刚体运动学复习笔记（Attitude Kinematics Review）
1. 复习背景
- 上次讲解了刚体运动学的大块内容。
- 本次回顾重点内容，为新章节 Euler 角 做铺垫。
- 核心问题：三维姿态描述的最少坐标数。
2. 三维姿态最少坐标数
-
问题：定义三维空间姿态，最少需要几个坐标？
答案：3 个 -
注意：
- 如果只用 3 个坐标，姿态描述可能出现奇异性（singularity）。
- 例如：Euler 角在 gimbal lock 时，某个角度无法定义。
- 奇异性会在微分运动学方程中表现为 0/00/00/0 问题。
示例：轨道参数
- 升交点、倾角、近地点角
- 如果轨道倾角为零：
- 升交点与近地点角会绕同一轴旋转
- 导致角度组合不唯一，产生无限解
- 如果轨道倾角为零：
- 奇异性可能表现为：
- 坐标模糊（ambiguous）
- 坐标发散到无穷大（blow up to infinity）
3. 如何避免奇异性
- 使用 4 个或更多坐标（冗余坐标）：
- 常用方法：四元数（quaternion）
- 另一种方法：Cayley-Klein 参数（四维复数）
- 单纯增加坐标数不保证无奇异性：
- 坐标间可能存在依赖关系
- 必须保证独立性才能消除奇异性
4. DCM（Direction Cosine Matrix）作为非奇异表示
- DCM 是非奇异姿态描述：
- 列向量表示 B 系基向量在 N 系下的分量
- 行向量表示 N 系基向量在 B 系下的分量
- 必须满足单位长度和正交性
- 逆矩阵 = 转置矩阵：
CBN−1=CBNT C_{BN}^{-1} = C_{BN}^T CBN−1=CBNT
5. DCM 的自由度与约束
- 对三维刚体：
- 坐标数：9（3×3 矩阵）
- 约束数：6（保证正交性）
- 自由度 = 9 - 6 = 3（与三维空间自由度一致）
约束来源：
- 列向量为单位向量（单位长度约束）
- 列向量两两正交（正交约束）
- 右手坐标系（叉乘约束）
注意：约束间有依赖关系，不要重复计算
6. 正交矩阵与旋转矩阵
- 任意正交矩阵：
CCT=I C C^T = I CCT=I - 行列式：
det(C)=±1 \det(C) = \pm 1 det(C)=±1 - 旋转矩阵（proper orthogonal matrix）：
det(C)=+1 \det(C) = +1 det(C)=+1
7. DCM 的运算
-
加法
- DCM 不可直接加法
- 正确操作是 矩阵乘法 ：
BN\]=\[BR\]⋅\[RN\] \[BN\] = \[BR\] \\cdot \[RN\] \[BN\]=\[BR\]⋅\[RN
-
减法 / 求差
- 由矩阵转置实现：
BR\]=\[RN\]T⋅\[BN\] \[BR\] = \[RN\]\^T \\cdot \[BN\] \[BR\]=\[RN\]T⋅\[BN
- 由矩阵转置实现：
8. 微分运动学方程
- DCM 微分方程：
C˙BN=−ω~BN(B) CBN \dot C_{BN} = -\tilde{\omega}{BN}^{(B)} \, C{BN} C˙BN=−ω~BN(B)CBN - 特点：
- ω~\tilde{\omega}ω~ 是角速度的反对称矩阵（cross product matrix）
- 适用于任意正交矩阵（不仅限于三维刚体）
证明关键点：
- 对正交矩阵 CCC：
CCT=I ⟹ ddt(CCT)=0 C C^T = I \implies \frac{d}{dt}(C C^T) = 0 CCT=I⟹dtd(CCT)=0 - 代入 C˙=−ω~C\dot C = -\tilde{\omega} CC˙=−ω~C
- 利用 ω~T=−ω~\tilde{\omega}^T = -\tilde{\omega}ω~T=−ω~
- 得出微分方程形式成立
9. 数值积分注意事项
- DCM 是冗余坐标（9 个坐标，但自由度为 3），数值积分时容易产生误差。
- 错误可能导致：
- 列向量或行向量长度不为 1
- 正交性破坏
- 解决方案：
- 强制约束积分（constraint-preserving integration）
- 使用 Symplectic Integrators（辛积分器）保证能量守恒与约束
10. 总结
- 三维姿态最少 3 个坐标，但可能奇异。
- DCM 提供非奇异表示：
- 9 个坐标 + 6 个约束 = 3 自由度
- 正交 + 单位长度 + 右手系统
- 微分方程：
C˙=−ω~C \dot C = -\tilde{\omega} C C˙=−ω~C- 适用于任意正交矩阵
- 数值积分需注意约束维护