温升高部分是由过度旅游导致的。自2007年以来，该冰川已经消退了相当于8个足球场的距离，这让许多当地人担心游客和相关收入最终会随着冰川的消失而消失。不过幸运的是，朱诺还有观鲸、雨林等其他景点，只要能制定并实施可持续旅游计划，就能维持其旅游目的地的地位。近期报告强调了旅游业的隐性成本，以及核算和管理这些成本以保护自然和文化资源、建立可持续旅游业的日益增长的需求，全球众多社区都依赖于可持续旅游业。这些隐性成本包括对当地基础设施的压力，如饮用水供应、废物管理，以及旅游目的地整体碳足迹的增加，而许多旅游目的地位于环境敏感地区。当地居民还面临着住房供应和成本、过度拥挤以及游客行为不端等压力。为了缓解这些负担，各地已经采取了各种措施，包括提高酒店税、征收游客费、限制每日游客数量以及限制酒类销售和消费。税收带来的额外收入被用于支持环境保护、改善基础设施和发展社区项目。然而，许多依赖旅游业的当地人担心额外费用会将游客赶走，更希望游客数量和自己的业务能持续增长；而另一些当地人则越来越不满，要么离开，要么抗议游客。相关术语定义：可持续旅游是涵盖完整旅游体验的概念，包括对经济、社会和环境问题的关注，同时注重提升游客体验和满足接待社区的需求。可持续旅游应包含环境保护、社会公平、生活质量、文化多样性，以及能为所有人提供就业和繁荣的充满活力的可行经济。碳足迹是一个计算值或指数，用于比较一项活动、产品、公司或国家向大气中排放的温室气体总量，通常以每吨二氧化碳当量（(CO_{2})-equivalent）作为比较单位。基础设施是社会或企业运营所需的基本物理和组织结构及设施（如建筑物、道路、电力供应等）。

问题一：

为美国阿拉斯加州朱诺市构建一套可持续旅游业发展模型。模型构建过程中，你可纳入以下考量因素：游客数量、整体营收规模，以及为稳定旅游业发展而出台的各类举措。请明确说明模型中哪些因素属于优化目标、哪些因素为约束条件。同时，需制定新增营收的资金支出方案，并阐述这些支出如何反哺模型，以推动旅游业的可持续发展。此外，还需开展敏感性分析，并论述分析过程中识别出的关键影响因素。

问题二：

请阐述你的模型如何适配另一个受过度旅游问题影响的旅游目的地。目的地的选择会如何影响哪些举措最为关键？你可以如何运用该模型，对游客量较少的景点及 / 或地区进行推广，从而实现更均衡的发展？

问题一的输入输出分析

【问题输入】

1.1 数据文件

无

1.2 符号定义

符号	含义	单位
TTT	年度接待游客总数（决策变量，优化目标之一）	人/年
T0T_0T0	基期年度接待游客总数（2023 年接待的游轮乘客量）	人/年
RRR	年度旅游总营收（决策变量，优化目标之一）	美元/年
R0R_0R0	基期年度旅游总营收	美元/年
ΔR\Delta RΔR	相对于基期的年度新增旅游营收	美元/年
rˉ\bar{r}rˉ	基期人均旅游营收（含消费但不含新增费用）	美元/人
NNN	城市常住居民人数（参数）	人
DDD	最繁忙日的游客数量上限（决策变量）	人/日
D0D_0D0	基期最繁忙日实际游客数量	人/日
Dmax⁡D_{\max}Dmax	政策可允许的最繁忙日游客数量上限	人/日
FFF	每名游客新增征收的费用（如酒店税、游客费等）	美元/人
x1x_1x1	新增营收中用于环境保护的比例	-
x2x_2x2	新增营收中用于基础设施投资的比例	-
x3x_3x3	新增营收中用于社区/社会项目的比例	-
CCC	旅游业年度总碳足迹（需控制或尽量减小）	吨 CO2CO_2CO2 当量/年
αC\alpha_CαC	人均碳排放量（决策相关参数，敏感性分析重点之一）	吨 CO2CO_2CO2 当量/人
αC0\alpha_{C0}αC0	基期人均碳排放量	吨 CO2CO_2CO2 当量/人
Cmax⁡C_{\max}Cmax	年度碳足迹控制上限（约束条件）	吨 CO2CO_2CO2 当量/年
QQQ	居民生活质量/满意度指数（约束指标/优化目标之一）	-
Q0Q_0Q0	基期居民生活质量指数	-
Qmin⁡Q_{\min}Qmin	居民生活质量允许的最低水平（约束条件）	-
θ\thetaθ	居民可接受的游客与居民人数比上限（约束条件，敏感性分析重点之一）	-
KKK	在当前条件下年度可持续游客容量（约束上限）	人/年
K0K_0K0	基期年度可持续游客容量	人/年
k1k_1k1	环境投资对人均碳排放量改善的敏感性系数	-
k2k_2k2	基础设施投资对可持续游客容量提升的敏感性系数	-
k3k_3k3	社区投资对居民生活质量提升的敏感性系数	-
k4k_4k4	游客压力对居民生活质量降低的敏感性系数（敏感性分析重点之一）	-

1.3 初始条件与参数赋值

T0T_0T0 ：数值为 1.6×1061.6\times 10^{6}1.6×106，表示 2023 年接待的游轮乘客年度总数（人/年）。
R0R_0R0 ：数值为 3.75×1083.75\times 10^{8}3.75×108，表示 2023 年由游轮游客带来的年度旅游营收（美元/年）。
NNN ：数值为 3.0×1043.0\times 10^{4}3.0×104，表示朱诺市常住居民人数（人）。
D0D_0D0 ：数值为 2.0×1042.0\times 10^{4}2.0×104，表示 2023 年最繁忙一天接待的游客数量（人/日）。
rˉ\bar{r}rˉ ：数值为 234.375234.375234.375，表示基期估计的人均旅游营收 R0/T0R_0/T_0R0/T0（美元/人）。

