第n个丑数：从暴力枚举到动态规划+多指针的学习笔记

在算法训练与工程实现中，"以最小代价生成目标序列" 是一类非常典型的优化场景。第n个丑数问题看似简单，却能很好地体现从暴力思路到线性复杂度、从正确性到效率的完整思考路径，也能映射出实际工程中避免无效计算、精准控制状态、减少冗余操作的设计思想。本文以朴素推导为主，不做过度包装，专注思路演进与细节理解。

一、问题回顾

给定整数 n，返回第 n 个丑数 。

丑数定义：

只包含质因数 2、3、5 的正整数；
1 是第一个丑数。

前几项丑数：

1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, ...

要求：在 n 较大时（如 10³、10⁴、10⁵ 级别）仍能稳定、高效地给出结果。

二、最直观思路：暴力判断（从正确性出发）

最容易想到的做法是：

从 1 开始逐个遍历整数；
对每个数，判断它是否只由 2、3、5 因子构成；
统计是丑数的个数，直到找到第 n 个。

核心判断逻辑（伪代码思路）

复制代码

bool isUgly(int x) {
    if (x <= 0) return false;
    while (x % 2 == 0) x /= 2;
    while (x % 3 == 0) x /= 3;
    while (x % 5 == 0) x /= 5;
    return x == 1;
}

存在的问题

绝大多数数字都不是丑数，会做大量无效除法与判断；
数字越大，非丑数密度越高，浪费的计算量越大；
时间复杂度不可控，本质是用"筛选"代替"生成"，在大规模场景下不具备实用价值。

这也是很多算法题的共同特点：能做对 ≠ 能用，尤其在对延迟、吞吐量有要求的场景中，必须从源头减少无效操作。

三、从定义反推：丑数的生成性质

回到定义：

丑数只由 2、3、5 相乘得到，且 1 是基础丑数。

可以直接得出一条关键性质：
所有丑数，都可以由更小的丑数 ×2 / ×3 / ×5 得到。

这意味着：

我们不需要去判断任何一个数是不是丑数；
只需要从已有的丑数里生成下一个。

思路立刻升级：从"遍历+判断"变成"定向生成+有序维护"。

但随之而来两个问题：

生成的数会乱序，无法直接取第 n 个；
不同路径会生成相同数字（如 2×3=6，3×2=6），存在重复。

四、动态规划 + 多指针：精准生成与去重

为了只生成丑数、按序生成、不重复生成 ，可以采用动态规划配合多指针的方案。

这套方案的本质是：用空间记录状态，用指针控制迭代，用取最小保证有序，用多分支判断完成去重。

1. 状态设计

定义数组 dp：

dp[i] 表示第 i+1 个丑数；
初始化 dp[0] = 1，对应第一个丑数。

2. 指针的意义

既然每个新丑数只能来自：

某个旧丑数 ×2
某个旧丑数 ×3
某个旧丑数 ×5

我们用三个指针分别标记当前应该参与乘法的位置：

p2：下一个要 ×2 的丑数下标
p3：下一个要 ×3 的丑数下标
p5：下一个要 ×5 的丑数下标

初始时都指向 0，即从第一个丑数开始。

3. 递推规则

对每一个新位置 dp[i]：

计算三个候选值：
- num2 = dp[p2] * 2
- num3 = dp[p3] * 3
- num5 = dp[p5] * 5
取三者最小值作为当前丑数，保证严格递增；
如果当前丑数等于某个候选值，就将对应指针后移一位：
- 若等于 num2，p2++
- 若等于 num3，p3++
- 若等于 num5，p5++

这里必须使用独立的 if 而非 else if ，目的是：

当多个候选值相等时（如 6 同时由 ×2 和 ×3 得到），多个指针同时后移，从根源上去重，避免后续重复生成同一数字。

五、实现代码（C++）

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    int nthUglyNumber(int n) {
        if (n == 1) return 1;
        vector<int> dp(n);
        dp[0] = 1;

        int p2 = 0, p3 = 0, p5 = 0;

        for (int i = 1; i < n; ++i) {
            int num2 = dp[p2] * 2;
            int num3 = dp[p3] * 3;
            int num5 = dp[p5] * 5;

            dp[i] = min(min(num2, num3), num5);

            if (dp[i] == num2) p2++;
            if (dp[i] == num3) p3++;
            if (dp[i] == num5) p5++;
        }
        return dp[n-1];
    }
};

六、复杂度与可扩展性思考

时间复杂度

只进行一轮从 1 到 n-1 的遍历；
每一步仅包含固定次数的乘法、比较、指针移动；
时间复杂度为 O(n)，是该问题理论下界。

空间复杂度

使用长度为 n 的 dp 数组保存历史丑数；
空间复杂度 O(n)。

在工程视角下：

如果 n 上限已知且不大，这种空间换时间的方式非常划算；
若追求极致空间，可以只保留最近几个关键值，但会明显降低可读性与可维护性，除非资源极度受限，否则不建议。

可扩展启发

这套思路不局限于丑数：

只要目标序列满足：由基础因子从已有元素生成；
且需要有序、不重复 ；
都可以使用：
动态规划记录状态 + 多指针控制迭代位置 + 取最小保证有序。

例如：

超级丑数（质因数不限于 2、3、5）
某些带限制的倍数序列生成
流式生成有序目标集合

都可以在这套框架上扩展，只需要调整指针数量与候选生成规则。

七、小结

第 n 个丑数从暴力到最优解的过程，本质是三次思维升级：

从**"筛选所有数"升级为"只生成目标数"**；
从**"无序生成"升级为"按序生成"**；
从**"可能重复"升级为"精准去重"**。

动态规划+多指针并没有复杂数学推导，而是用最朴素的方式，把每一步多余计算都砍掉 ，只保留必要的状态与转移。这种思路在算法训练中是基础，在实际工程中同样适用------很多高性能逻辑，并不是靠花哨技巧，而是靠精准定义状态、严格控制迭代、彻底消除无效计算来实现的。

手动模拟前 10 个丑数的生成过程，观察指针移动与去重逻辑，能更稳定地掌握这一类生成型问题的通用解法。