粉刷房子问题：从DP基础到空间极致优化学习笔记

一、问题回顾

有 n 个房子排成一排，每个房子可刷红、蓝、绿三种颜色，相邻房子颜色不能相同。给定每个房子刷对应颜色的成本矩阵 costs[n][3]，求粉刷所有房子的最小总成本。

约束核心：相邻颜色不同 ；目标：全局成本最小。这类递推约束+最优解结构，天然适合动态规划求解。

二、常规动态规划思路

1. 标准状态定义

最直观的方式是定义二维 DP 数组：

dp[i][0]：第 i 个房子刷红色时，前 i 个房子的最小成本
dp[i][1]：第 i 个房子刷蓝色时，前 i 个房子的最小成本
dp[i][2]：第 i 个房子刷绿色时，前 i 个房子的最小成本

2. 状态转移方程

根据颜色互斥约束：

dp[i][0] = min(dp[i-1][1], dp[i-1][2]) + costs[i][0]
dp[i][1] = min(dp[i-1][0], dp[i-1][2]) + costs[i][1]
dp[i][2] = min(dp[i-1][0], dp[i-1][1]) + costs[i][2]

3. 初始与结果

初始：dp[0][0] = costs[0][0], dp[0][1] = costs[0][1], dp[0][2] = costs[0][2]
结果：min(dp[n-1][0], dp[n-1][1], dp[n-1][2])

此时时间复杂度 O(n)，空间复杂度 O(n)，逻辑清晰但空间存在优化空间。

三、空间优化：从O(n)到O(1)

观察状态转移可以发现：计算第 i 个房子的状态，只依赖第 i-1 个房子的状态 ，与更早历史无关。

因此不需要保存完整 n×3 数组，只需要保存上一轮三个颜色的累计成本即可。

优化后状态表示

用三个变量滚动更新：

prev_red、prev_blue、prev_green：上一个房子对应颜色的最小累计成本
curr_red、curr_blue、curr_green：当前房子对应颜色的最小累计成本

转移逻辑不变，只是每次用新值覆盖旧值，遍历结束后取三者最小值。

优化后：

时间复杂度：O(n)（不变）
空间复杂度：O(1)（仅常数变量，无额外动态数组）

在数据规模较大、内存敏感的场景中，这种滚动更新的写法更贴近实际工程实现。

四、实现细节与工程思考

边界处理

当房子数量 n = 0 时直接返回 0，避免数组越界，这是代码鲁棒性的基础。
临时变量的必要性

更新当前颜色成本时，必须先保存上一轮的三个值，再统一计算新值。如果直接覆盖，会导致后续计算使用已被修改的错误值。
常数级优化的意义

本题颜色固定为 3 种，状态数极少，滚动变量的写法不仅节省空间，也更利于编译器做寄存器优化，在高频调用、长序列场景下，实际运行效率更稳定。
可扩展性思考

如果颜色种类从 3 种扩展到 k 种，思路依然成立：滚动维护 k 个状态，每次取非自身的 k-1 个历史状态最小值累加，时间复杂度变为 O(n·k)，空间仍为 O(k)，依旧是较优的解法。

五、最终实现（C++）

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    int minCost(vector<vector<int>>& costs) {
        int n = costs.size();
        if (n == 0) return 0;

        int red = costs[0][0];
        int blue = costs[0][1];
        int green = costs[0][2];

        for (int i = 1; i < n; ++i) {
            int pre_r = red;
            int pre_b = blue;
            int pre_g = green;

            red = min(pre_b, pre_g) + costs[i][0];
            blue = min(pre_r, pre_g) + costs[i][1];
            green = min(pre_r, pre_b) + costs[i][2];
        }

        return min({red, blue, green});
    }
};

六、小结

粉刷房子是非常典型的线性递推+有限状态 动态规划问题。

从二维 DP 到滚动变量，本质是只保留对后续有用的历史信息，剔除冗余存储。这种思想在很多空间受限的算法与工程实现中都非常常见，既保证了最优子结构的利用，又在空间与效率上达到了平衡。