随机信号分析| 05 随机信号通过线性系统

系统是将输入信号x(t)x(t)x(t)变换为输出信号y(t)y(t)y(t)的一种映射规则。线性时不变系统可以用算子进行表示:

y(t)=L $x(t)$ y(t)=L $x(t)$ y(t)=L $x(t)$

这里提到的线性系统具有线性与时不变的性质。

定义系统的冲击响应函数为h(t)h(t)h(t)，那么线性系统的输出为:

y(t)=x(t)∗h(t)y(t)=x(t)*h(t)y(t)=x(t)∗h(t)

其中，* 代表的是卷积操作。

实际上卷积运算是困难的，在随机信号分析中，往往总是关注输出过程的均值与自相关函数。

定理

对于任何稳定的线性系统有
E{L $X(t)$ }=L{E $X(t)$ } \mathbb{E}\{L $X(t)$ \} = L\{\mathbb{E} $X(t)$ \} E{L $X(t)$ }=L{E $X(t)$ }

定理

若 X(t)X(t)X(t) 为平稳过程，h(t)h(t)h(t) 为实 LTI 系统，Y(t)=X(t)∗h(t)Y(t) = X(t) * h(t)Y(t)=X(t)∗h(t)，则 X(t)X(t)X(t) 与 Y(t)Y(t)Y(t) 是联合广义平稳过程，并且有：

①
mY=mXH(j0) m_Y = m_X H(j0) mY=mXH(j0)

②
RYX(τ)=RX(τ)∗h(τ) R_{YX}(\tau) = R_X(\tau) * h(\tau) RYX(τ)=RX(τ)∗h(τ)

③
RXY(τ)=RX(τ)∗h(−τ) R_{XY}(\tau) = R_X(\tau) * h(-\tau) RXY(τ)=RX(τ)∗h(−τ)

④
RY(τ)=RX(τ)∗h(τ)∗h(−τ) R_Y(\tau) = R_X(\tau) * h(\tau) * h(-\tau) RY(τ)=RX(τ)∗h(τ)∗h(−τ)

其中，H(j0)=H(jω)∣ω=0=∫−∞+∞h(t)dtH(j0) = H(j\omega)\big|{\omega=0} = \int{-\infty}^{+\infty} h(t)\mathrm{d}tH(j0)=H(jω) ω=0=∫−∞+∞h(t)dt，是系统的直流增益。

定理

若 LTI 系统的频响函数为 H(jω)H(j\omega)H(jω)，则其互功率谱与功率谱关系如下：

①
SYX(ω)=SX(ω)H(jω) S_{YX}(\omega) = S_X(\omega)H(j\omega) SYX(ω)=SX(ω)H(jω)

②
SXY(ω)=SX(ω)H∗(jω) S_{XY}(\omega) = S_X(\omega)H^*(j\omega) SXY(ω)=SX(ω)H∗(jω)

③
SY(ω)=SX(ω)∣H(jω)∣2 S_Y(\omega) = S_X(\omega)|H(j\omega)|^2 SY(ω)=SX(ω)∣H(jω)∣2

定理

对于 LTI 系统，Y(t)=X(t)∗h(t)Y(t) = X(t) * h(t)Y(t)=X(t)∗h(t)，有：

① 均值
mY(t)=L $mX(t)$ =mX(t)∗h(t) m_Y(t) = L $m_X(t)$ = m_X(t) * h(t) mY(t)=L $mX(t)$ =mX(t)∗h(t)

② 互相关
RYX(t1,t2)=RX(t1,t2)∗h(t1) R_{YX}(t_1,t_2) = R_X(t_1,t_2) * h(t_1) RYX(t1,t2)=RX(t1,t2)∗h(t1)

③ 互相关
RXY(t1,t2)=RX(t1,t2)∗h(t2) R_{XY}(t_1,t_2) = R_X(t_1,t_2) * h(t_2) RXY(t1,t2)=RX(t1,t2)∗h(t2)

④ 自相关
RY(t1,t2)=RX(t1,t2)∗h(t1)∗h(t2) R_Y(t_1,t_2) = R_X(t_1,t_2) * h(t_1) * h(t_2) RY(t1,t2)=RX(t1,t2)∗h(t1)∗h(t2)