贪心算法二--将数组和减半的最少操作次数

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一、问题定位

给定正整数数组 nums，每次操作选择当前数组最大元素 并将其减半（支持浮点数），目标是让数组总和减少至少一半 ，求完成目标的最少操作次数。

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二、核心算法：贪心策略 + 大根堆（最大堆）

1. 贪心策略逻辑

   要让总和最快减少，每次必须选择当前最大的元素进行减半。因为最大元素的减半对总和的"减幅"最大，能以最少步骤达成目标。

2. 大根堆的作用

   大根堆可以高效维护当前数组的最大值，支持 O(log n) 时间复杂度的"取出最大值"和"插入更新后的值"操作，保障算法效率。

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三、解题步骤

1. 计算初始总和

   先求出数组所有元素的和 total，目标是让总和减少量 ≥ total / 2（即剩余总和 ≤ total / 2）。

2. 构建大根堆

   将数组元素存入大根堆，以便快速获取当前最大值。

3. 迭代执行减半操作

   • 取出堆顶（当前最大值），计算其减半后的值。
   • 将减半后的值重新插入堆中。
   • 累加本次操作的"减少量"（原最大值 - 减半后的值），并记录操作次数。
   • 当累计减少量 ≥ total / 2 时，停止操作并返回次数。

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四、正确性证明：交换论证法

1. 核心思路

   通过"交换操作步骤"，证明贪心解与最优解的等价性，从而验证贪心策略的最优性。

2. 论证逻辑

   • 假设存在一个最优解 OPT，其操作顺序与贪心解 GREEDY 不同。
   • 找到第一个不同的操作位置：OPT 处理了较小元素 y，而 GREEDY 处理了较大元素 x（x > y）。
   • 将 OPT 中这次处理 y 的操作替换为处理 x，可证明新解仍满足条件且操作次数不增加。
   • 重复交换，最终可将 OPT 转化为 GREEDY，说明贪心解是最优的。

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五、示例验证（图中案例）

输入：nums = [5,19,8,1]

初始总和：5+19+8+1 = 33，目标减少量：33/2 = 16.5

• 第1次操作：19 → 9.5，减少量 9.5（累计：9.5）
• 第2次操作：9.5 → 4.75，减少量 4.75（累计：14.25）
• 第3次操作：8 → 4，减少量 4（累计：18.25 ≥ 16.5）
  最终操作次数为 3，与示例输出一致。

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