计算机系统概论——校验码

校验码

一、为什么需要校验码

计算机数据传输与存储过程中，可能出现：

噪声干扰
硬件故障
信号衰减
导致比特错误

检错（发现错误）
纠错（自动修正错误）

二、码距

⭐ 1. 码距定义

两个合法码字之间对应位不同的个数

例如

复制代码

10101
11100
不同位 = 3 → 码距 = 3

⭐ 2. 最小码距 d

所有合法码字之间最小的距离

三、码距与检错/纠错能力关系

⭐ 1. 检错能力

若要检查e位错误 ：
d ≥ e + 1

⭐ 2. 纠错能力

若要纠正 t 位错误 ：
d ≥ 2t + 1

⭐ 3. 同时检错 + 纠错

纠正 t 位错
检查 e 位错

d ≥ e + t + 1

四、奇偶校验码

⭐ 原理

利用奇偶性

保证码字中：1 的个数为奇数（奇校验），或偶数（偶校验）

⭐ 特点

✅ 检测 1 位错误

❌ 无法纠错

❌ 无法检测偶数位错误

⭐ 码距

d=2

五、海明码（Hamming Code）

⭐ 1. 基本思想

利用多个奇偶效验位，通过定位错误位置来纠错

⭐ 2. 海明码的能力

纠正 1 位错误
检测 2 位错误

⭐ 3. 海明码最小码距

海明码最小码距 d = 3

⭐ 4. 校验位数量公式

设：

数据位 = n
校验位 = k

必须满足：2k≥n+k+12^k ≥ n + k + 12k≥n+k+1

⭐ 5. 海明码校验位位置

校验位放在：2^i 位

⭐ 6. 海明码编码步骤

步骤：

① 确定校验位数量

② 插入校验位位置

③ 按奇偶规则计算校验位

④ 得到最终码字

📝 例题
题目：假设信息码（数据位）为 1011，采用偶校验（即每个校验组中"1"的个数为偶数），求其海明码。

🚀 详细解题步骤

① 确定校验位数量 (k)

已知：信息位 n = 4
公式：2k≥n+k+12^k ≥ n+k+12k≥n+k+1
试算：
- 若 k=1：21=2,4+1+1=62^1=2,4+1+1=621=2,4+1+1=6（不满足）
- 若 k=2：22=4,4+2+1=72^2=4,4+2+1=722=4,4+2+1=7（不满足）
- 若 k=3：23=8,4+3+1=82^3=8,4+3+1=823=8,4+3+1=8（满足 8≥8）
结论：需要 3 个校验位（P1,P2,P3）
总位数：4+3=7位

② 插入校验位位置

规则：校验位Pi放在第 2i−12^{i-1}2i−1 的位置上（即第 1,2,4,8···位）。其余位置按顺序填入信息位
位置分配表：

位置序号	7	6	5	4	3	2	1
类型	信息位	信息位	信息位	校验位	信息位	校验位	校验位
符号	D4D_4D4	D3D_3D3	D2D_2D2	P3P_3P3	D1D_1D1	P2P_2P2	P1P_1P1
数值	1	0	1	?	1	?	?

③ 按奇偶规则计算校验位

规则核心：
- P1P_1P1（位置1）复杂校验二进制末位是1的位置：1,3,5,7
- P2P_2P2（位置2）复杂校验二进制倒数第二位是 1 的位置：2,3,6,7
- P3P_3P3（位置4）复杂校验二进制倒数第三位是 1 的位置：4,5,6,7
- (口诀：看位置序号的二进制表示，哪一位是1，就归哪个校验位管)
开始计算（采用偶校验，即组内"1"的总数为偶数）：
1. 计算P1P_1P1(检查位置 1, 3, 5, 7)：
  - 涉及数据：P1P_1P1,D1(1)D_1(1)D1(1),D2(1)D_2(1)D2(1),D4(1)D_4(1)D4(1)
  - 现在 1 的数量为 3 个（奇数）
  - 则P1P_1P1为1
2. 计算P2P_2P2(检查位置 2, 3, 6, 7)：
  - 涉及数据：P2P_2P2,D1(1)D_1(1)D1(1),D3(0)D_3(0)D3(0),D4(1)D_4(1)D4(1)
  - 现在 1 的数量为 2 个（偶数）
  - 则P2P_2P2为0
3. 计算P3P_3P3(检查位置 4, 5, 6, 7)：
  - 涉及数据：P3P_3P3,D2(1)D_2(1)D2(1),D3(0)D_3(0)D3(0),D4(1)D_4(1)D4(1)
  - 现在 1 的数量为 2 个（偶数）
  - 则P3P_3P3为0
计算结果：P1=1,P2=0,P3=0P_1=1,P_2=0,P_3=0P1=1,P2=0,P3=0

