再论自然数全加和 - 欧拉伽马常数4

再来一遍!

在,

中, 和 之间的1个单位,被平分成 份,如果周期是 ,但这个平分的每一份都取边界值的倒数为结果。而在,

过程中,每一个单位被平分成 份,周期是 ,但是这平分的每一份则取对应数值的倒数为结果。所以,对于积分形式,

来说,整个区间被分成,

份,每一份的单位是 。

而对于求和形式,

来说,整个区间被分成,

份,每一份的单位都是1。相比较而言,积分形式的对应的求和份数更多,细节更细,

在每个 到 的区间,积分形式为,

将内部精度提升到

求和形式为,

将 的每个部分都提升精度到

以最高精度计算面积的差值是,

在此处给出比例关系,

这里出现了, ,由于虚数单位自身的可变性, 和 可能完全不相等,正如,

但是作为实际的数值,

两者相差 的相位,或者说,不在同一个周期,所以,令,

代入每一个微小面积,

以最高精度计算的总面积差为,

原来的求和公式,

导出积分公式,

现在的求和公式,

根据的 取值,判断,

方程变为,

可见 为实数, 为复数。整数系统和实数系统的单位的关系可以由,

表示。其中 确定大致的比例关系, 用于调整和确定关系的精度。有黎曼泽塔函数可以直到,整数系统的最大值(周期)由其中所有的质数决定,而实数系统则是完全连续的,所以这里用于调整精度的 就对应了整数系统中的质数分布。这也是黎曼泽塔函数体现质数分布的原因。

从先前的分析可以看出,如果没有

的参与,函数的极值达不到伽马的数值,而且经常是倾斜的,极值最高点并不落在0点上,有微小但难于计算的偏移,所以引入复数 来纠正这种旋转是必须的。但是作为初步极限,我们还是保留 在最后再考虑y 的调整。

设,

原函数变成,

计算,

这说明,如果用这种算法, 必须分成两个部分,一部分被包含在 里面,另一部被包含在 里面。为了避免这种情况,我们对内外两层循环都做完整周期的累积。

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