随机信号分析| 02 随机信号的平稳性分析

随机信号分析| 02 随机信号的平稳性分析

基础的知识

对于某些统计特性随时间参数不变的信号叫做平稳随机信号。

定义(严格平稳过程;强平稳) 若信号{X(t),t∈T}\{X(t),t\in T\}{X(t),t∈T}的任意nnn维分布函数具有如下参量平移不变性:

∀t1,t2,⋯ ,tn∈T,x1,x2,⋯ ,xn∈R,∀u,u+ti∈T⇒F(x1,x2,⋯ ,xn;t1,t2,⋯ ,tn)=F(x1,x2,⋯ ,xn;t1+u,t2+u,⋯ ,tn+u)\begin{align*}&\forall t_1,t_2,\cdots,t_n\in T,x_1,x_2,\cdots ,x_n\in \mathbb R ,\forall u,u +t_i \in T \\ &\Rightarrow F(x_1,x_2,\cdots ,x_n;t_1,t_2,\cdots ,t_n)=F(x_1,x_2,\cdots ,x_n;t_1+u,t_2+u,\cdots ,t_n+u)\end{align*}∀t1,t2,⋯,tn∈T,x1,x2,⋯,xn∈R,∀u,u+ti∈T⇒F(x1,x2,⋯,xn;t1,t2,⋯,tn)=F(x1,x2,⋯,xn;t1+u,t2+u,⋯,tn+u)

则称它为严格平稳信号。

这种信号性质良好，但是条件比较严格，因此广义平稳被提出：

定义(广义平稳过程;宽平稳;弱平稳) 若信号{X(t),t∈T}\{X(t),t\in T\}{X(t),t∈T}满足均值与相关函数存在，且均值为常数，自相关函数只与参数相对差有关则称这个信号为广义平稳信号。

类似的我们可以对多个信号定义联合严格平稳与联合广义平稳。

定义（联合严格平稳过程;联合强平稳)

设有两个随机过程 {X(t), t∈T}\{X(t),\,t\in T\}{X(t),t∈T}、{Y(t), t∈T}\{Y(t),\,t\in T\}{Y(t),t∈T}，若对任意正整数 n,mn,mn,m，任意时刻
t1,t2,...,tn∈Tt_1,t_2,\dots,t_n\in Tt1,t2,...,tn∈T，s1,s2,...,sm∈Ts_1,s_2,\dots,s_m\in Ts1,s2,...,sm∈T，以及任意平移量 uuu 满足
u+ti∈T, u+sj∈Tu+t_i\in T,\,u+s_j\in Tu+ti∈T,u+sj∈T，其联合分布函数满足平移不变性：

FX,Y(x1,...,xn, y1,...,ym;  t1,...,tn, s1,...,sm)=FX,Y(x1,...,xn, y1,...,ym;  t1+u,...,tn+u, s1+u,...,sm+u)\begin{align*}& F_{X,Y}(x_1,\dots,x_n,\,y_1,\dots,y_m;\; t_1,\dots,t_n,\,s_1,\dots,s_m) \\&= F_{X,Y}(x_1,\dots,x_n,\,y_1,\dots,y_m;\; t_1+u,\dots,t_n+u,\,s_1+u,\dots,s_m+u)\end{align*} FX,Y(x1,...,xn,y1,...,ym;t1,...,tn,s1,...,sm)=FX,Y(x1,...,xn,y1,...,ym;t1+u,...,tn+u,s1+u,...,sm+u)

则称 {X(t)}\{X(t)\}{X(t)} 与 {Y(t)}\{Y(t)\}{Y(t)} 联合严格平稳。

定义(联合广义平稳过程;联合宽平稳）

若两个随机过程 {X(t), t∈T}\{X(t),\,t\in T\}{X(t),t∈T}、{Y(t), t∈T}\{Y(t),\,t\in T\}{Y(t),t∈T} 满足：

1. 各自的均值为常数 ：
   EX(t)=μX,EY(t)=μY \mathbb{E}X(t) = \mu_X,\quad \mathbb{E}Y(t) = \mu_Y EX(t)=μX,EY(t)=μY

2. 各自的自相关函数仅与时间差有关 ：
   RX(t1,t2)=RX(τ),τ=t1−t2 R_X(t_1,t_2) = R_X(\tau),\quad \tau=t_1-t_2 RX(t1,t2)=RX(τ),τ=t1−t2
   RY(t1,t2)=RY(τ),τ=t1−t2 R_Y(t_1,t_2) = R_Y(\tau),\quad \tau=t_1-t_2 RY(t1,t2)=RY(τ),τ=t1−t2

3. 互相关函数仅与时间差有关 ：
   RXY(t1,t2)=EX(t1)Y(t2)=RXY(τ),τ=t1−t2 R_{XY}(t_1,t_2) = \mathbb{E}X(t_1)Y(t_2) = R_{XY}(\tau),\quad \tau=t_1-t_2 RXY(t1,t2)=EX(t1)Y(t2)=RXY(τ),τ=t1−t2

且以上均值与相关函数均存在，则称 {X(t)}\{X(t)\}{X(t)} 与 {Y(t)}\{Y(t)\}{Y(t)} 联合广义平稳。

除了关于参量的平移不变性，事实上我们可以根据不同的参量不变办法得到一系列的稳定性分析，最特别的就是循环平稳性。

定义(严格循环平稳性)

