再论自然数全加和 - 欧拉伽马常数4

再来一遍!

在,

中, 之间的1个单位,被平分成 份,如果周期是 ,但这个平分的每一份都取边界值的倒数为结果。而在,

过程中,每一个单位被平分成 份,周期是 ,但是这平分的每一份则取对应数值的倒数为结果。所以,对于积分形式,

来说,整个区间被分成,

份,每一份的单位是

而对于求和形式,

来说,整个区间被分成,

份,每一份的单位都是1。相比较而言,积分形式的对应的求和份数更多,细节更细,

在每个 的区间,积分形式为,

将内部精度提升到

求和形式为,

的每个部分都提升精度到

以最高精度计算面积的差值是,

在此处给出比例关系,

这里出现了, ,由于虚数单位自身的可变性, 可能完全不相等,正如,

但是作为实际的数值,

两者相差 的相位,或者说,不在同一个周期,所以,令,

代入每一个微小面积,

以最高精度计算的总面积差为,

原来的求和公式,

导出积分公式,

现在的求和公式,

根据的 取值,判断,

方程变为,

可见 为实数, 为复数。整数系统和实数系统的单位的关系可以由,

表示。其中 确定大致的比例关系, 用于调整和确定关系的精度。有黎曼泽塔函数可以直到,整数系统的最大值(周期)由其中所有的质数决定,而实数系统则是完全连续的,所以这里用于调整精度的 就对应了整数系统中的质数分布。这也是黎曼泽塔函数体现质数分布的原因。

从先前的分析可以看出,如果没有

的参与,函数的极值达不到伽马的数值,而且经常是倾斜的,极值最高点并不落在0点上,有微小但难于计算的偏移,所以引入复数 来纠正这种旋转是必须的。但是作为初步极限,我们还是保留 在最后再考虑y 的调整。

设,

原函数变成,

计算,

这说明,如果用这种算法, 必须分成两个部分,一部分被包含在 里面,另一部被包含在 里面。为了避免这种情况,我们对内外两层循环都做完整周期的累积。

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