🟦 题目名称：平方之和
🌈 一、先看题目
小杨手里有很多正整数。
1、他想知道：
每一个数 n，
能不能写成
两个正整数的平方之和？
2、也就是问：
cpp
是否存在 a 和 b
使得：
a² + b² = n3、如果可以，输出：
cpp
Yes4、否则输出：
cpp
No🧸 二、什么是"完全平方数"？
1、完全平方数就是：
整数 * 整数（自己）= 完全平方数
2、例如：
| 数字 | 完全平方数 |
|---|---|
| 1 | 1 |
| 2 | 4 |
| 3 | 9 |
| 4 | 16 |
| 5 | 25 |
🎈 三、举例理解
1、🌟 例子1
（1）输入：
cpp
5（2）问：5 能不能表示成两个完全平方数的和？
（3）我们试试看：
cpp
1² + 2² = 1 + 4 = 5（4）可以！
（5）所以输出：
cpp
Yes🌟 例子2
（1）输入：
cpp
4（2）试试看：
1² + 1² = 2
1² + 2² = 5
2² + 2² = 8
没有办法等于 4。
（3）所以输出：
cpp
No🧠 四、解题思路
1、我们要试所有的可能性。
2、寻找方法：
cpp
for a 从 1 开始3、计算：
cpp
剩下的 = n - a²4、然后看看：
👉 剩下的这个数是不是一个"完全平方数"？
5、如果是！
说明找到了！
6、如果不是！
就去继续找！
7、一直到
找完所有可能性！
🧮 五、怎么判断"是不是完全平方数"？
1、例如：
16
2、我们可以：
cpp
int y = sqrt(16);3、如果：
cpp
y*y == 16说明是平方数。
💻 六、参考代码
cpp
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
bool check(int x){ //判断是否是完全平方数
int y = sqrt(x);
return y*y==x;
}
int main(){
int t;
cin>>t;
while(t--){
int n;
cin>>n;
int flag = 0;
for(int i=1;i*i<n;i++){ //枚举其中一个数字
int j = n-i*i;
if(check(j)) //判断另外一个数字
flag = 1;
}
if(flag)
cout<<"Yes\n";
else
cout<<"No\n";
}
}💻 七、代码讲解：
1、参考代码：
cpp
bool check(int x){
int y = sqrt(x);
return y*y==x;
}这段代码返回值为
是否是"完全平方数"。
2、主程序：
cpp
for(int i=1;i*i<n;i++){
int j=n-i*i;
if(check(j))
flag=1;
}枚举所有可能性：
cpp
j = n - i²如果 j 是平方数
说明成功
🧮 八、本题的查询数字的个数n，如果n是10万,怎么办？
1、可以对数字进行预先处理
先用双重循环枚举 x 和 y
把所有 x² + y² 的结果存到数组里
后面每次输入 ai 直接查表
每次查询时间都是O（1）
2、参考程序：
cpp
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN = 1000000;
bool ok[MAXN + 1];
int main() {
// 预处理
for(int x = 1; x*x <= MAXN; x++){
for(int y = x; y*y <= MAXN; y++){ // y 从 x 开始
int sum = x*x + y*y;
if(sum > MAXN)
break;
ok[sum] = true;
}
}
int n;
cin >> n;
while(n--){
int a;
cin >> a;
if(ok[a])
cout << "Yes\n";
else
cout << "No\n";
}
return 0;
}3、👉这是 典型的"预处理 + 查表"
这是非常重要的算法思想！
在后面：
埃氏筛法
前缀和
动态规划
都会用到。
🧠 九、 两种方法比较
1、✅ 方法一：每个 ai 单独枚举（逐个判断）
（1）核心思想：
cpp
对每个 ai：
枚举 a
判断 n - a² 是否为平方数（2）时间复杂度：
cpp
O(n × √ai)2、✅ 方法二：预处理 + 查表
（1）核心思想：
cpp
先算出所有 x²+y² ≤ 10^6
标记到数组 ok[]
之后每个 ai 直接查 ok[ai]（2）时间复杂度：
cpp
预处理：O(1000×1000) ≈ 10^6
查询：O(n)3、🌈 时间复杂度对比
假设：
cpp
ai ≤ 10^6
√10^6 = 1000（1）🌟 情况1：n 很小（比如本题： n ≤ 10）
cpp
n < 10（2）方法一：
cpp
最多 10 × 1000 = 10000 次非常小。
（3）方法二：
cpp
固定做 1000000 次预处理反而多做了 100 倍的工作。
（4）👉 所以在本题数据范围下：
✅ 方法一更优
4、🌈 什么时候方法二更有优势？
（1）假设：
cpp
n = 100000（2）方法一：
cpp
100000 × 1000 = 100,000,000 次一亿次！
（3）方法二：
cpp
预处理 1,000,000 次
查询 100000 次
总共 1,100,000 次快 100 倍。
（4）👉 当 n 很大时：
✅ 方法二碾压方法一