若随机信号 {X(t), t∈T}\{X(t),\,t\in T\}{X(t),t∈T} 存在常数 α>0\alpha>0α>0 ，使得对任意 nnn、任意

t1,t2,...,tn∈Tt_1,t_2,\dots,t_n\in Tt1,t2,...,tn∈T、任意 x1,x2,...,xn∈Rx_1,x_2,\dots,x_n\in\mathbb{R}x1,x2,...,xn∈R 以及任意平移量 uuu，其 nnn 维分布函数满足
周期平移不变性 ：

F(x_1,x_2,\\dots,x_n;;t_1,t_2,\\dots,t_n) F(x_1,x_2,\\dots,x_n;;t_1+\\alpha u,,t_2+\\alpha u,,\\dots,,t_n+\\alpha u)

则称 {X(t)}\{X(t)\}{X(t)} 为严格循环平稳过程 ，
α\alphaα 称为循环周期。

定义(广义循环平稳性) 若随机信号 {X(t), t∈T}\{X(t),\,t\in T\}{X(t),t∈T} 满足：

1. 均值函数是周期函数 ，周期为 α\alphaα：
   EX(t+α)=EX(t),∀t \mathbb{E}X(t+\\alpha) = \mathbb{E}X(t),\quad \forall t EX(t+α)=EX(t),∀t

2. 自相关函数是双周期函数 ，满足
   RX(t+α, s+α)=RX(t, s),∀t,s R_X(t+\alpha,\,s+\alpha) = R_X(t,\,s),\quad \forall t,s RX(t+α,s+α)=RX(t,s),∀t,s

   即自相关函数仅依赖于时间差 与周期相位 ，且以 α\alphaα 为周期。

则称 {X(t)}\{X(t)\}{X(t)} 为广义循环平稳过程

关于平稳信号它的相关函数具有以下性质:

性质1 若{X(t), t∈T}\{X(t),\,t\in T\}{X(t),t∈T}是一个实平稳信号，则其自相关函数R(τ)R(\tau)R(τ)就满足:

1. 偶函数

2. 原点处非负且最大，是有界函数

3. 若R(τ1)=R(τ2)=R(0),τ1≠0,τ2≠0R(\tau_1)=R(\tau_2)=R(0),\tau_1\ne 0,\tau_2 \ne 0R(τ1)=R(τ2)=R(0),τ1=0,τ2=0那么信号以τ1\tau_1τ1和τ2\tau_2τ2为周期平稳

4. R(τ)R(\tau)R(τ)在000处连续，那么它处处连续

性质 2 若 {X(t),t∈T}\{X(t), t \in T\}{X(t),t∈T} 是平稳信号，则
C(τ)=R(τ)−m2,σ2=R(0)−m2 C(\tau) = R(\tau) - m^2,\quad \sigma^2 = R(0) - m^2 C(τ)=R(τ)−m2,σ2=R(0)−m2

性质 3 若 {X(t),t∈T}\{X(t), t \in T\}{X(t),t∈T} 与 {Y(t),t∈T}\{Y(t), t \in T\}{Y(t),t∈T} 是联合平稳信号，则
RXY(−τ)=RYX(τ),CXY(τ)=RXY(τ)−mXmY R_{XY}(-\tau) = R_{YX}(\tau),\quad C_{XY}(\tau) = R_{XY}(\tau) - m_X m_Y RXY(−τ)=RYX(τ),CXY(τ)=RXY(τ)−mXmY

平稳性与联合平稳性

严格平稳性要求全部的统计特征具有平移不变性，但是广义平稳信号的平稳性只是要求一二阶矩特性具有平移不变性。很显然，对于广义平稳信号不一定是严格平稳性的，但是对于严格平稳性的信号一定是广义平稳的这个是容易证明的。下面给出一个定理: 说明对于独立同分布(i.i.d)的信号一定是严格平稳信号。

定理 i.i.d信号一定是严格平稳的。

证明

设信号为{X(t),t∈T}\{X(t),t\in T\}{X(t),t∈T}，给定参数组t\boldsymbol{t}t和平移量uuu使得:t+u⋅1∈Tn\boldsymbol{t}+u\cdot\boldsymbol{1}\in T^nt+u⋅1∈Tn，设其密度函数为:

FX(t)(x)F_{X(t)}(x)FX(t)(x)

对于任意的tit_iti都有信号的同分布:

FX(ti)(x)=FX(ti+u)(x)F_{X(t_i)}(x)=F_{X(t_i+u)}(x)FX(ti)(x)=FX(ti+u)(x)

因此，由独立性:

FX(t)(x)=∏i=1nFX(ti)(x)=∏i=1nFX(ti+u)(x)=FX(t+u⋅1)(x)F_{X\boldsymbol{(t)}}(\boldsymbol{x})=\prod_{i=1}^n F_{X(t_i)}(x) =\prod_{i=1}^n F_{X(t_i+u)}(x)=F_{X\boldsymbol{(t+u\cdot\boldsymbol{1})}}(\boldsymbol{x})FX(t)(x)=i=1∏nFX(ti)(x)=i=1∏nFX(ti+u)(x)=FX(t+u⋅1)(x)

显然具有参数的平移不变性。同时我们也可以看到这个i.i.d实际上说的是信号自身在时间上的取值先后是独立的，而在同分布则是指的是信号在每个时刻的分布是一致的。■\blacksquare■