1.4 约束条件

显式约束：
1. 年度游客量必须不超过在当前环境和基础设施条件下的可持续容量，数学表达为：
  
  0≤T≤K.0 \le T \le K.0≤T≤K.
2. 最繁忙日游客量必须不超过政策设定的每日游客上限，数学表达为：
  
  0≤D≤Dmax⁡.0 \le D \le D_{\max}.0≤D≤Dmax.
3. 旅游业年度碳排放量不得超过预设的碳足迹控制上限，数学表达为：
  
  0≤C≤Cmax⁡.0 \le C \le C_{\max}.0≤C≤Cmax.
4. 居民生活质量指数必须保持在最低可接受水平之上，数学表达为：
  
  Q≥Qmin⁡.Q \ge Q_{\min}.Q≥Qmin.
5. 年度新增营收必须全部在环境、基础设施和社区三类用途之间分配，且各比例在 [0,1][0,1][0,1] 区间内，数学表达为：
  
  x1+x2+x3=1,0≤x1,x2,x3≤1.x_1 + x_2 + x_3 = 1,\quad 0 \le x_1,x_2,x_3 \le 1.x1+x2+x3=1,0≤x1,x2,x3≤1.
隐式约束：
1. 旅游总营收由游客数量、人均消费与人均新增收费共同决定，数学表达为：
  
  R=(rˉ+F) T.R = (\bar{r} + F)\,T.R=(rˉ+F)T.
2. 旅游业年度碳足迹与游客数量近似成正比，比例系数为人均碳排放量，数学表达为：
  
  C=αC T.C = \alpha_C\,T.C=αCT.
3. 新增营收定义为相对于基期营收的增量，数学表达为：
  
  ΔR=R−R0.\Delta R = R - R_0.ΔR=R−R0.
4. 为避免过度拥挤，年度游客数量与居民数量的比值不能超过社会可接受上限，数学表达为：
  
  TN≤θ.\frac{T}{N} \le \theta.NT≤θ.
5. 环境保护投资可以降低人均碳排放量，但人均碳排放量不能为负，数学表达为：
  
  αC=αC0−k1 x1 ΔR,αC≥0.\alpha_C = \alpha_{C0} - k_1\,x_1\,\Delta R,\quad \alpha_C \ge 0.αC=αC0−k1x1ΔR,αC≥0.
6. 基础设施投资可以提高年度可持续游客容量，数学表达为：
  
  K=K0+k2 x2 ΔR.K = K_0 + k_2\,x_2\,\Delta R.K=K0+k2x2ΔR.
7. 社区项目投资提高居民生活质量，而游客压力降低居民生活质量，数学表达为：
  
  Q=Q0+k3 x3 ΔR−k4 TN.Q = Q_0 + k_3\,x_3\,\Delta R - k_4\,\frac{T}{N}.Q=Q0+k3x3ΔR−k4NT.

【问题输出】

本问题最终需要求解的结果如下：

1. 年度游客规模与峰值控制方案 ：在可持续约束条件下得到的年度游客总数 TTT 与最繁忙日游客上限 DDD 的最优组合，用于描述游客数量管理策略。
1. 旅游营收及新增营收水平 ：在最优游客规模与收费政策下的年度旅游总营收 RRR 及相对于基期的新增营收 ΔR\Delta RΔR。
1. 收费政策设计结果 ：每名游客新增收费 FFF 的取值范围及在最优方案下的取值，用于反映税费/游客费等政策强度。
1. 新增营收资金分配方案 ：新增营收在环境保护、基础设施和社区三类用途上的最优分配比例 (x1,x2,x3)(x_1,x_2,x_3)(x1,x2,x3)，用于支出方案设计。
1. 环境与碳足迹结果指标 ：在最优方案下的年度总碳足迹 CCC 及人均碳排放量 αC\alpha_CαC，与控制上限 Cmax⁡C_{\max}Cmax 的关系，用于评价环境可持续性。
1. 居民生活质量与拥挤度指标 ：在最优方案下的居民生活质量指数 QQQ 及游客-居民比 T/NT/NT/N，与阈值 Qmin⁡Q_{\min}Qmin、θ\thetaθ 的比较结果，用于评价社会可接受性。
1. 可持续容量与基础设施改善效果 ：由模型计算得到的可持续游客容量 KKK 以及基础设施投资对应的容量提升量，用于衡量基础设施对可持续发展的支撑能力。
1. 敏感性分析结果与关键影响因素 ：针对 αC\alpha_CαC、Cmax⁡C_{\max}Cmax、θ\thetaθ、rˉ\bar{r}rˉ、k1k_1k1、k2k_2k2、k4k_4k4 等参数的敏感性分析结果，包括这些参数变化对游客规模 TTT、营收 RRR、碳足迹 CCC、居民生活质量 QQQ 等指标的影响程度及关键影响因素的排序。

