特勒根定理的证明

特勒根定理在电路中非常重要，但它并不容易理解，且教材中也一般没有相关的证明，如邱关源<<电路>>，其包括两条：

考虑一个具有 b 条支路、n 个节点的电路。所有支路电压 和支路电流都取关联参考方向（即电流从电压正极流入）。

• 定理一（功率守恒定理）：对于任意一个电路，在任意时刻，有

  

即，所有支路吸收的瞬时功率之和恒为零。这实际上是能量守恒定律在集总参数电路中的体现。

• 定理二（似功率定理） ：设有两个具有相同拓扑结构 的电路 N 和 。它们由不同的元件组成，工作在不同的状态。设电路 N的支路电压、电流为、，电路 的支路电压、电流为、，且两者支路编号和方向一致。则在任意时刻，有

  和

  这个形式更为强大，是证明互易定理等的重要工具。

特勒根定理的证明

我们证明更通用的定理二。定理一只是定理二在两个电路完全相同时的特殊情况。

证明思路 ：核心技巧是利用节点电位 来表示支路电压，然后利用基尔霍夫电流定律进行求和重组。

1. 设定与前提

   • 设电路有 n 个节点。任选一个节点为参考节点（电位为零），记其余 n-1 个独立节点的电位为​ (对于电路 N) 和 ​ (对于电路)。

   • 电路 N 和 拓扑结构完全相同，即它们的图（由支路和节点构成的连接关系）是一样的。

2. 用节点电位表示支路电压

   • 对于电路 N中的任意一条支路 k，它连接节点 i 和 j（假设方向从 ii 指向 jj）。根据电压的定义，该支路电压可表示为：

   • 同理，对于电路 中对应的同一条支路 k，其电流记为，但电压 也用其自身节点电压表示为：

3. 构造求和式并展开

   • 考虑求和式

   • 将第2步的表达式代入：

     

     这里下标 k 表示该支路连接的是节点 i 和 j。

4. 关键重组：按节点聚合

   • 这个求和是对所有支路进行的。我们可以换一个视角：看每个节点相关联的支路。

   • 对于每一个节点电位 ​（m=1,2,...,n−11），它在求和式中出现的形式是：每当有一条支路以 m 为起点（即电流从 m 流出），该项就包含 ；每当有一条支路以 m 为终点（即电流流入 m），该项就包含​。

   • 因此，对固定的节点 m，所有包含​​ 的项可以合并为：

     

     注意：这里求和的是电路 的支路电流。

5. 应用基尔霍夫电流定律

   • 括号内的表达式，正是电路 在节点 m 处的所有流出电流之和减去所有流入电流之和 。根据KCL，对于电路**的任何一个节点 m\（除了参考节点），所有流出电流之和等于所有流入电流之和。因此，括号内的值等于零！

   • 即：

     

6. 得出结论

   • 由于对于每一个独立节点 mm，其对应的因子均为零，所以整个求和 S=0。

   • 即：

     

   • 同理，交换 N与的角色，可证：

     

证毕。