定理 广义平稳的高斯信号必定是严格平稳的。

证明

假定高斯信号U(t)U(t)U(t)的一维密度函数为：

f(u;t)=12πσexp⁡−(u−a)22σ2f(u;t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma}}\exp \left-\\frac{(u-a)\^2}{2\\sigma\^2}\\rightf(u;t)=2πσ 1exp−2σ2(u−a)2

U(t)U(t)U(t)在不同时刻彼此独立且同分布，即分布的参数是相同常数。

根据独立性：

f(u,t)=∏i=1n12πσexp⁡−(ui−a)22σ2f(\boldsymbol{u,t})=\prod_{i=1}^n\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma}}\exp \left-\\frac{(u_i-a)\^2}{2\\sigma\^2}\\rightf(u,t)=i=1∏n2πσ 1exp−2σ2(ui−a)2

显然与参数无关。■\blacksquare■

循环平稳性

循环平稳过程有一个重要的性质就是它通过随机抖动可以实现向平稳过程的转化。由下面两个定理给出:

定理 若X(t)X(t)X(t)是以周期为TTT严格循环平稳过程，Θ\ThetaΘ是[0,T)[0,T)[0,T)上的均匀分布随机变量，则:

Y(t)=X(t−Θ)Y(t)=X(t-\Theta)Y(t)=X(t−Θ)

是严格平稳过程，且其任意的nnn维分布函数为:

FY(y;t)=1T∫0TFX(y;t−θ⋅1)dθF_Y(\boldsymbol{y};\boldsymbol{t})=\frac{1}{T}\int_{0}^TF_X(\boldsymbol{y};\boldsymbol{t}-\theta \cdot\boldsymbol{1})\mathrm{d}\thetaFY(y;t)=T1∫0TFX(y;t−θ⋅1)dθ

证明

由全概率公式,事件的概率等于完备事件组分条件下的概率和:

FY(y;t)=∫RFY∣Θ(y;t∣θ)fΘ(θ)dθ=1T∫[0,T)FX(y;t−θ⋅1)dθ■F_Y(\boldsymbol{y};\boldsymbol{t})=\int_{\mathbb{R}}F_{Y|\Theta}(\boldsymbol{y};\boldsymbol{t}|\theta)f_{\Theta}(\theta)\mathrm{d}\theta=\frac{1}{T}\int_{[0,T)}F_{X}(\boldsymbol{y};\boldsymbol{t}-\theta \cdot \boldsymbol{1})\mathrm{d}\theta\blacksquareFY(y;t)=∫RFY∣Θ(y;t∣θ)fΘ(θ)dθ=T1∫[0,T)FX(y;t−θ⋅1)dθ■

定理 : 若 X(t)X(t)X(t) 是以 TTT 为周期的广义循环平稳 过程，Θ\ThetaΘ 是在 [0,T)[0,T)[0,T) 上均匀分布的独立随机变量，则 Y(t)=X(t−Θ)Y(t) = X(t-\Theta)Y(t)=X(t−Θ) 是广义平稳过程。

mY=1T∫0TmX(t)dtm_Y=\frac{1}{T}\int_0^Tm_X(t)\mathrm{d}tmY=T1∫0TmX(t)dt

RY(τ)=1T∫0TRX(t+τ,t)dtR_Y(\tau)=\frac{1}{T}\int_0^TR_X(t+\tau,t)\mathrm{d}tRY(τ)=T1∫0TRX(t+τ,t)dt

证明 ：

要证明广义平稳，只需验证均值为常数，自相关函数仅与时间差 τ\tauτ 有关。

1. 均值函数 ：
   mY(t)=EY(t)=EX(t−Θ)=EE\[X(t−Θ)∣Θ]=∫0TmX(t−θ)⋅1Tdθ=1T∫0TmX(t−θ)dθ \begin{align*} m_Y(t) &= \mathbb{E}Y(t) = \mathbb{E}X(t-\\Theta) \\ &= E\left\\mathbb{E}\[X(t-\\Theta)\|\\Theta\right] \\ &= \int_0^T m_X(t-\theta) \cdot \frac{1}{T} \mathrm{d}\theta \\ &= \frac{1}{T} \int_0^T m_X(t-\theta) \mathrm{d}\theta \end{align*} mY(t)=EY(t)=EX(t−Θ)=EE\[X(t−Θ)∣Θ]=∫0TmX(t−θ)⋅T1dθ=T1∫0TmX(t−θ)dθ

   由于 mX(t)m_X(t)mX(t) 是周期为 TTT 的函数，积分区间 0,T0,T0,T 正好是一个完整周期，积分结果与 ttt 无关，是一个常数。

2. 自相关函数 ：
   RY(t+τ,t)=EY(t+τ)Y(t)=EX(t+τ−Θ)X(t−Θ)=EE\[X(t+τ−Θ)X(t−Θ)∣Θ]=∫0TRX(t+τ−θ,t−θ)⋅1Tdθ \begin{align*} R_Y(t+\tau, t) &= \mathbb{E}Y(t+\\tau)Y(t) = \mathbb{E}X(t+\\tau-\\Theta)X(t-\\Theta) \\ &= E\left\\mathbb{E}\[X(t+\\tau-\\Theta)X(t-\\Theta)\|\\Theta\right] \\ &= \int_0^T R_X(t+\tau-\theta, t-\theta) \cdot \frac{1}{T} \mathrm{d}\theta \end{align*} RY(t+τ,t)=EY(t+τ)Y(t)=EX(t+τ−Θ)X(t−Θ)=EE\[X(t+τ−Θ)X(t−Θ)∣Θ]=∫0TRX(t+τ−θ,t−θ)⋅T1dθ