问题二的输入输出分析

【问题输入】

1.1 数据文件

无

1.2 符号定义

符号	含义	单位
NNN	城市常住居民人数（参数）	人
TTT	年度接待游客总数（决策变量，优化目标之一）	人/年
VcV_cVc	年度游轮游客数量	人/年
VpeakV_{\text{peak}}Vpeak	最繁忙一天到访的游客数量	人/日
SpeakS_{\text{peak}}Speak	最繁忙一天停靠的游轮数量	艘/日
RRR	年度旅游总营收（决策变量，优化目标之一）	美元/年
ΔR\Delta RΔR	相对于基期的年度新增旅游营收	美元/年
CCC	旅游业年度总碳足迹（需控制或尽量减小）	吨 CO2CO_2CO2 当量/年
αC\alpha_CαC	人均碳排放量（决策相关参数，敏感性分析重点之一）	吨 CO2CO_2CO2 当量/人
Cmax⁡C_{\max}Cmax	年度碳足迹控制上限（约束条件）	吨 CO2CO_2CO2 当量/年
EEE	环境与基础设施综合压力指数	-
Emax⁡E_{\max}Emax	环境与基础设施压力可接受上限	-
QQQ	居民生活质量/满意度指数（约束指标/优化目标之一）	-
Qmin⁡Q_{\min}Qmin	居民生活质量允许的最低水平（约束条件）	-
KKK	在当前条件下年度可持续游客容量（约束上限）	人/年
Vmax⁡V_{\max}Vmax	政策规定的年度游客数量上限	人/年
VhV_hVh	年度前往热门景点的游客量	人/年
VlV_lVl	年度前往游客量较少景点及/或地区的游客量	人/年
BBB	游客在热门与冷门景点之间分布的均衡指数	-
IeI_eIe	年度用于环境保护与基础设施改善的资金投入	美元/年
IpI_pIp	年度用于推广游客量较少景点及/或地区的资金投入	美元/年
pep_epe	新增营收中用于环境与基础设施投入的比例	-
ppp_ppp	新增营收中用于推广冷门景点及/或地区投入的比例	-
MiM_iMi	管理举措 iii 的实施强度（如游客限额、税费水平等）	-
wiw_iwi	管理举措 iii 对目标（可持续性、营收等）的影响权重 / 敏感度	-
LgL_gLg	自 2007 年以来门登霍尔冰川退缩的累计距离（以足球场个数计）	个足球场

1.3 初始条件与参数赋值

（以下为基于朱诺市的基线情景数值，用于校准和迁移模型到其他目的地时的参考）

常住居民数量 NNN ：数值为 300003000030000，表示朱诺市约有 300003000030000 名居民。
年度游轮游客数量 VcV_cVc ：数值为 1.6×1061.6\times 10^{6}1.6×106，表示朱诺市 2023 年接待的游轮乘客数量。
最繁忙一天游客数量下界 VpeakV_{\text{peak}}Vpeak ：数值至少为 200002000020000，表示朱诺市在最繁忙的一天接待的游客数量不小于 200002000020000 人。
最繁忙一天停靠游轮数量 SpeakS_{\text{peak}}Speak ：数值为 777，表示最繁忙的一天停靠的游轮数量为 777 艘。
年度旅游总营收 RRR ：数值为 3.75×1083.75\times 10^{8}3.75×108，表示朱诺市旅游业带来的年度总营收约为 3.75 亿美元。
冰川退缩距离 LgL_gLg ：数值为 888，表示自 2007 年以来门登霍尔冰川退缩了相当于 888 个足球场的距离，用于反映基线目的地的环境压力水平。

1.4 约束条件

显式约束：
1. 目的地为缓解过度拥挤和环境压力，会通过政策对年度游客总量设定上限，游客数量不得超过该上限。
  
  0≤T≤Vmax⁡0 \le T \le V_{\max}0≤T≤Vmax
2. 通过提高酒店税、征收游客费等措施获得的新增营收主要用于环境保护、基础设施改善及社区项目，相关投入总额不能超过新增营收。
  
  Ie+Ip≤ΔRI_e + I_p \le \Delta RIe+Ip≤ΔR
隐式约束：
1. 各类数量型指标（游客数量、资金投入、碳足迹、环境压力等）在物理上必须非负。
  
  T,Vc,Vh,Vl,Ie,Ip,C,E≥0T, V_c, V_h, V_l, I_e, I_p, C, E \ge 0T,Vc,Vh,Vl,Ie,Ip,C,E≥0
2. 年度游客总量等于前往热门景点和游客量较少景点及/或地区的游客量之和，用于刻画在同一目的地内部的空间分布。
  
  T=Vh+VlT = V_h + V_lT=Vh+Vl
3. 旅游活动的年度总碳足迹近似与游客总量成正比，总碳足迹不应超过目的地可接受的碳排放上限。
  
  C=αCT,C≤Cmax⁡C = \alpha_C T, \quad C \le C_{\max}C=αCT,C≤Cmax
4. 为符合可持续旅游的要求，当地居民生活质量 / 满意度指标不能低于最低可接受水平。
  
  Q≥Qmin⁡Q \ge Q_{\min}Q≥Qmin
5. 目的地的政策性游客上限不应超过其基础设施与环境的综合承载能力。
  
  Vmax⁡≤KV_{\max} \le KVmax≤K
6. 为衡量是否实现"更均衡的发展"，均衡指数限定在合理区间内（例如 000 表示极度不均衡，111 表示完全均衡），并随热门与冷门景点游客分布变化。
  
