Python控制系统仿真案例-RLC电路系统

文章目录

[1 问题描述](#1 问题描述)
[2 研究分析](#2 研究分析)
[3 建立系统的数学模型](#3 建立系统的数学模型)
[4 Python仿真程序](#4 Python仿真程序)
[5 仿真结果](#5 仿真结果)

1 问题描述

RLC电路是电子学中最基础也最重要的电路系统之一。它由电阻、电感和电容三大无源元件构成，因能产生振荡和谐振现象，常用于滤波、选频、阻抗匹配等。

如图所示是RLC电路系统，取 L = 1 H ， C = 1 F L=1H，C=1F L=1H，C=1F，考虑系统在单位阶跃输入情况下，讨论系统不产生振荡时电阻R的取值，其中R的取值不大于 0.1 Ω 0.1Ω 0.1Ω。

2 研究分析

要求研究的问题是：当 L = 1 H ， C = 1 F L=1H，C=1F L=1H，C=1F时，分析系统在输入作用 u r ( t ) = 1 ( t ) u_r(t)=1(t) ur(t)=1(t) 的作用下，要使响应不发生振荡，通过计算机仿真研究 R R R应在什么范围内取值。

3 建立系统的数学模型

（1）根据电学中的基尔霍夫定律，可写出原始方程：
L d i ( t ) d t + R i ( t ) + 1 C ∫ i ( t ) d t = u r ( t ) (1.1) L\frac{di(t)}{dt} + Ri(t)+\frac{1}{C}\int i(t)dt=u_r(t) \tag{1.1} Ldtdi(t)+Ri(t)+C1∫i(t)dt=ur(t)(1.1)

（2）式 ( 1.1 ) (1.1) (1.1) 中 i i i 是中间变量，它与输出有如下关系：

u c ( t ) = 1 C ∫ i ( t ) d t (1.2) u_c(t) = \frac{1}{C} \int i(t)dt \tag{1.2} uc(t)=C1∫i(t)dt(1.2)

（3）消去式 ( 1.1 ) (1.1) (1.1)、式 ( 1.2 ) (1.2) (1.2)的中间变量 i i i后，便得输入与输出的微分方程式：
L C d 2 u c ( t ) d t 2 + R C d u c ( t ) d t + u c ( t ) = u r ( t ) (1.3) LC\frac{d^2 u_c(t)}{dt^2} + RC \frac{du_c(t)}{dt} + u_c(t) = u_r(t) \tag{1.3} LCdt2d2uc(t)+RCdtduc(t)+uc(t)=ur(t)(1.3)

（4）将式 ( 1.3 ) (1.3) (1.3)转换成状态方程及输出方程形式：

$x 1 ˙ ( t ) x 2 ˙ ( t )$ = $0 1 - R L - 1 L C$ $x 1 ( t ) x 2 ( t )$ + $0 1 L C$ u r ( t ) u c ( t ) = $1 0$ $x 1 ( t ) x 2 ( t )$ (1.4) \begin{bmatrix} \dot{x_1}(t) \\ \dot{x_2}(t) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -\frac{R}{L} & -\frac{1}{LC} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1(t) \\ x_2(t) \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ \frac{1}{LC} \end{bmatrix} u_r(t) \\ u_c(t)=\begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1(t) \\ x_2(t) \end{bmatrix} \tag{1.4} $x1˙(t)x2˙(t)$ = $0-LR1-LC1$ $x1(t)x2(t)$ + $0LC1$ ur(t)uc(t)= $10$ $x1(t)x2(t)$ (1.4)

注：状态方程和输出方程的形式为：
d x d t = A x + B u y = C x + D u \frac{dx}{dt}=Ax+Bu \\ y=Cx+Du dtdx=Ax+Buy=Cx+Du

其中， x x x是状态向量， u u u是控制向量， y y y是被测信号， A A A、 B B B、 C C C和 D D D是常数矩阵。

（5）将第（4）步转换成离散的状态方程及输出方程，用于计算仿真及编程：
$x 1 ( ( k + 1 ) T ) x 2 ( ( k + 1 ) T )$ = $x 1 ( k T ) x 2 ( k T )$ + $0 1 - R L - 1 L C$ $x 1 ( k T ) x 2 ( k T )$ T + $0 1 L C$ u r ( k T ) T u c ( ( k + 1 ) T ) = x 1 ( ( k + 1 ) T ) (1.5) \begin{bmatrix} x_1((k+1)T) \\ x_2((k+1)T) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_1(kT) \\ x_2(kT) \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -\frac{R}{L} & -\frac{1}{LC} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1(kT) \\ x_2(kT) \end{bmatrix}T + \begin{bmatrix} 0 \\ \frac{1}{LC} \end{bmatrix} u_r(kT)T \\ u_c((k+1)T)= x_1((k+1)T) \tag{1.5} $x1((k+1)T)x2((k+1)T)$ = $x1(kT)x2(kT)$ + $0-LR1-LC1$ $x1(kT)x2(kT)$ T+ $0LC1$ ur(kT)Tuc((k+1)T)=x1((k+1)T)(1.5)

式中， T T T为采样周期。

连续方程离散化参考：https://zhuanlan.zhihu.com/p/326930724?s_r=0

4 Python仿真程序

python 复制代码

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# 设置字体为 SimHei（黑体）
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False # 正常显示负号

L = 1  # 输入RLC电路的电感值
C = 1  # 输入RLC电路的电容值
R = float(input('请输入R的电阻值（Ω）:'))  # 输入R的电阻值（Ω） 0.1、0.25、0.3、1、3、6
t = 0
T = 0.001  # 设置系统采样时间T的值

A = np.array([[0, 1], [-R/L, -1/(L*C)]])  # 计算系统状态方程矩阵的值
B = np.array([[0], [1/(L*C)]])
tmax = 60  # 设置系统的仿真总时间tmax
x = np.array([[0], [0]])  # 设置状态变量初值
Y = [0]  # Y为记录输出
H = [t]  # H用于记录t的值

while t < tmax:
    xs = x + (A @ x + B) * T  # 计算离散状态方程
    y = xs[0, 0]  # 计算离散输出方程
    t = t + T
    Y.append(y)
    H.append(t)  # 记录y和t的值
    x = xs

plt.plot(H, Y, 'k')  # 绘制输出曲线
plt.xlabel('时间 (s)')
plt.ylabel('输出 y')
plt.title('RLC电路响应')
plt.grid(True)
plt.show()

5 仿真结果