   由于 X(t)X(t)X(t) 是广义循环平稳，其自相关函数满足 RX(t1,t2)=RX(t1+T,t2+T)R_X(t_1, t_2) = R_X(t_1+T, t_2+T)RX(t1,t2)=RX(t1+T,t2+T)，即 RX(t+τ−θ,t−θ)R_X(t+\tau-\theta, t-\theta)RX(t+τ−θ,t−θ) 是关于 θ\thetaθ 的周期函数。因此，积分结果仅与时间差 τ\tauτ 有关，与 ttt 无关。

换元后得到:

mY=1T∫0TmX(t)dtm_Y=\frac{1}{T}\int_0^Tm_X(t)\mathrm{d}tmY=T1∫0TmX(t)dt

RY(τ)=1T∫0TRX(t+τ,t)dtR_Y(\tau)=\frac{1}{T}\int_0^TR_X(t+\tau,t)\mathrm{d}tRY(τ)=T1∫0TRX(t+τ,t)dt

综上，Y(t)Y(t)Y(t) 满足广义平稳的定义■\blacksquare■。

性质(实平稳信号的自相关函数性质)

若 {X(t),t∈T}\{X(t), t\in T\}{X(t),t∈T} 是实平稳信号 ，则其自相关函数 R(τ)R(\tau)R(τ) 满足：

1. 是实偶函数 ，即
   R(τ)=R(−τ) R(\tau) = R(-\tau) R(τ)=R(−τ)

   证明：
   R(−τ)=E{X(t)X(t+τ)}=E{X(t+τ)X(t)}=R(τ)■ R(-\tau) = E\{X(t)X(t+\tau)\} = E\{X(t+\tau)X(t)\} = R(\tau) \blacksquareR(−τ)=E{X(t)X(t+τ)}=E{X(t+τ)X(t)}=R(τ)■

2. 在原点处非负并达到最大 ，即
   ∣R(τ)∣≤R(0),R(0)=EX2(t)≥0 |R(\tau)| \le R(0), \quad R(0) = \mathbb{E}X\^2(t) \ge 0 ∣R(τ)∣≤R(0),R(0)=EX2(t)≥0

   证明：

   利用柯西-施瓦兹不等式 ∣EZW∣2≤EZ2EW2|\mathbb{E}ZW|^2 \le \mathbb{E}Z\^2\mathbb{E}W\^2∣EZW∣2≤EZ2EW2，令 Z=X(t1)Z = X(t_1)Z=X(t1)，W=X(t2)W = X(t_2)W=X(t2)，有
   ∣EX(t1)X(t2)∣2≤E∣X(t1)∣2E∣X(t2)∣2=R2(0) |\mathbb{E}X(t_1)X(t_2)|^2 \le \mathbb{E}\|X(t_1)\|\^2\mathbb{E}\|X(t_2)\|\^2 = R^2(0) ∣EX(t1)X(t2)∣2≤E∣X(t1)∣2E∣X(t2)∣2=R2(0)

   即 ∣R(τ)∣≤R(0)|R(\tau)| \le R(0)∣R(τ)∣≤R(0)■\blacksquare■。

3. 若 R(τ1)=R(0)R(\tau_1) = R(0)R(τ1)=R(0)，τ1≠0\tau_1 \ne 0τ1=0，则 R(τ)R(\tau)R(τ) 是周期为 τ1\tau_1τ1 的周期函数，这时称 X(t)X(t)X(t) 为周期平稳信号 。

   证明：

   令 Z=X(t+τ+τ1)−X(t+τ)Z = X(t+\tau+\tau_1) - X(t+\tau)Z=X(t+τ+τ1)−X(t+τ)，W=X(t)W = X(t)W=X(t)，利用柯西-施瓦兹不等式有
   {E(X(t+τ+τ1)−X(t+τ))X(t)}2≤E(X(t+τ+τ1)−X(t+τ))2EX2(t) \{\mathbb{E}(X(t+\\tau+\\tau_1)-X(t+\\tau))X(t)\}^2 \le \mathbb{E}(X(t+\\tau+\\tau_1)-X(t+\\tau))\^2\mathbb{E}X\^2(t) {E(X(t+τ+τ1)−X(t+τ))X(t)}2≤E(X(t+τ+τ1)−X(t+τ))2EX2(t)

   简化后得到
   R(τ+τ1)−R(τ)2≤2R(0)−R(τ1)R(0) R(\\tau+\\tau_1) - R(\\tau)^2 \le 2R(0) - R(\\tau_1)R(0) R(τ+τ1)−R(τ)2≤2R(0)−R(τ1)R(0)

   所以，当 R(τ1)=R(0)R(\tau_1) = R(0)R(τ1)=R(0) 时，上式左端只能等于零。于是 R(τ+τ1)=R(τ)R(\tau+\tau_1) = R(\tau)R(τ+τ1)=R(τ)，即 R(τ)R(\tau)R(τ) 以 τ1\tau_1τ1 为周期■\blacksquare■。