  0≤B≤10 \le B \le 10≤B≤1

【问题输出】

本问题最终需要求解的结果如下：

1. 管理举措关键程度指标 wiw_iwi ：针对另一个受过度旅游影响的目的地，在该地具体特征（环境敏感性、基础设施压力、住房与生活成本压力等）下，对各类管理举措 MiM_iMi（如游客限额、税费、游客行为约束、推广分流等）的影响权重或敏感度，用于识别"哪些举措最为关键"。
1. 新目的地的最优游客空间分布 (Vh,Vl)(V_h, V_l)(Vh,Vl)：在满足可持续约束的前提下，针对新的目的地求得热门景点与游客量较少景点及/或地区之间的游客最优分配结构，以体现"更均衡的发展"。
1. 新增营收的最优资金分配方案 (Ie,Ip)(I_e, I_p)(Ie,Ip) ：确定在新目的地下，新增营收 ΔR\Delta RΔR 中用于环境与基础设施投入 IeI_eIe 和用于推广游客量较少景点及/或地区 IpI_pIp 的最优分配，使经济收益、环境保护和社会影响之间达到综合最优。
1. 可持续发展综合指标预测值 (R,C,E,Q,B)(R, C, E, Q, B)(R,C,E,Q,B) ：在新目的地及相应管理举措组合下，预测旅游营收 RRR、碳足迹 CCC、环境与基础设施压力 EEE、居民生活质量 QQQ 以及游客分布均衡指数 BBB 等关键可持续旅游指标，用于比较不同目的地、不同举措组合的效果。
1. 目的地特征对举措效果的敏感性分析结果 ：针对与目的地选择相关的关键参数（如承载能力 KKK、碳足迹上限 Cmax⁡C_{\max}Cmax、居民生活质量下限 Qmin⁡Q_{\min}Qmin 等），给出它们变化时对 wiw_iwi、(Vh,Vl)(V_h, V_l)(Vh,Vl) 以及 (Ie,Ip)(I_e, I_p)(Ie,Ip) 等结果的敏感性指标，用于说明"目的地的选择会如何影响哪些举措最为关键"，并指导如何通过推广游客量较少的景点及/或地区实现更均衡的发展。

问题一的核心需求与实现关键

1. 核心需求

在给定朱诺市基期游客与营收水平的基础上，构建一个包含年度游客总量 TTT、最繁忙日游客上限 DDD、年度营收 RRR、新增营收 ΔR\Delta RΔR、人均收费 FFF 以及新增营收分配比例 (x1,x2,x3)(x_1,x_2,x_3)(x1,x2,x3) 等决策变量的可持续旅游发展优化模型，在环境约束（碳足迹）、社会约束（居民生活质量与拥挤度）和容量约束（可持续游客容量与峰值控制）下，综合平衡经济收益、环境影响和居民生活质量，给出最优游客规模与收费及资金分配方案，并通过对关键参数的敏感性分析识别影响可持续性的关键因素。

2. 实现关键

2.1 约束条件

年度可持续游客容量约束：在现有环境与基础设施条件（经过投资改善后）下，年度游客总量不能超过可持续游客容量 KKK，同时年度游客量物理上必须非负，用于控制整体规模避免系统性过载。

0≤T≤K 0 \leq T \leq K 0≤T≤K
峰值日游客上限约束：最繁忙日的游客数量 DDD 必须控制在政策允许的上限 Dmax⁡D_{\max}Dmax 之内，以避免极端拥挤和瞬时压力过大，同样要求 DDD 非负。

0≤D≤Dmax⁡ 0 \leq D \leq D_{\max} 0≤D≤Dmax
年度碳足迹控制约束：旅游业年度总碳足迹 CCC 不得超过碳足迹控制上限 Cmax⁡C_{\max}Cmax，同时碳排放量不能为负，以体现环境红线。

0≤C≤Cmax⁡ 0 \leq C \leq C_{\max} 0≤C≤Cmax
居民生活质量下限约束：居民生活质量指数 QQQ 必须保持在最低可接受水平 Qmin⁡Q_{\min}Qmin 以上，用于保证发展旅游业不会以显著牺牲居民福祉为代价。

Q≥Qmin⁡ Q \geq Q_{\min} Q≥Qmin
游客与居民人数比约束：年度游客数量与常住居民数量之比不应超过社会可接受上限 θ\thetaθ，用以限制整体旅游压力相对居民规模的水平。

TN≤θ \frac{T}{N} \leq \theta NT≤θ
新增营收资金分配完整性约束：年度新增营收 ΔR\Delta RΔR 必须全部在环境保护、基础设施和社区/社会项目三类支出之间分配，比例之和为 111，且各比例均为 [0,1][0,1][0,1] 区间内的合法概率型变量。

x1+x2+x3=1,0≤x1,x2,x3≤1 x_1 + x_2 + x_3 = 1,\quad 0 \leq x_1,x_2,x_3 \leq 1 x1+x2+x3=1,0≤x1,x2,x3≤1
人均碳排放非负约束：在通过环境投资改善后，人均碳排放量 αC\alpha_CαC 仍需保持非负，避免出现物理上不合理的负排放。

αC≥0 \alpha_C \geq 0 αC≥0
决策变量非负性与可行域约束：旅游收入、收费和新增营收等经济变量在物理与经济意义上应为非负，进一步限定决策空间。

R≥0,ΔR≥0,F≥0 R \geq 0,\quad \Delta R \geq 0,\quad F \geq 0 R≥0,ΔR≥0,F≥0

2.2 数学模型核心公式框架

经济子模型：旅游营收与新增营收定义 ：首先用人均旅游营收（不含新增收费）rˉ\bar{r}rˉ 与人均新增收费 FFF 描述单个游客的平均贡献，年度总营收 RRR 由游客数量与人均收入共同决定；随后用基期营收 R0R_0R0 定义新增营收 ΔR\Delta RΔR，体现发展相对基期的增量空间。