④ 得到最终码字

位置序号	7	6	5	4	3	2	1
数值	1	0	1	0	1	0	1

最终海明码为：1010101

⭐ 7. 海明码纠错原理

计算校验结果 → 得到一个二进制数 → 错误位位置

直接翻转即可纠错

六、循环冗余校验码（CRC）

⭐ 1. 基本思想

利用模2除法生成校验码

⭐ 2. CRC工作过程

发送端

步骤：

1️⃣ 在数据后补0

2️⃣ 用生成多项式进行模2除法

3️⃣ 得到余数作为校验码

接收端

将收到的数据再次做模2除法：

余数 = 0 ：无错
余数 ≠ 0 → 有错

📝 例题

原始数据 (M)：101110
生成多项式 (G)：x3+x+1x^3+x+1x3+x+1
- 对应二进制除数：1011 （因为1∗x3+0∗x2+1∗x1+1∗x01*x^3+0*x^2+1*x^1+1*x^01∗x3+0∗x2+1∗x1+1∗x0）
目标：求发送的完整帧（数据+校验码），并演示接收端验错。

🚀 第一部分：发送端计算

1️⃣ 在数据后补 0

规则：补 0 的个数 = 生成多项式的最高次幂（或者说是除数位数 - 1）
本题中，除数 1011 是 4 位，所以补 3 个 0
被除数：101110 + 000 = 101110000

2️⃣ 模 2 除法

加法/减法都等同于 异或 (XOR) 运算
1⊕1=0,0⊕0=0,1⊕0=1,0⊕1=11⊕1=0,0⊕0=0,1⊕0=1,0⊕1=11⊕1=0,0⊕0=0,1⊕0=1,0⊕1=1
不借位，不进位
每次商只取 1 或 0（够除商1，不够除商0）

竖式计算过程：

复制代码

		1 0 1 1 1 0 0 0 0
按位 ⊕	1 0 1 1
-----------------------------------
		0 0 0 0 1 0 0 0 0
				1 0 1 1
------------------------------------
				0 0 1 1 0

余数为110

3️⃣ 得到最终码字

原数据：101110
校验码：110
发送帧：101110110

🔍 第二部分：接收端验错

再次做模 2 除法

被除数：101110110

除数：1011

复制代码

1 0 1 1 1 0 1 1 0
1 0 1 1
------------------------
0 0 0 0 1 0 1 1 0
		1 0 1 1
		0 0 0 0 0
------------------------

余数 = 0 → 判定：无错，接收数据有效

⭐ 3. CRC特点

优点：

检错能力极强
可检测突发错误
硬件实现简单

缺点：不能自动纠错

⭐ 4. CRC码距

一般 d ≥ 4

可检测：单错、双错、多位突发错

七、三种校验码对比

校验码	检错	纠错	码距
奇偶校验	1位	无	2
海明码	2位	1位	3
CRC	多位	无	≥4

八、总结

⭐ 码距关系

复制代码

检错：d ≥ e + 1
纠错：d ≥ 2t + 1
同时：d ≥ e + t + 1

⭐ 海明码

复制代码

2^k ≥ n + k + 1
d = 3

⭐ CRC

复制代码

模2除法求余

复制代码

奇偶检1不能纠
海明纠1检2错
CRC突发检错强
码距决定纠检数