4. 若 R(τ1)=R(τ2)=R(0)R(\tau_1) = R(\tau_2) = R(0)R(τ1)=R(τ2)=R(0)，τ1≠0\tau_1 \ne 0τ1=0，τ2≠0\tau_2 \ne 0τ2=0，且 τ1\tau_1τ1 与 τ2\tau_2τ2 是不公约的，则 R(τ)R(\tau)R(τ) 为常数。

   证明：

   根据③的结论，R(τ)R(\tau)R(τ) 既以 τ1\tau_1τ1 为周期，又以 τ2\tau_2τ2 为周期，而 τ1\tau_1τ1 与 τ2\tau_2τ2 是不公约的，因此 R(τ)R(\tau)R(τ) 只能是常数■\blacksquare■。

5. 若 R(τ)R(\tau)R(τ) 在原点处连续，则它处处连续。

   证明：

   令 τ1=Δτ\tau_1 = \Delta\tauτ1=Δτ 并利用上面结果得
   R(τ+Δτ)−R(τ)2≤2R(0)−R(Δτ)R(0) R(\\tau+\\Delta\\tau) - R(\\tau)^2 \le 2R(0) - R(\\Delta\\tau)R(0) R(τ+Δτ)−R(τ)2≤2R(0)−R(Δτ)R(0)

   令上式右端为 B(Δτ)B(\Delta\tau)B(Δτ)，于是可得
   −B(Δτ)≤R(τ+Δτ)−R(τ)≤B(Δτ) -\sqrt{B(\Delta\tau)} \le R(\tau+\Delta\tau) - R(\tau) \le \sqrt{B(\Delta\tau)} −B(Δτ) ≤R(τ+Δτ)−R(τ)≤B(Δτ)

   若 R(τ)R(\tau)R(τ) 在原点处连续，则 R(0)R(0)R(0) 有界，并且有 lim⁡Δτ→0R(0)−R(Δτ)=0\lim_{\Delta\tau\to 0}R(0) - R(\\Delta\\tau) = 0limΔτ→0R(0)−R(Δτ)=0。于是可得
   lim⁡Δτ→0B(Δτ)=0 \lim_{\Delta\tau\to 0} B(\Delta\tau) = 0 Δτ→0limB(Δτ)=0

   利用极限的性质有
   lim⁡Δτ→0R(τ+Δτ)−R(τ)=0 \lim_{\Delta\tau\to 0}R(\\tau+\\Delta\\tau) - R(\\tau) = 0 Δτ→0limR(τ+Δτ)−R(τ)=0

   因此在 τ\tauτ 的定义域中，R(τ)R(\tau)R(τ) 处处连续■\blacksquare■。

性质(自协方差函数)

若 {X(t),t∈T}\{X(t), t\in T\}{X(t),t∈T} 是平稳信号，则其自协方差函数 C(τ)C(\tau)C(τ) 满足：
C(τ)=R(τ)−m2,σ2=R(0)−m2 C(\tau) = R(\tau) - m^2, \quad \sigma^2 = R(0) - m^2 C(τ)=R(τ)−m2,σ2=R(0)−m2

其中 m=EX(t)m = \mathbb{E}X(t)m=EX(t) 为常数均值，σ2\sigma^2σ2 为方差。

证明

由定义:

C(τ)=E(X(t)−mX)(X(t+τ)−mX)=EX(t)X(t+τ)+mX2−E(X(t)mX−E(X(t+τ)mX=R(τ)−m2\begin{align*} C(\tau)&=\mathbb{E}(X(t)-m_X)(X(t+\\tau)-m_X)\\ &=\mathbb{E}X(t)X(t+\\tau)+m_X^2-\mathbb{E}(X(t)m_X-\mathbb{E}(X(t+\\tau)m_X\\ &= R(\tau) - m^2 \end{align*}C(τ)=E(X(t)−mX)(X(t+τ)−mX)=EX(t)X(t+τ)+mX2−E(X(t)mX−E(X(t+τ)mX=R(τ)−m2

特别地，取τ=0\tau=0τ=0,有：

σ2=R(0)−m2■\sigma^2 = R(0) - m^2\blacksquare σ2=R(0)−m2■

性质(联合平稳信号的互相关函数)

若 {X(t),t∈T}\{X(t), t\in T\}{X(t),t∈T} 与 {Y(t),t∈T}\{Y(t), t\in T\}{Y(t),t∈T} 是联合平稳信号 ，则其互相关函数 RXY(τ)R_{XY}(\tau)RXY(τ) 和互协方差函数 CXY(τ)C_{XY}(\tau)CXY(τ) 满足：
RXY(−τ)=RYX(τ),CXY(τ)=RXY(τ)−mXmY R_{XY}(-\tau) = R_{YX}(\tau), \quad C_{XY}(\tau) = R_{XY}(\tau) - m_X m_Y RXY(−τ)=RYX(τ),CXY(τ)=RXY(τ)−mXmY