R=(rˉ+F) T R = (\bar{r} + F)\,T R=(rˉ+F)T

上式说明，在给定 TTT 和 FFF 下，年度营收与游客规模呈线性关系；进而新增营收定义为

ΔR=R−R0 \Delta R = R - R_0 ΔR=R−R0

该关系将优化问题中的经济目标与基期情景联系起来，使得模型能够评估政策相对现状的改善程度。
环境子模型：碳足迹与环境投资反馈机制 ：旅游业年度碳足迹 CCC 与游客总量 TTT 近似成正比，比例系数为人均碳排放量 αC\alpha_CαC，而环境保护投资（通过比例 x1x_1x1 分配的新增营收）可以降低人均碳排放水平。

C=αC T C = \alpha_C\,T C=αCT

上式表达了碳排放随游客规模线性扩展的假设；在此基础上，通过环境投资对 αC\alpha_CαC 做线性改善：

αC=αC0−k1 x1 ΔR \alpha_C = \alpha_{C0} - k_1\,x_1\,\Delta R αC=αC0−k1x1ΔR

该式说明，环境保护投入规模 x1 ΔRx_1\,\Delta Rx1ΔR 越大，人均碳排放量越低，k1k_1k1 刻画投资改善碳强度的敏感性，从而形成"新增营收反哺环境指标"的反馈通道。
容量子模型：基础设施投资与可持续游客容量 ：基础设施投资（通过比例 x2x_2x2 分配的新增营收）可以提升城市每年可持续接待的游客容量 KKK，使城市在维持可接受环境与社会压力的前提下容纳更多游客。

K=K0+k2 x2 ΔR K = K_0 + k_2\,x_2\,\Delta R K=K0+k2x2ΔR

上式表示，以基期容量 K0K_0K0 为起点，基础设施投资 x2 ΔRx_2\,\Delta Rx2ΔR 会通过敏感系数 k2k_2k2 线性扩大可持续容量，从而放松约束 T≤KT \leq KT≤K，扩大可持续发展空间。
社会子模型：居民生活质量与游客压力及社区投资 ：居民生活质量指数 QQQ 一方面受社区/社会项目投资（通过比例 x3x_3x3 分配新增营收）提升，另一方面受游客压力（用游客/居民比 T/NT/NT/N 表征）下降，通过如下线性结构予以刻画。

Q=Q0+k3 x3 ΔR−k4 TN Q = Q_0 + k_3\,x_3\,\Delta R - k_4\,\frac{T}{N} Q=Q0+k3x3ΔR−k4NT

式中，k3k_3k3 描述社区类投资改善 QQQ 的效应强度，k4k_4k4 描述游客压力对生活质量的不利影响，两者共同决定在给定游客规模与投资结构下居民满意度能否保持在 Qmin⁡Q_{\min}Qmin 以上。
峰值拥挤控制与游客管理策略联动 ：为了将年度游客规模 TTT 与峰值日控制决策 DDD 联系起来，可以用归一化峰值压力指标（如 D/Dmax⁡D/D_{\max}D/Dmax）作为目标函数中的拥挤惩罚项，使最优解倾向于在满足年度收入目标的同时降低高峰压力。

ϕD=DDmax⁡ \phi_D = \frac{D}{D_{\max}} ϕD=DmaxD

该无量纲指标 ϕD\phi_DϕD 越大表示高峰日越接近承载上限，后续在目标函数中对 ϕD\phi_DϕD 赋予负向权重即可体现"控制峰值"的优化目标。
综合多目标优化函数构建：将经济收益、环境影响、居民生活质量与峰值拥挤度整合为单一目标函数，通过权重加权方式体现不同政策偏好，形成可用于数值求解的优化问题。

max⁡T,D,F,x1,x2,x3 f=wR RR0−wC CCmax⁡+wQ QQ0−wD ϕD \max_{T,D,F,x_1,x_2,x_3}\; f = w_R\,\frac{R}{R_0} - w_C\,\frac{C}{C_{\max}} + w_Q\,\frac{Q}{Q_0} - w_D\,\phi_D T,D,F,x1,x2,x3maxf=wRR0R−wCCmaxC+wQQ0Q−wDϕD

式中，wR,wC,wQ,wD>0w_R,w_C,w_Q,w_D>0wR,wC,wQ,wD>0 为决策者对经济、环境、社会和拥挤度目标的权重；目标函数在满足前述约束条件的可行域内最大化，决定了最优的游客规模 TTT、峰值控制 DDD、收费 FFF 与资金分配 (x1,x2,x3)(x_1,x_2,x_3)(x1,x2,x3)。
敏感性分析框架：关键参数对最优决策与指标的影响 ：将影响可持续性的关键参数（如 αC,Cmax⁡,θ,rˉ,k1,k2,k4\alpha_C,C_{\max},\theta,\bar{r},k_1,k_2,k_4αC,Cmax,θ,rˉ,k1,k2,k4）组成参数向量 p\boldsymbol{p}p，对每个参数的变化分析对模型最优解的影响，可通过归一化敏感度指标度量。

Sy,p=∂y∗∂p⋅py∗,y∗∈{T∗,R∗,C∗,Q∗}, p∈p S_{y,p} = \frac{\partial y^*}{\partial p}\cdot\frac{p}{y^*},\quad y^* \in \{T^*,R^*,C^*,Q^*\},\; p \in \boldsymbol{p} Sy,p=∂p∂y∗⋅y∗p,y∗∈{T∗,R∗,C∗,Q∗},p∈p

该式定义了在最优解处，任一输出指标 y∗y^*y∗ 对任一参数 ppp 的弹性敏感度 Sy,pS_{y,p}Sy,p，据此可以排序出对游客规模、营收、碳足迹和生活质量影响最大的关键参数，为政策制定提供依据。

