数学知识：质数相关讲解——质数判定，分解质因数及筛质数

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序言

今天讲一下质数的内容，下面是目录可以看看
目录

😍质数

😍质数的判定

😁试除法（暴力）

😁优化

😍分解质因数

😁试除法（暴力）

😁优化

😍筛质数

😁思想

😁最朴素算法

😁稍微优化算法---埃氏筛

😁线性筛（欧拉筛）

质数

定义：在大于1的整数中，只含有1和自身这两个约数，就被称为质数

质数的判定

试除法（暴力）

这个是最暴力的写法，时间复杂度是o( n )
cpp 复制代码
bool is_prime(int n){
	if(n < 2) return false;
	for(int i = 2; i < n; i ++){
		if(n % 2 == 0) return false;
	}
	return true; 
} 
优化

如果d | n（| 这个是整除符号，就是如果d能整除n），那么(n/d) | n，比如12，如果2是12的约数，那6也是，3是12的约数，那4也是，所以我们发现他们都是成对存在的。那我们枚举时候，是不是就可以只枚举那一对里较小的一个，也就是d <= n/d，也就是d^2 <= n,也就是d <= sqrt(n)，我们就吧时间1优化到了o(sqrt(n)).

我们的写法也很多，比如循环时候写 i <= sqrt(n)，这个我们每次循环都要调用，时间比较慢，还有的会写 i * i < n，这个如果我们的 i * i超过了int 范围就会变成负数，我们最终就写i <= n / i，这个就不会超出范围了，
cpp 复制代码
bool is_prime(int n){
	if(n < 2) return false;
	for(int i = 2; i <= n / i; i ++){
		if(n % 2 == 0) return false;
	} 
	return true; 
} 

分解质因数

试除法（暴力）

我们小时候正常写法，可能就是从小到大开始一直枚举所有数
cpp 复制代码
void get_prime(int n){
	for(int i = 2; i <= n; i++){
		if(n % i == 0){
			int s =0 ;
			while(n % i == 0){
				n/=i;
				s ++;
			} 
			printf("%d %d\n", i, s); 
		} 
	} 
} 
优化

我们的循环条件是可以变一下的，我们知道n中最多只包含一个大于sqrt(n)的质因子，所以我们枚举时候可以先把小于sqrt(n)的质因子枚举出来，然后最后判断n是不是 > 1，是的话就说明n就是那个大于sqrt(n)的质因子了，这里需要注意的是n是不断在变化的，这里n虽然不断在变化但也不会影响这个算法的正确性，可以拿 n = 34试试
cpp 复制代码
void get_prime(int n){
	for(int i = 2; i <= n / i; i++){
		if(n % i == 0){
			int s =0 ;
			while(n % i == 0){
				n/=i;
				s ++;
			} 
			printf("%d %d\n", i, s); 
		} 
	} 
	if(n > 1) printf("%d %d\n",n , 1);
	puts("");
} 

筛质数

思想

我们基本思想是这样筛的，先写出一串数2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ......我们把每个数的倍数都删掉，我们先看2，那我们就把2的倍数都删掉，然后再看3再把3的倍数都删掉........

对于一个P来说，如果他没有被删掉，那就说明从2~P-1里都没有把他删掉，说明P不是2~P-1里任何一个数的倍数，那就说明2~P-1里没有任何一个数是P的约数，那他就是一个质数

最朴素算法

时间复杂度大约是这个o(nlogn)，因为计算上稍微繁琐，就不写时间复杂度怎么算的了，可以自己问问ai
cpp 复制代码
void get_prime(int n){
	for(int i = 2; i <= n; i++){
		if(!st[i]){
			primes[cnt ++] = i;
		}
	} 
	for(int j = i + i; j <= n; j += i) st[j] = true; 
} 
稍微优化算法---埃氏筛

我们可以把下面那个循环放入 if 里，我们只需要把质数的倍数给筛掉就行

时间复杂度是o(nloglogn)
cpp 复制代码
void get_prime(int n){
	for(int i = 2; i <= n; i++){
		if(!st[i]){
			primes[cnt ++] = i;
			for(int j = i + i; j <= n; j += i) st[j] = true; 
		}
	} 

} 
线性筛（欧拉筛）

这个基本思路也差不多，就是把每个合数用它的某一个质因子把他筛掉就行

他的思想有两种情况

1， i % primes $j$ == 0. primes $j$ 一定是 i 的最小质因子，primes $j$ 一定是primes $j$ * i 的最小质因子

2，i % primes $j$ != 0. primes $j$ 一定小于 i 的最小质因子，primes $j$ 一定是primes $j$ * i的最小质因子

核心思想：每个合数只被它的最小质因子筛掉一次

st $primes\[ j$ * i] = true ; 这个就是核心思想

每个合数 x 都可以表示为：
复制代码
x = 最小质因子 × 某个数
在欧拉筛中：primes[j] 是质数i 是当前遍历的数primes[j] × i 就是要标记的合数关键：通过控制 i和 primes[j] 的组合，确保每个合数只被它的最小质因子标记一次
然后为了防止出现重复，如果(i % primes $j$ == 0)我们就break就行

还有就是循环条件

我们要标记的合数是 primes[j] × i，必须满足：primes $j$ × i ≤ n

变形得到 primes $j$ ≤ n / i
cpp 复制代码
const int N = 1e6 +10; 

int primes[N], cnt;
bool st[N]; 

void get_prime(int n){
	for(int i = 2; i <= n; i++){
		if(!st[i]) 	primes[cnt ++] = i;
			for(int j = 0; primes[j] <= n / i; j ++){
				st[primes[j] * i] = true;
				if(i % primes[j] == 0) break;
			} 
	} 

} 

完结下一章讲约数，给个三连吧，谢谢了