其中 mX=EX(t)m_X = \mathbb{E}X(t)mX=EX(t)，mY=EY(t)m_Y = \mathbb{E}Y(t)mY=EY(t)。

证明
RXY(−τ)=EX(t)Y(t−τ)=EX(t′+τ)Y(t′)(令 t′=t−τ)=EY(t′)X(t′+τ)=RYX(τ)CXY(τ)=E(X(t)−mX)(Y(t+τ)−mY)=EX(t)Y(t+τ)−mYEX(t)−mXEY(t+τ)+mXmY=RXY(τ)−mXmY−mXmY+mXmY=RXY(τ)−mXmY■ \begin{align*} R_{XY}(-\tau) &= \mathbb{E}\bigX(t)Y(t-\\tau)\\big \\ &= \mathbb{E}\bigX(t'+\\tau)Y(t')\\big \quad (\text{令 } t' = t - \tau) \\ &= \mathbb{E}\bigY(t')X(t'+\\tau)\\big \\ &= R_{YX}(\tau) \\ \\ C_{XY}(\tau) &= \mathbb{E}\big(X(t)-m_X)(Y(t+\\tau)-m_Y)\\big \\ &= \mathbb{E}\bigX(t)Y(t+\\tau)\\big - m_Y\mathbb{E}X(t) - m_X\mathbb{E}Y(t+\\tau) + m_X m_Y \\ &= R_{XY}(\tau) - m_X m_Y - m_X m_Y + m_X m_Y \\ &= R_{XY}(\tau) - m_X m_Y\blacksquare \end{align*} RXY(−τ)CXY(τ)=EX(t)Y(t−τ)=EX(t′+τ)Y(t′)(令 t′=t−τ)=EY(t′)X(t′+τ)=RYX(τ)=E(X(t)−mX)(Y(t+τ)−mY)=EX(t)Y(t+τ)−mYEX(t)−mXEY(t+τ)+mXmY=RXY(τ)−mXmY−mXmY+mXmY=RXY(τ)−mXmY■

于是，我们可以得到，在平稳信号分析的过程中，自相关函数是最重要的统计特征，因为:

lim⁡τ→∞C(τ)=0lim⁡τ→∞CXY(τ)=0\lim_{\tau\to \infty}C(\tau)=0\quad \lim_{\tau \to \infty}C_{XY}(\tau)=0τ→∞limC(τ)=0τ→∞limCXY(τ)=0

进一步,通过R(τ)R(\tau)R(τ)可以得到：

m2=R(∞)EX2(t)=R(0)σ2=C(0)=R(0)−R(∞)m^2=R(\infty)\quad EX\^2(t)= R(0)\quad \sigma^2=C(0)=R(0)-R(\infty)m2=R(∞)EX2(t)=R(0)σ2=C(0)=R(0)−R(∞)

功率谱密度与互功率谱密度

Wiener-Khintchine 定理 平稳随机信号的功率谱密度S(ω)S(\omega)S(ω)是其自相关函数R(τ)R(\tau)R(τ)的傅里叶变换:

S(ω)=FR(τ)S(\omega)=\mathcal{F}R(\tau)S(ω)=FR(τ)

证明

XT(jω,ξ)=∫−∞+∞XT(t,ξ)e−jωtdt=∫−TTX(t,ξ)e−jωtdt X_T(j\omega,\xi)=\int_{-\infty}^{+\infty} X_T(t,\xi)e^{-j\omega t}\mathrm{d}t = \int_{-T}^{T} X(t,\xi)e^{-j\omega t}\mathrm{d}t XT(jω,ξ)=∫−∞+∞XT(t,ξ)e−jωtdt=∫−TTX(t,ξ)e−jωtdt

因此
∣XT(jω,ξ)∣2=∫−TTX(u,ξ)e−jωudu∫−TTX(v,ξ)e−jωvdv∗=∫−TT∫−TTX(u,ξ)X∗(v,ξ)e−jω(u−v)dudv \begin{align*} |X_T(j\omega,\xi)|^2 &= \left\\int_{-T}\^{T} X(u,\\xi)e\^{-j\\omega u}\\mathrm{d}u\\right\left\\int_{-T}\^{T} X(v,\\xi)e\^{-j\\omega v}\\mathrm{d}v\\right^* \\ &= \int_{-T}^{T}\int_{-T}^{T} X(u,\xi)X^*(v,\xi)e^{-j\omega(u-v)}\mathrm{d}u\mathrm{d}v \end{align*} ∣XT(jω,ξ)∣2=∫−TTX(u,ξ)e−jωudu∫−TTX(v,ξ)e−jωvdv∗=∫−TT∫−TTX(u,ξ)X∗(v,ξ)e−jω(u−v)dudv

进而
S(ω)=lim⁡T→∞12TE∣XT(jω,ξ)∣2=lim⁡T→∞12T∫−TT∫−TTR(u−v)e−jω(u−v)dudv S(\omega)=\lim_{T\to\infty} \frac{1}{2T}E\big\|X_T(j\\omega,\\xi)\|\^2\\big = \lim_{T\to\infty} \frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}\int_{-T}^{T} R(u-v)e^{-j\omega(u-v)}\mathrm{d}u\mathrm{d}v S(ω)=T→∞lim2T1E∣XT(jω,ξ)∣2=T→∞lim2T1∫−TT∫−TTR(u−v)e−jω(u−v)dudv