2.3 预期输出定义

年度游客规模与峰值控制方案：输出最优年度游客总数 T∗T^*T∗ 与最繁忙日游客上限 D∗D^*D∗，用于表征在可持续约束下的游客数量管理策略。
旅游营收及新增营收水平：输出最优方案下的年度旅游总营收 R∗R^*R∗ 及相对于基期的新增营收 ΔR∗=R∗−R0\Delta R^* = R^* - R_0ΔR∗=R∗−R0，用于评估经济收益。
收费政策设计结果：输出每名游客新增收费 FFF 的可行取值范围及对应最优值 F∗F^*F∗，反映税费/游客费等政策所需强度。
新增营收资金分配方案：输出最优新增营收分配比例 (x1∗,x2∗,x3∗)(x_1^*,x_2^*,x_3^*)(x1∗,x2∗,x3∗)，分别对应环境保护、基础设施和社区/社会项目的支出结构。
环境与碳足迹结果指标：输出最优方案下的年度总碳足迹 C∗C^*C∗ 和人均碳排放量 αC∗\alpha_C^*αC∗，并与控制上限 Cmax⁡C_{\max}Cmax 进行比较，用于评价环境可持续性。
居民生活质量与拥挤度指标：输出最优方案下的居民生活质量指数 Q∗Q^*Q∗ 及游客-居民比 T∗/NT^*/NT∗/N，并与阈值 Qmin⁡Q_{\min}Qmin、θ\thetaθ 比较，用于评价社会可接受性。
可持续容量与基础设施改善效果：输出模型计算得到的可持续游客容量 K∗=K0+k2x2∗ΔR∗K^* = K_0 + k_2 x_2^* \Delta R^*K∗=K0+k2x2∗ΔR∗ 及容量提升量 K∗−K0K^* - K_0K∗−K0，衡量基础设施投资对可持续发展的支撑能力。
敏感性分析结果与关键影响因素：输出针对参数 αC,Cmax⁡,θ,rˉ,k1,k2,k4\alpha_C,C_{\max},\theta,\bar{r},k_1,k_2,k_4αC,Cmax,θ,rˉ,k1,k2,k4 的敏感度指标 Sy,pS_{y,p}Sy,p 及其排序结果，说明这些参数变化对 T∗,R∗,C∗,Q∗T^*,R^*,C^*,Q^*T∗,R∗,C∗,Q∗ 等指标的影响程度，并识别最关键的影响因素。

问题二的核心需求与实现关键

1. 核心需求

在保持问题一可持续旅游模型结构的前提下，将其迁移到另一个受到过度旅游影响的目的地，结合该地的承载能力、环境敏感性、基础设施压力和居民生活成本等特征，确定各类管理举措 MiM_iMi（游客限额、税费、行为规范、推广分流等）的关键程度，求解在可持续约束下热门景点与游客量较少景点及/或地区之间的最优游客空间分布 (Vh,Vl)(V_h,V_l)(Vh,Vl) 以及新增营收在环境/基础设施投入 IeI_eIe 与推广冷门景点投入 IpI_pIp 之间的最优分配，并通过敏感性分析刻画"目的地选择"对举措效果和游客分布均衡性的影响。

2. 实现关键

2.1 约束条件

年度游客总量政策上限约束：为缓解过度拥挤与环境压力，新目的地会对年度游客总量 TTT 设定政策上限 Vmax⁡V_{\max}Vmax，要求实际游客量不超过该上限且非负。

0≤T≤Vmax⁡ 0 \leq T \leq V_{\max} 0≤T≤Vmax
新增营收资金使用约束：通过提高酒店税、征收游客费等获取的新增营收 ΔR\Delta RΔR 在环境与基础设施投资 IeI_eIe 和推广冷门景点投资 IpI_pIp 之间分配时，两者之和不能超过新增营收。

Ie+Ip≤ΔR I_e + I_p \leq \Delta R Ie+Ip≤ΔR
物理非负性约束：游客数量、资金投入、碳足迹和环境压力等数量型指标在物理意义上不能为负，用于保证求解结果的现实可行性。

T, Vc, Vh, Vl, Ie, Ip, C, E≥0 T,\,V_c,\,V_h,\,V_l,\,I_e,\,I_p,\,C,\,E \geq 0 T,Vc,Vh,Vl,Ie,Ip,C,E≥0
游客空间分布守恒约束：年度游客总量 TTT 等于前往热门景点和游客量较少景点与地区的游客量之和，用以刻画同一目的地内部的空间分布平衡。

T=Vh+Vl T = V_h + V_l T=Vh+Vl
碳足迹与碳上限约束：旅游活动的年度总碳足迹 CCC 近似与游客总量 TTT 成正比，且不得超过目的地的可接受碳排放上限 Cmax⁡C_{\max}Cmax。

C=αC T,C≤Cmax⁡ C = \alpha_C\,T,\quad C \leq C_{\max} C=αCT,C≤Cmax
居民生活质量下限约束：为符合可持续旅游要求，当地居民生活质量/满意度指标 QQQ 必须高于最低可接受水平 Qmin⁡Q_{\min}Qmin。

Q≥Qmin⁡ Q \geq Q_{\min} Q≥Qmin
承载能力与政策上限一致性约束：目的地的政策性游客上限 Vmax⁡V_{\max}Vmax 不应超过其综合承载能力 KKK，保证政策目标与实际承载能力一致。

