随机信号分析|06 随机信号测试题
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【博学笃志、格物明德】中国科学院大学随机过程期末试题（电子与通信类） - 告别的年代的文章 - 知乎
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一、二阶矩过程的均值、方差、自相关
设两个0均值相互独立的随机过程 X ( t ) X(t) X(t) 与 Y ( t ) Y(t) Y(t)，它们的自相关函数分别是
{ R X ( s , t ) = 2 e − ∣ t − s ∣ cos [ ω 0 ( t − s ) ] R Y ( s , t ) = α + e − β ( t − s ) 2 \begin{cases} R_X(s,t) = 2e^{-|t-s|}\cos[\omega_0(t-s)] \\ R_Y(s,t) = \alpha + e^{-\beta(t-s)^2} \end{cases} {RX(s,t)=2e−∣t−s∣cos[ω0(t−s)]RY(s,t)=α+e−β(t−s)2
现在设 Z ( t ) = ξ X ( t ) Y ( t ) Z(t) = \xi X(t) Y(t) Z(t)=ξX(t)Y(t)，其中 ξ \xi ξ 是以2为均值、9为方差的随机变量，且与 X ( t ) X(t) X(t)、 Y ( t ) Y(t) Y(t) 相互独立，尝试计算随机过程 Z ( t ) Z(t) Z(t) 的均值函数、方差函数、自相关函数。
二、Markov -- Chain (一)
已知给定状态空间 S = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } S = \{0,1,2,3,4,5\} S={0,1,2,3,4,5} 的齐次Markov链 { X n } n = 0 + ∞ \{X_n\}_{n=0}^{+\infty} {Xn}n=0+∞，其一步概率转移矩阵是
P = [ 0 1 4 1 2 0 1 4 0 1 4 0 0 1 4 0 1 2 0 0 1 2 1 2 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 3 2 3 0 0 0 0 0 1 2 1 2 ] P = \begin{bmatrix} 0 & \frac{1}{4} & \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{4} & 0 \\ \frac{1}{4} & 0 & 0 & \frac{1}{4} & 0 & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{2}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{bmatrix} P= 041000041000002102110004121031041000322102100021
尝试确定该Markov链中各个状态的性质，并对各个状态进行分类；计算从各个非常返类进入常返类的概率；研究这个Markov链的平稳分布，并说明该Markov链的平稳分布是否存在？如果存在是唯一的吗？最后计算 lim n → + ∞ P i 5 n \lim_{n \to +\infty} P_{i5}^n limn→+∞Pi5n。
三、Markov -- Chain (二)
某工厂使用 m m m 台完全相同的机器，一旦一台机器出现故障就予以维修。在每个星期开始的时候，工厂提出新机器的订单，以保持总的机器数维持在 m m m 台，但需要一周才可以收到订单。下面以 X n − 1 X_{n-1} Xn−1 表示第 n n n 周开始的时候正常工作的机器数目，则 X 0 = m X_0 = m X0=m，以 Y n Y_n Yn 表示在第 n n n 周时损坏的机器数目，假设
P { Y n = j ∣ X n − 1 = i } = 1 i + 1 ( j = 0 , 1 , 2 , ... , i ) P\{Y_n = j \mid X_{n-1} = i\} = \frac{1}{i+1} \quad (j = 0,1,2,\dots,i) P{Yn=j∣Xn−1=i}=i+11(j=0,1,2,...,i)