作变换
{v=tu=t+τ \begin{cases} v = t \\ u = t + \tau \end{cases} {v=tu=t+τ

于是 ∣J∣=∣1011∣=1|J| = \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1∣J∣= 1101 =1。积分区域的变化，因此
S(ω)=lim⁡T→∞12T{∫−2T0∫−T−T−τR(τ)e−jωτdtdτ+∫02T∫−TT−τR(τ)e−jωτdtdτ}=lim⁡T→∞12T{∫−2T0(2T+τ)R(τ)e−jωτdτ+∫02T(2T−τ)R(τ)e−jωτdτ}=lim⁡T→∞∫−2T2T(1−∣τ∣2T)R(τ)e−jωτdτ=∫−∞∞R(τ)e−jωτdτ \begin{align*} S(\omega) &= \lim_{T\to\infty} \frac{1}{2T}\left\{ \int_{-2T}^{0} \left \\int_{-T}\^{-T-\\tau} R(\\tau)e\^{-j\\omega\\tau}\\mathrm{d}t \\right \mathrm{d}\tau + \int_{0}^{2T} \left \\int_{-T}\^{T-\\tau} R(\\tau)e\^{-j\\omega\\tau}\\mathrm{d}t \\right \mathrm{d}\tau \right\} \\ &= \lim_{T\to\infty} \frac{1}{2T}\left\{ \int_{-2T}^{0} (2T+\tau)R(\tau)e^{-j\omega\tau}\mathrm{d}\tau + \int_{0}^{2T} (2T-\tau)R(\tau)e^{-j\omega\tau}\mathrm{d}\tau \right\} \\ &= \lim_{T\to\infty} \int_{-2T}^{2T} \left(1-\frac{|\tau|}{2T}\right)R(\tau)e^{-j\omega\tau}\mathrm{d}\tau \\ &= \int_{-\infty}^{\infty} R(\tau)e^{-j\omega\tau}\mathrm{d}\tau \end{align*} S(ω)=T→∞lim2T1{∫−2T0∫−T−T−τR(τ)e−jωτdtdτ+∫02T∫−TT−τR(τ)e−jωτdtdτ}=T→∞lim2T1{∫−2T0(2T+τ)R(τ)e−jωτdτ+∫02T(2T−τ)R(τ)e−jωτdτ}=T→∞lim∫−2T2T(1−2T∣τ∣)R(τ)e−jωτdτ=∫−∞∞R(τ)e−jωτdτ

即 R(τ)↔S(ω)R(\tau) \leftrightarrow S(\omega)R(τ)↔S(ω) ■\blacksquare■。

由于上述定理的存在，所以还有一种定义平稳信号的功率与谱密度办法:

对于平稳型号{X(t),t∈T}\{X(t),t\in T\}{X(t),t∈T}的自相关函数为RX(τ)R_X(\tau)RX(τ)，其功率谱密度为:

SX(ω)=∫−∞∞RX(τ)e−jωτdτ=FRX(τ)S_X(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}R_X(\tau)e^{-j\omega \tau}\mathrm{d}\tau=\mathcal{F}R_X(\tau)SX(ω)=∫−∞∞RX(τ)e−jωτdτ=FRX(τ)

其功率(信号的均方值):

PX=EX2(t)=RX(0)=F−1SX(ω)P_X=\mathbb{E}X^2(t)=R_X(0)=\mathcal{F}^{-1} S_X(\omega)PX=EX2(t)=RX(0)=F−1SX(ω)

功率谱密度的基本性质 功率谱密度的基本性质是：平稳信号的功率谱总是正的实值偶函数。即：

S(ω)∈R,S(ω)≥0,S(−ω)=S(ω)S(\omega) \in \mathbb{R},\quad S(\omega) \ge 0,\quad S(-\omega) = S(\omega)S(ω)∈R,S(ω)≥0,S(−ω)=S(ω)

证明

1. 证明 S(ω)S(\omega)S(ω) 是实值函数

对于实平稳随机过程 ，其自相关函数 R(τ)R(\tau)R(τ) 是实偶函数 ，即：
R(τ)=R∗(τ),R(τ)=R(−τ) R(\tau) = R^*(\tau), \quad R(\tau) = R(-\tau) R(τ)=R∗(τ),R(τ)=R(−τ)

根据维纳-辛钦定理，功率谱密度为：
S(ω)=∫−∞∞R(τ)e−jωτdτ S(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} R(\tau) e^{-j\omega\tau} \mathrm{d}\tau S(ω)=∫−∞∞R(τ)e−jωτdτ

对 S(ω)S(\omega)S(ω) 取共轭：
S∗(ω)=(∫−∞∞R(τ)e−jωτdτ)∗=∫−∞∞R∗(τ)ejωτdτ S^*(\omega) = \left( \int_{-\infty}^{\infty} R(\tau) e^{-j\omega\tau} \mathrm{d}\tau \right)^* = \int_{-\infty}^{\infty} R^*(\tau) e^{j\omega\tau} \mathrm{d}\tau S∗(ω)=(∫−∞∞R(τ)e−jωτdτ)∗=∫−∞∞R∗(τ)ejωτdτ

由于 R(τ)R(\tau)R(τ) 是实函数，R∗(τ)=R(τ)R^*(\tau) = R(\tau)R∗(τ)=R(τ)，代入得：
S∗(ω)=∫−∞∞R(τ)ejωτdτ S^*(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} R(\tau) e^{j\omega\tau} \mathrm{d}\tau S∗(ω)=∫−∞∞R(τ)ejωτdτ