Vmax⁡≤K V_{\max} \leq K Vmax≤K
游客分布均衡指数约束：均衡指数 BBB 用于衡量热门与冷门景点之间的游客分布是否均衡，其取值限定在 [0,1][0,1][0,1] 区间内，000 表示极度不均衡，111 表示完全均衡。

0≤B≤1 0 \leq B \leq 1 0≤B≤1

2.2 数学模型核心公式框架

经济子模型：旅游营收与新增营收在新目的地的定义 ：在迁移模型时，保持"人均收入 rˉ\bar{r}rˉ×游客总量"的基本结构，将新目的地的年度营收 RRR 表示为游客规模的线性函数，并用该地基期营收 R0R_0R0 定义新增营收 ΔR\Delta RΔR。

R=rˉ T,ΔR=R−R0 R = \bar{r}\,T,\quad \Delta R = R - R_0 R=rˉT,ΔR=R−R0

该结构在形式上与问题一保持一致，只是参数 rˉ,R0\bar{r},R_0rˉ,R0 依据新目的地的经济水平重新标定，用于后续资金分配与投资效果评估。
环境与基础设施压力子模型：EEE 与目的地特征的联系 ：用环境与基础设施综合压力指数 EEE 表征目的地承压程度，将整体游客规模、峰值压力和环境敏感性（例如用冰川退缩距离 LgL_gLg 代表）共同纳入。

E=βT TK+βP VpeakN+βG Lg E = \beta_T\,\frac{T}{K} + \beta_P\,\frac{V_{\text{peak}}}{N} + \beta_G\,L_g E=βTKT+βPNVpeak+βGLg

式中，βT,βP,βG>0\beta_T,\beta_P,\beta_G>0βT,βP,βG>0 为待标定的敏感性系数；EEE 越大表示环境与基础设施越接近或超过可承受水平，需通过约束 E≤Emax⁡E \leq E_{\max}E≤Emax 或在目标函数中施加惩罚实现控制。
游客空间分布与均衡指数子模型 ：在给定总游客量 TTT 的情况下，通过热门景点游客量 VhV_hVh 与冷门景点/地区游客量 VlV_lVl 的分配刻画空间结构，并用一个光滑的均衡指数函数 BBB 评价分布是否均衡。

B=1−2∣VhT−12∣ B = 1 - 2\left|\frac{V_h}{T} - \frac{1}{2}\right| B=1−2 TVh−21

该式满足当 Vh=Vl=T/2V_h = V_l = T/2Vh=Vl=T/2 时 B=1B=1B=1，表示完全均衡；当所有游客集中在热门景点（Vh=T,Vl=0V_h = T,V_l=0Vh=T,Vl=0）或全部集中在冷门景点时 B=0B=0B=0，表示极度不均衡，符合约束 0≤B≤10 \leq B \leq 10≤B≤1。
资金分配子模型：新增营收到 IeI_eIe 与 IpI_pIp 的映射 ：利用比例变量 pe,ppp_e,p_ppe,pp 描述新增营收在环境/基础设施投入与冷门景点推广之间的分配，形成简单可解释的预算结构。

Ie=pe ΔR,Ip=pp ΔR,pe+pp≤1 I_e = p_e\,\Delta R,\quad I_p = p_p\,\Delta R,\quad p_e + p_p \leq 1 Ie=peΔR,Ip=ppΔR,pe+pp≤1

上式表明，新增营收的一部分用于环境与基础设施改善（IeI_eIe），另一部分用于推广和分流冷门景点（IpI_pIp），剩余部分可用于其它用途或结余；通过决策 pe,ppp_e,p_ppe,pp 可以直接调控投资方向。
社会子模型：居民生活质量与管理举措的耦合 ：在新目的地中，居民生活质量 QQQ 受到环境/基础设施投入、游客压力以及管理举措 MiM_iMi 的综合影响，可用下式刻画。

Q=Q0+ηe Ie−ηT TN+∑iηi Mi Q = Q_0 + \eta_e\,I_e - \eta_T\,\frac{T}{N} + \sum_i \eta_i\,M_i Q=Q0+ηeIe−ηTNT+i∑ηiMi

式中，Q0Q_0Q0 为该目的地在基期情景下的生活质量指数；ηe>0\eta_e>0ηe>0 表示环境与基础设施投入提升 QQQ 的效应，ηT>0\eta_T>0ηT>0 表示游客压力降低 QQQ 的效应，ηi\eta_iηi 则反映特定管理举措（如噪音控制、住房保护等）对居民满意度的直接影响。
冷门景点推广与游客分流效果模型 ：推广投入 IpI_pIp 和相关管理举措（例如信息引导、价格激励等）会将部分游客从热门景点分流到游客量较少的景点或地区，可用线性响应结构描述 VlV_lVl 的提升。

Vl=Vl0+ap Ip+∑iai Mi,Vh=T−Vl V_l = V_l^{0} + a_p\,I_p + \sum_i a_i\,M_i,\quad V_h = T - V_l Vl=Vl0+apIp+i∑aiMi,Vh=T−Vl

其中，Vl0V_l^{0}Vl0 为未采取额外推广时前往冷门景点的基期游客量，ap>0a_p>0ap>0 描述推广投入对冷门景点游客量的敏感性，aia_iai 则表示各类举措 MiM_iMi 对分流效果的贡献，该结构使得 IpI_pIp 和 MiM_iMi 能直接通过 VlV_lVl、BBB 反映"更均衡的发展"。
综合目标函数：多维可持续性在新目的地的权衡：在迁移后的目的地，综合考虑经济收益、碳排放、环境与基础设施压力、居民生活质量和游客分布均衡度，将其整合为一个加权多目标函数。

max⁡T,Vh,Vl,Ie,Ip,{Mi}f=λR RR0−λC CCmax⁡−λE EEmax⁡+λQ QQ0+λB B \max_{T,V_h,V_l,I_e,I_p,\{M_i\}} f = \lambda_R\,\frac{R}{R_0} - \lambda_C\,\frac{C}{C_{\max}} - \lambda_E\,\frac{E}{E_{\max}} + \lambda_Q\,\frac{Q}{Q_0} + \lambda_B\,B T,Vh,Vl,Ie,Ip,{Mi}maxf=λRR0R−λCCmaxC−λEEmaxE+λQQ0Q+λBB

