四元数 欧拉角 旋转矩阵

一、基础定义

表示	自由度	描述	优缺点
旋转矩阵 R	3×3 → 3自由度	刚体旋转线性映射	✅ 直接乘点云/向量方便 ❌ 冗余、累积误差易破坏正交性
四元数 q = [w,x,y,z]	4 → 3自由度	单位四元数表示旋转	✅ 紧凑、无奇异点、插值方便 ❌ 不直观，公式理解稍复杂
欧拉角 (roll, pitch, yaw)	3	绕固定轴顺序旋转	✅ 直观角度表示 ❌ 万向节锁、插值不方便

二、旋转矩阵 ↔ 欧拉角

假设 ZYX 顺序（yaw-pitch-roll）：

% 欧拉角 -> 旋转矩阵
phi = pi/6; theta = pi/4; psi = pi/3;
R = eul2rotm([psi,theta,phi]); % 默认 ZYX 顺序
disp(R)
    0.3536   -0.5732    0.7392
    0.6124    0.7392    0.2803
   -0.7071    0.3536    0.6124

% 旋转矩阵 -> 欧拉角
eul = rotm2eul(R);
disp(rad2deg(eul)) % 转为角度显示

三、旋转矩阵 ↔ 四元数

• 四元数 q = [w, x, y, z]

• 旋转矩阵到四元数公式：

% 旋转矩阵 -> 四元数
q = rotm2quat(R); % 返回 [w x y z]
disp(q)

% 四元数 -> 旋转矩阵
R2 = quat2rotm(q);
disp(R2)

四、欧拉角 ↔ 四元数

• 欧拉角 → 旋转矩阵 → 四元数

  % 欧拉角 -> 四元数
  q = eul2quat([psi,theta,phi]);

  

• 四元数 → 旋转矩阵 → 欧拉角

  % 四元数 -> 欧拉角
  eul = quat2eul(q);
  disp(rad2deg(eul))

  

五、总结

1、示意图

转换	MATLAB 函数
欧拉角 → 旋转矩阵	eul2rotm()
旋转矩阵 → 欧拉角	rotm2eul()
旋转矩阵 → 四元数	rotm2quat()
四元数 → 旋转矩阵	quat2rotm()
欧拉角 → 四元数	eul2quat()
四元数 → 欧拉角	quat2eul()

2、问题

• 问：为什么四元数比欧拉角好？

  ✅ 因为四元数无万向节锁，可连续插值（SLERP），适合优化和控制。

• 问：为什么旋转矩阵要保持正交？

  ✅ 保持向量长度和正交性，否则会产生缩放或扭曲。

• 问：三者的转换注意什么？

  ✅ 顺序（ZYX vs XYZ）和单位四元数规范化。

• 问：ICP / Kabsch 用哪种表示？

  ✅ R（旋转矩阵）为主，用四元数优化也可，但旋转矩阵更直观。

旋转矩阵适合计算，四元数适合插值，欧拉角适合展示。