令 τ′=−τ\tau' = -\tauτ′=−τ，则 dτ=−dτ′\mathrm{d}\tau = -\mathrm{d}\tau'dτ=−dτ′，积分限反转：
S∗(ω)=∫+∞−∞R(−τ′)e−jωτ′(−dτ′)=∫−∞∞R(−τ′)e−jωτ′dτ′ S^*(\omega) = \int_{+\infty}^{-\infty} R(-\tau') e^{-j\omega\tau'} (-\mathrm{d}\tau') = \int_{-\infty}^{\infty} R(-\tau') e^{-j\omega\tau'} \mathrm{d}\tau' S∗(ω)=∫+∞−∞R(−τ′)e−jωτ′(−dτ′)=∫−∞∞R(−τ′)e−jωτ′dτ′

又因为 R(τ)R(\tau)R(τ) 是偶函数，R(−τ′)=R(τ′)R(-\tau') = R(\tau')R(−τ′)=R(τ′)，所以：
S∗(ω)=∫−∞∞R(τ′)e−jωτ′dτ′=S(ω) S^*(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} R(\tau') e^{-j\omega\tau'} \mathrm{d}\tau' = S(\omega) S∗(ω)=∫−∞∞R(τ′)e−jωτ′dτ′=S(ω)

因此 S(ω)=S∗(ω)S(\omega) = S^*(\omega)S(ω)=S∗(ω)，即 S(ω)S(\omega)S(ω) 是实值函数 ■\blacksquare■。

2. 证明 S(ω)S(\omega)S(ω) 是非负的

根据功率谱密度的定义，它是有限时间截断信号 XT(t)X_T(t)XT(t) 平均功率谱密度的极限：
S(ω)=lim⁡T→∞12TE∣XT(jω)∣2 S(\omega) = \lim_{T \to \infty} \frac{1}{2T} E\left \|X_T(j\\omega)\|\^2 \\right S(ω)=T→∞lim2T1E∣XT(jω)∣2

其中 ∣XT(jω)∣2|X_T(j\omega)|^2∣XT(jω)∣2 是频谱幅度的平方，必然是非负的，其期望 E∣XT(jω)∣2E\left \|X_T(j\\omega)\|\^2 \\rightE∣XT(jω)∣2 也非负。

再乘以正系数 12T\frac{1}{2T}2T1 并取极限，结果仍然非负，即：
S(ω)≥0■ S(\omega) \ge 0 \blacksquare S(ω)≥0■

3. 证明 S(ω)S(\omega)S(ω) 是偶函数

利用 R(τ)R(\tau)R(τ) 是偶函数的性质，对 S(−ω)S(-\omega)S(−ω) 进行变量代换：
S(−ω)=∫−∞∞R(τ)ejωτdτ S(-\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} R(\tau) e^{j\omega\tau} \mathrm{d}\tau S(−ω)=∫−∞∞R(τ)ejωτdτ

令 τ′=−τ\tau' = -\tauτ′=−τ，则 dτ=−dτ′\mathrm{d}\tau = -\mathrm{d}\tau'dτ=−dτ′，积分限反转：
S(−ω)=∫+∞−∞R(−τ′)e−jωτ′(−dτ′)=∫−∞∞R(−τ′)e−jωτ′dτ′ S(-\omega) = \int_{+\infty}^{-\infty} R(-\tau') e^{-j\omega\tau'} (-\mathrm{d}\tau') = \int_{-\infty}^{\infty} R(-\tau') e^{-j\omega\tau'} \mathrm{d}\tau' S(−ω)=∫+∞−∞R(−τ′)e−jωτ′(−dτ′)=∫−∞∞R(−τ′)e−jωτ′dτ′

由于 R(τ)R(\tau)R(τ) 是偶函数，R(−τ′)=R(τ′)R(-\tau') = R(\tau')R(−τ′)=R(τ′)，所以：
S(−ω)=∫−∞∞R(τ′)e−jωτ′dτ′=S(ω) S(-\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} R(\tau') e^{-j\omega\tau'} \mathrm{d}\tau' = S(\omega) S(−ω)=∫−∞∞R(τ′)e−jωτ′dτ′=S(ω)

即 S(ω)S(\omega)S(ω) 是偶函数 ■\blacksquare■。

白噪声

考虑一种理想的噪声工程上常说的白噪声，是一种功率谱均匀且不同时刻上相互独立的理想随机过程。

高斯白噪声是指同时满足以下两个条件的随机过程：

1. 任意有限维分布服从高斯分布；
2. 满足白噪声特性：功率谱均匀、不同时刻统计独立。

对实零均值高斯白噪声 {W(t)}\{W(t)\}{W(t)}，有：

• 均值：

  \\mathbb{E}\[W(t)\] = 0

• 功率谱密度（常数）：

  S_W(\\omega) = \\frac{N_0}{2}

• 自相关函数（冲激型）：

  R_W(\\tau) = \\frac{N_0}{2},\\delta(\\tau)

  即 τ≠0\tau\neq0τ=0 时，W(t1)W(t_1)W(t1) 与 W(t2)W(t_2)W(t2) 统计独立。

与白噪声相对，有色噪声 是指功率谱密度不是常数的噪声。

• 功率谱 S(ω)S(\omega)S(ω) 随 ω\omegaω 变化，不再均匀分布；
• 自相关函数 R(τ)R(\tau)R(τ) 不是冲激函数，不同时刻之间存在相关性；
• 可看作白噪声通过线性系统后得到的输出噪声。