式中，λR,λC,λE,λQ,λB>0\lambda_R,\lambda_C,\lambda_E,\lambda_Q,\lambda_B>0λR,λC,λE,λQ,λB>0 为决策者对各目标维度的权重；通过改变这些权重可反映不同目的地对经济发展、环境保护与空间均衡的偏好差异。
管理举措关键程度指标 wiw_iwi 的定义 ：为定量识别"哪些举措最为关键"，在上述综合目标函数基础上，将各管理举措 MiM_iMi 对关键结果的综合边际影响定义为权重/敏感度指标 wiw_iwi。

wi=∑y∈{R,C,E,Q,B}ωy ∂y∂Mi⋅Miy w_i = \sum_{y \in \{R,C,E,Q,B\}} \omega_y\,\frac{\partial y}{\partial M_i}\cdot\frac{M_i}{y} wi=y∈{R,C,E,Q,B}∑ωy∂Mi∂y⋅yMi

其中，yyy 为关心的输出指标，ωy\omega_yωy 为对不同指标的政策权重；wiw_iwi 越大（绝对值越大）表示举措 MiM_iMi 对综合目标越关键，符号则反映其改善或恶化可持续性的方向。
目的地特征敏感性分析：承载能力与阈值对结果的影响 ：将承载能力 KKK、碳足迹上限 Cmax⁡C_{\max}Cmax、生活质量下限 Qmin⁡Q_{\min}Qmin 等目的地特征参数组成集合 Θ\ThetaΘ，分析这些参数变化时对管理举措关键程度和资源分配结构的影响。

Sz,θ=∂z∗∂θ⋅θz∗,z∗∈{wi∗,Vh∗,Vl∗,Ie∗,Ip∗}, θ∈Θ S_{z,\theta} = \frac{\partial z^*}{\partial \theta}\cdot\frac{\theta}{z^*},\quad z^* \in \{w_i^*,V_h^*,V_l^*,I_e^*,I_p^*\},\; \theta \in \Theta Sz,θ=∂θ∂z∗⋅z∗θ,z∗∈{wi∗,Vh∗,Vl∗,Ie∗,Ip∗},θ∈Θ

该式定义了最优解下各关键输出 z∗z^*z∗ 对目的地特征参数 θ\thetaθ 的归一化敏感度 Sz,θS_{z,\theta}Sz,θ，通过比较不同 θ\thetaθ 下的敏感度与最优解变化，可以说明"目的地的选择会如何影响哪些举措最为关键"，并刻画推广冷门景点在不同目的地条件下的有效性。

2.3 预期输出定义

管理举措关键程度指标 wiw_iwi：输出在新目的地情景下，各管理举措 MiM_iMi 的敏感度指标 wiw_iwi 及其排序结果，用于识别在该地特定环境与社会约束下"哪些举措最为关键"。
新目的地的最优游客空间分布 (Vh∗,Vl∗)(V_h^*,V_l^*)(Vh∗,Vl∗)：输出满足所有可持续约束并最大化综合目标函数的最优游客分配，给出热门景点游客量 Vh∗V_h^*Vh∗ 与冷门景点及/或地区游客量 Vl∗V_l^*Vl∗，体现是否实现"更均衡的发展"。
新增营收的最优资金分配方案 (Ie∗,Ip∗)(I_e^*,I_p^*)(Ie∗,Ip∗)：输出在新目的地下，新增营收 ΔR\Delta RΔR 在环境与基础设施投入 IeI_eIe 和推广冷门景点及/或地区投入 IpI_pIp 之间的最优分配 (Ie∗,Ip∗)(I_e^*,I_p^*)(Ie∗,Ip∗)，反映经济收益与环境、社会目标之间的最佳权衡。
可持续发展综合指标预测值 (R∗,C∗,E∗,Q∗,B∗)(R^*,C^*,E^*,Q^*,B^*)(R∗,C∗,E∗,Q∗,B∗)：输出在新目的地及相应管理举措组合下的预测旅游营收 R∗R^*R∗、碳足迹 C∗C^*C∗、环境与基础设施压力指数 E∗E^*E∗、居民生活质量 Q∗Q^*Q∗ 以及游客分布均衡指数 B∗B^*B∗，用于对比不同目的地或不同管理方案的表现。
目的地特征对举措效果的敏感性分析结果：输出针对承载能力 KKK、碳足迹上限 Cmax⁡C_{\max}Cmax、居民生活质量下限 Qmin⁡Q_{\min}Qmin 等目的地特征参数的敏感度指标 Sz,θS_{z,\theta}Sz,θ，展示这些参数变化对 wi∗w_i^*wi∗、(Vh∗,Vl∗)(V_h^*,V_l^*)(Vh∗,Vl∗) 以及 (Ie∗,Ip∗)(I_e^*,I_p^*)(Ie∗,Ip∗) 的影响模式，从而说明不同目的地下举措关键性的差异，并为通过推广游客量较少景点及/或地区实现更均衡发展提供定量依据。