现在研究：已知 { X n } n = 0 + ∞ \{X_n\}_{n=0}^{+\infty} {Xn}n=0+∞ 构成一个齐次Markov链，那么试给出这个Markov链的状态空间，并写出一步概率转移矩阵 P P P（或者予以描述），分析这个Markov链各个状态的性质，并求长时间后，每周开始时能够正常工作的平均机器数目。
四、经典Poisson过程------到达时间
设某电话服务台每次到达的电话呼叫都能保证有线路进行通话，电话呼叫到达该服务台的过程称为 λ \lambda λ 的齐次Poisson过程，接通电话后通话时间 T T T（分钟）服从指数分布，其分布密度函数PDF为
f T ( x ) = { 1 3 e − x 3 , x ≥ 0 0 , else f_T(x) = \begin{cases} \frac{1}{3}e^{-\frac{x}{3}}, & x \ge 0 \\ 0, & \text{else} \end{cases} fT(x)={31e−3x,0,x≥0else
假设电话呼叫到达与接通电话后的通话时间独立，且每次通话时间都独立，试回答通话时间至少2分钟条件下通话时间的条件概率分布密度函数和期望通话时间长度；试求第一次通话结束之前第2次呼叫到达的概率；若第 n n n 次呼叫到达的时刻为 t n t_n tn，试求 t n t_n tn 之前的 n − 1 n-1 n−1 次通话都已结束的概率。
五、复合与过滤Poisson过程
设随机过程
X ( t ) = ∑ i = 1 N ( t ) A n δ ( t − S i ) X(t) = \sum_{i=1}^{N(t)} A_n \delta(t - S_i) X(t)=i=1∑N(t)Anδ(t−Si)
其中 δ ( t ) \delta(t) δ(t) 是单位冲激函数， N ( t ) N(t) N(t) 是强度为 λ \lambda λ 的泊松过程， S i S_i Si 是 N ( t ) N(t) N(t) 的第 i i i 个事件到达的时刻。令 A 0 = 0 A_0 = 0 A0=0，序列 { A n } n = 1 + ∞ \{A_n\}_{n=1}^{+\infty} {An}n=1+∞ 独立同分布， A n A_n An 与 N ( t ) N(t) N(t) 相互独立，且
P { A n = 1 } = P { A n = − 1 } = 1 2 P\{A_n = 1\} = P\{A_n = -1\} = \frac{1}{2} P{An=1}=P{An=−1}=21
又设 R C RC RC 电路（线性时不变系统）的冲激响应为
h ( t ) = { α e − α t , t ≥ 0 0 , else = α e − α t u ( t ) h(t) = \begin{cases} \alpha e^{-\alpha t}, & t \ge 0 \\ 0, & \text{else} \end{cases} = \alpha e^{-\alpha t} u(t) h(t)={αe−αt,0,t≥0else=αe−αtu(t)
式中 α \alpha α 是正实数。计算 X ( t ) X(t) X(t) 的均值函数和相关函数；若 X ( t ) X(t) X(t) 为该电路的输入，求稳态后输出信号的相关函数。
六、二阶矩过程的数字特征
给定随机过程 X ( t ) = X e θ t X(t) = X e^{\theta t} X(t)=Xeθt，其中 t > 0 t > 0 t>0，随机变量 X X X 与随机变量 θ \theta θ 独立，且 X X X 服从标准正态分布， θ \theta θ 服从区间 [ 0 , 1 ] [0,1] [0,1] 上的均匀分布。试回答 X ( t ) X(t) X(t) 的均值函数和相关函数；是否均方连续、均方可导，是否是平稳过程，说明理由。
七、Gaussian过程
设随机过程 ξ ( t ) = 2 X t 2 + Y t + 1 \xi(t) = 2Xt^2 + Yt + 1 ξ(t)=2Xt2+Yt+1，其中 t t t 只考虑正的那部分，以及随机变量
{ X ∼ N ( 0 , σ X 2 ) Y ∼ N ( 0 , σ Y 2 ) \begin{cases} X \sim N(0, \sigma_X^2) \\ Y \sim N(0, \sigma_Y^2) \end{cases} {X∼N(0,σX2)Y∼N(0,σY2)
二者互相独立。证明随机过程 ξ ( t ) \xi(t) ξ(t) 是Gaussian过程，求其均值函数与自相关函数，并判断其是否为宽平稳过程，是否是均方可导的。