2022年信奥赛C++提高组csp-s初赛真题及答案解析（完善程序第2题）
第2题
（容器分水） 有两个容器，容器 1 的容量为为 a 升，容器 2 的容量为 b 升；同时允许下列的三种操作，分别为：
- FILL(i)：用水龙头将容器 i(i∈1,2)灌满水；
- DROP(i)：将容器 i 的水倒进下水道；
- POUR(i,j)：将容器 i 的水倒进容器 j（完成此操作后，要么容器 j 被灌满，要么容器 i 被清空）。
求只使用上述的两个容器和三种操作，获得恰好 c 升水的最少操作数和操作序列。上述 a、b、c 均为不超过 100 的正整数，且 c≤max{a,b}。
试补全程序。
cpp
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 110;
int f[N][N];
int ans;
int a, b, c;
int init;
int dfs(int x, int y) {
if (f[x][y] != init)
return f[x][y];
if (x == c || y == c)
return f[x][y] = 0;
f[x][y] = init - 1;
f[x][y] = min(f[x][y], dfs(a, y) + 1);
f[x][y] = min(f[x][y], dfs(x, b) + 1);
f[x][y] = min(f[x][y], dfs(0, y) + 1);
f[x][y] = min(f[x][y], dfs(x, 0) + 1);
int t = min(a - x, y);
f[x][y] = min(f[x][y], ①);
t = min(x, b - y);
f[x][y] = min(f[x][y], ②);
return f[x][y];
}
void go(int x, int y) {
if (③)
return;
if (f[x][y] == dfs(a, y) + 1) {
cout << "FILL(1)" << endl;
go(a, y);
} else if (f[x][y] == dfs(x, b) + 1) {
cout << "FILL(2)" << endl;
go(x, b);
} else if (f[x][y] == dfs(0, y) + 1) {
cout << "DROP(1)" << endl;
go (0, y);
} else if (f[x][y] == dfs(x, 0) + 1) {
cout << "DROP(2)" << endl;
go(x, 0);
} else {
int t = min(a - x, y);
if(f[x][y] == ④) {
cout << "POUR(2,1)" << endl;
go(x + t, y - t);
} else {
t = min(x, b - y);
if (f[x][y] == ⑤) {
cout << "POUR(1,2)" << endl;
go(x - t, y + t);
} else
assert(0);
}
}
}
int main() {
cin >> a >> b >> c;
ans = 1 << 30;
memset(f, 127, sizeof f);
init = **f;
if ((ans = dfs (0, 0)) == init - 1)
cout << "impossible";
else {
cout << ans << endl;
go (0, 0);
}
}-
①处应填（）
A. dfs(x + t, y - t) + 1
B. dfs(x + t, y - t) - 1
C. dfs(x - t, y + t) + 1
D. dfs(x - t, y + t) - 1
-
②处应填（）
A. dfs(x + t, y - t) + 1
B. dfs(x + t, y - t) - 1
C. dfs(x - t, y + t) + 1
D. dfs(x - t, y + t) - 1
-
③处应填（）
A. x == c || y == c
B. x == c && y == c
C. x >= c || y >= c
D. x >= c && y >= c
-
④处应填（）
A. dfs(x + t, y - t) + 1
B. dfs(x + t, y - t) - 1
C. dfs(x - t, y + t) + 1
D. dfs(x - t, y + t) - 1
-
⑤处应填（）
A. dfs(x + t, y - t) + 1
B. dfs(x + t, y - t) - 1
C. dfs(x - t, y + t) + 1
D. dfs(x - t, y + t) - 1
分析：
本题使用记忆化搜索（DFS）计算最少操作数，并通过递归输出操作序列。
- 状态定义 ：
f[x][y]表示两个容器当前水量分别为x和y时，达到任一容器水量为c的最少操作数。 - DFS 过程 ：对每种操作（FILL、DROP、POUR）进行状态转移，取最小值。
- 对于
POUR(2,1)，倒水量t = min(a - x, y)，转移到(x+t, y-t)，操作数加 1。 - 对于
POUR(1,2)，倒水量t = min(x, b - y)，转移到(x-t, y+t)，操作数加 1。
- 对于
- GO 过程 ：根据
f[x][y]的值逆向推导操作序列，直到达到目标状态（x==c || y==c）。
答案及题解：
- ①对应
POUR(2,1)的状态转移，应为dfs(x+t, y-t) + 1，选 A。 - ②对应
POUR(1,2)的状态转移，应为dfs(x-t, y+t) + 1，选 C。 - ③为递归终止条件，即任一容器水量为
c，选 A。 - ④判断是否为
POUR(2,1)转移而来，应比较f[x][y] == dfs(x+t, y-t) + 1，选 A。 - ⑤判断是否为
POUR(1,2)转移而来，应比较f[x][y] == dfs(x-t, y+t) + 1，选 C。
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cpp
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
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using namespace std;
int main(){
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return 0;
}