数据结构：（四）空间的艺术——数组压缩与广义表

目录

[一、 数组：从逻辑维度到物理地址](#一、 数组：从逻辑维度到物理地址)

[1. 行优先 (Row-major) 与 列优先 (Column-major)](#1. 行优先 (Row-major) 与 列优先 (Column-major))

[二、 特殊矩阵的压缩存储](#二、 特殊矩阵的压缩存储)

[1. 对称矩阵 ()](#1. 对称矩阵 ())

[2. 三角矩阵](#2. 三角矩阵)

[三、 稀疏矩阵 (Sparse Matrix)：变废为宝](#三、 稀疏矩阵 (Sparse Matrix)：变废为宝)

[1. 三元组顺序表 (Triple Oracle)](#1. 三元组顺序表 (Triple Oracle))

[2. 十字链表 (Cross List) ------ 终极优化](#2. 十字链表 (Cross List) —— 终极优化)

[四、 广义表 (Generalized Lists)：递归的线性表](#四、 广义表 (Generalized Lists)：递归的线性表)

[1. 核心操作：GetHead 与 GetTail](#1. 核心操作：GetHead 与 GetTail)

[五、 今日深度总结表](#五、 今日深度总结表)

避坑指南：

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一、 数组：从逻辑维度到物理地址

数组是随机存取结构。在内存中，多维数组必须映射为一维线性地址。

1. 行优先 (Row-major) 与 列优先 (Column-major)

• 行优先（C语言、严版教材默认）：先存第一行，再存第二行。

• 二维数组地址计算公式 （以 的二维数组 为例，下标从 0 开始）：

  

  详细注释 ：代表跳过了前 行的所有元素， 代表在当前行偏移的位置， 是每个元素占用的字节数。

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二、 特殊矩阵的压缩存储

对于有规律的矩阵，我们只存"有效"部分，其余部分通过数学公式计算得出。

1. 对称矩阵 ()

只需存储下三角（含对角线）的 个元素。

• 映射公式 ：将二维下标 映射到一维数组 。

  (当 时)

2. 三角矩阵

上（下）三角全是常数 。同样只存有效的一半加一个位置存常数。

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三、 稀疏矩阵 (Sparse Matrix)：变废为宝

当矩阵中绝大多数元素为 0 时（非零元素占比通常 < 5%），直接存储会造成内存极大浪费。

1. 三元组顺序表 (Triple Oracle)

• 原理 ：每个非零元素存为一个三元组 (行下标, 列下标, 值)。

• 缺点：失去了随机存取特性。

• 高频考点 ：快速转置算法。传统的行列互换后，为了保持三元组按行序排列，需要预先统计每列非零个数，计算出转置后每行应放的起始位置。

2. 十字链表 (Cross List) ------ 终极优化

• 结构 ：每个非零元素是一个节点，包含五个域：行、列、值、行指针(right)、列指针(down)。

• 优势：在进行矩阵加法、乘法等动态运算时，十字链表无需像三元组那样频繁移动元素，效率极高。

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四、 广义表 (Generalized Lists)：递归的线性表

广义表是线性表的推广，它的元素可以是原子 （单个数据），也可以是子表。

1. 核心操作：GetHead 与 GetTail

这是考试中最容易丢分的地方：

• GetHead(L)：取出的第一个元素。可以是原子，也可以是子表。

• GetTail(L) ：除去 第一个元素外，剩下的元素组成的表。

  ⚠️ 必考例题：

  

  

  ------ 注意：尾部一定带括号，是一个表！

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五、 今日深度总结表

存储对象	核心挑战	解决方案	适用场景
稠密矩阵	快速存取	顺序存储（行优先）	基础科学计算
对称/对角矩阵	冗余数据多	下三角/对角压缩	物理模拟、结构分析
稀疏矩阵	0 元素极多	三元组、十字链表	社交网络邻接矩阵、推荐算法
广义表	结构不规则	链式存储（头尾链）	Lisp 语言、递归逻辑表示

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避坑指南：

1. 公式偏移 ：一定要看清题目下标是从 0 还是 1 开始。如果是从 1 开始，地址公式变为：。

2. 转置细节：三元组转置时，如果不使用"快速转置"，时间复杂度会升至 O(n \\times t)（t 为非零元素个数），这在考研大题中是扣分项。

3. 广义表空表 ：。空表也是表，不能写"无"。