力扣572. 另一棵树的子树-递归

问题描述

给定两棵二叉树 root 和 subRoot，检验 root 中是否包含和 subRoot 具有相同结构和节点值的子树。如果存在，返回 true；否则返回 false。

二叉树 tree 的一棵子树包括 tree 的某个节点和这个节点的所有后代节点。tree 也可以看做它自身的一棵子树。

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输入：root = [3,4,5,1,2], subRoot = [4,1,2]
输出：true

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输入：root = [3,4,5,1,2,null,null,null,null,0], subRoot = [4,1,2]
输出：false

解题思路

核心思想

解决这个问题的关键在于两点：

如何判断两棵树完全相同
如何在一棵树中寻找与目标树相同的子树

我们采用递归的思想来解决：

首先实现一个辅助函数来判断两棵树是否完全相同
然后在主函数中，检查当前树是否与目标树相同，如果不同则递归检查左右子树

算法步骤

处理边界情况：
- 如果 subRoot 为空树，根据定义空树是任何树的子树，返回 true
- 如果 root 为空而 subRoot 不为空，返回 false
判断当前树是否相同：
- 使用辅助函数 isSame 判断以当前节点为根的树是否与 subRoot 完全相同
- 如果相同，直接返回 true
递归搜索左右子树：
- 如果不相同，则继续在左子树和右子树中寻找
- 只要任意一边找到就返回 true

代码实现

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/**
 * Definition for a binary tree node.
 * public class TreeNode {
 *     int val;
 *     TreeNode left;
 *     TreeNode right;
 *     TreeNode() {}
 *     TreeNode(int val) { this.val = val; }
 *     TreeNode(int val, TreeNode left, TreeNode right) {
 *         this.val = val;
 *         this.left = left;
 *         this.right = right;
 *     }
 * }
 */
class Solution {
    public boolean isSubtree(TreeNode root, TreeNode subRoot) {
        // 处理边界情况
        if (subRoot == null) {
            return true; // 空树是任何树的子树
        }
        if (root == null) {
            return false; // 非空子树不可能是空树的子树
        }
        
        if(isSame(root,subRoot)){
            return true;
        }
        return isSubtree(root.left,subRoot)||isSubtree(root.right,subRoot);
    }
    
    // 辅助函数：判断两棵树是否完全相同
    public boolean isSame(TreeNode root1, TreeNode root2) {
        // 两个都为空
        if (root1 == null && root2 == null) {
            return true;
        }
        // 一个为空，一个不为空
        if (root1 == null || root2 == null) {
            return false;
        }
        // 值不相等
        if (root1.val != root2.val) {
            return false;
        }
        // 递归比较左右子树
        return isSame(root1.left, root2.left) && 
               isSame(root1.right, root2.right);
    }
}

复杂度分析

时间复杂度

最坏情况 ：O(m × n)，其中 m 是 root 的节点数，n 是 subRoot 的节点数
最佳情况 ：O(min(m, n))，当在 root 的根节点就找到匹配时
我们需要遍历 root 中的每个节点（m 个），对于每个节点，可能需要与 subRoot 的所有节点进行比较（n 个）

空间复杂度

递归栈深度 ：O(h)，其中 h 是 root 的高度
在最坏情况下（树退化为链表），空间复杂度为 O(m)
在平衡树情况下，空间复杂度为 O(log m)

关键点解析

递归思想的应用：
- 通过递归分解问题，将大问题转化为小问题
- isSame 函数递归比较两棵树的每个节点
- isSubtree 函数递归搜索可能的子树
边界条件的处理：
- 空树的处理是关键，空树是任何树的子树
- 需要考虑各种可能的 null 情况组合
短路优化：
- 使用 || 运算符，一旦找到匹配就立即返回，避免不必要的搜索
- 在 isSame 中，一旦发现值不相等或结构不同就立即返回

常见错误

忽略空树情况：

java 复制代码

// 错误示例：没有正确处理 subRoot 为空的情况
public boolean isSubtree(TreeNode root, TreeNode subRoot) {
    if (root == null) return false;
    // 缺少对 subRoot == null 的处理
}

逻辑判断不完整：

java 复制代码

// 错误示例：isSame 函数中处理一个为空的情况不完整
public boolean isSame(TreeNode root1, TreeNode root2) {
    if (root1 == null) return root2 == null;
    if (root2 == null) return root1 == null; // 此时 root1 不为 null，应该返回 false
}

优化思路

虽然上述解法的时间复杂度为 O(m × n)，但实际中通常表现良好。如果需要进一步优化，可以考虑以下方法：

序列化方法：
- 将两棵树序列化为字符串
- 判断 subRoot 的序列化字符串是否是 root 序列化字符串的子串
- 时间复杂度：O(m + n)
哈希方法：
- 为每棵子树计算哈希值
- 比较哈希值来判断子树是否相同
- 时间复杂度：O(m + n)

总结

判断一棵树是否是另一棵树的子树是二叉树中的经典问题，主要考察递归思想和对树结构的理解。通过分解问题为"判断两棵树相同"和"在树中搜索"，我们可以清晰地解决这个问题。

掌握这种递归分解问题的思想，对于解决其他树相关问题（如对称树、平衡树等）也大有帮助。

练习建议：

尝试使用迭代方法实现相同的功能
思考如何处理重复值的情况
尝试实现序列化方法的优化版本