代码随想录Day39动态规划：115不同的子序列_583两个字符串的删除操作_72编辑距离_编辑距离总结

115不同的子序列

题目：给你两个字符串s和t，统计并返回在s的子序列中t出现的个数。测试用例保证结果在 32 位有符号整数范围内。

示例 1：输入：s = "rabbbit", t = "rabbit"，输出：3

解释：如下所示, 有 3 种可以从 s 中得到 "rabbit" 的方案。

链接：https://leetcode.cn/problems/distinct-subsequences/

动规五部曲：
1 确定dp数组及其含义

dp $i$ $j$ ：以i-1为结尾的s子序列中出现以j-1为结尾的t的个数为dp $i$ $j$ 。

以i-1为结尾的s子序列中出现dp $i$ $j$ 个以j-1为结尾的t。

2 确定递推公式

这一类问题，基本是要分析两种情况

s $i - 1$ 与 t $j - 1$ 相等

s $i - 1$ 与 t $j - 1$ 不相等

当s $i - 1$ 与 t $j - 1$ 相等时，dp $i$ $j$ 可以有两部分组成。一部分是用s $i - 1$ 来匹配，那么个数为dp $i - 1$ $j - 1$ 。即不需要考虑当前s子串和t子串的最后一位字母，所以只需要 dp $i-1$ $j-1$ 。一部分是不用s $i - 1$ 来匹配，个数为dp $i - 1$ $j$ 。所以当s $i - 1$ 与 t $j - 1$ 相等时，dp $i$ $j$ = dp $i - 1$ $j - 1$ + dp $i - 1$ $j$ ;

当s $i - 1$ 与 t $j - 1$ 不相等时，dp $i$ $j$ 只有一部分组成，不用s $i - 1$ 来匹配（就是模拟在s中删除这个元素），即：dp $i - 1$ $j$ 。所以递推公式为：dp $i$ $j$ = dp $i - 1$ $j$ ;

3 初始化dp数组

每次当初始化的时候，都要回顾一下dp $i$ $j$ 的定义，不要凭感觉初始化。

dp $i$ $0$ 表示：以i-1为结尾的s可以随便删除元素，出现空字符串的个数。

那么dp $i$ $0$ 一定都是1，因为也就是把以i-1为结尾的s，删除所有元素，出现空字符串的个数就是1。

dp $0$ $j$ ：空字符串s可以随便删除元素，出现以j-1为结尾的字符串t的个数。

那么dp $0$ $j$ 一定都是0，s如论如何也变成不了t。

dp $0$ $0$ 应该是1，空字符串s，可以删除0个元素，变成空字符串t。

4 确定遍历顺序

从上到下，从左到右
5 举例推导dp数组

java 复制代码

class Solution {
    public int numDistinct(String s, String t) {
        int[][] dp=new int[s.length()+1][t.length()+1];
        for(int i=0;i<=s.length();i++){
            dp[i][0]=1;
        }

        for(int i=1;i<=s.length();i++){
            for(int j=1;j<=t.length();j++){
                if(s.charAt(i-1)==t.charAt(j-1)){
                    dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+dp[i-1][j];
                }else{
                    dp[i][j]=dp[i-1][j];
                }
            }
        }
        return dp[s.length()][t.length()];
    }
}

583两个字符串的删除操作

题目：给定两个单词word1和word2，返回使得word1和word2相同所需的最小步数。每步可以删除任意一个字符串中的一个字符。

示例1：输入: word1 = "sea", word2 = "eat"，输出: 2

解释: 第一步将 "sea" 变为 "ea" ，第二步将 "eat "变为 "ea"

链接：https://leetcode.cn/problems/delete-operation-for-two-strings/

和之前题目的区别是：现在两个字符串都可以删了。

动规五部曲：
1 确定dp数组以及下标的含义

dp $i$ $j$ 以i-1为结尾的字符串word1，和以j-1位结尾的字符串word2，想要达到相等，所需要删除元素的最少次数。

2 确定递推公式

当word1 $i - 1$ 与 word2 $j - 1$ 相同的时候

当word1 $i - 1$ 与 word2 $j - 1$ 不相同的时候

当word1 $i - 1$ 与 word2 $j - 1$ 相同的时候，dp $i$ $j$ = dp $i - 1$ $j - 1$ ;

当word1 $i - 1$ 与 word2 $j - 1$ 不相同的时候，有三种情况：

情况一：删word1 $i - 1$ ，最少操作次数为dp $i - 1$ $j$ + 1

情况二：删word2 $j - 1$ ，最少操作次数为dp $i$ $j - 1$ + 1

情况三：同时删word1 $i - 1$ 和word2 $j - 1$ ，操作的最少次数为dp $i - 1$ $j - 1$ + 2

那最后当然是取最小值，所以当word1 $i - 1$ 与 word2 $j - 1$ 不相同的时候，递推公式：dp $i$ $j$ = min({dp $i - 1$ $j - 1$ + 2, dp $i - 1$ $j$ + 1, dp $i$ $j - 1$ + 1});

因为 dp $i$ $j - 1$ + 1 = dp $i - 1$ $j - 1$ + 2，所以递推公式可简化为：dp $i$ $j$ = min(dp $i - 1$ $j$ + 1, dp $i$ $j - 1$ + 1);

3 dp数组初始化

从递推公式中可以看出，dp $i$ $0$ 和 dp $0$ $j$ 是一定要初始化的。

dp $i$ $0$ ：word2为空字符串，以i-1为结尾的字符串word1要删除多少个元素，才能和word2相同呢，很明显dp $i$ $0$ = i。dp $0$ $j$ 的话同理。

4 遍历顺序

从上到下，从左到右

5 举例推导dp数组

java 复制代码

class Solution {
    public int minDistance(String word1, String word2) {
        int len1=word1.length();
        int len2=word2.length();
        int[][] dp=new int[len1+1][len2+1];

        for(int i=0;i<=len1;i++) dp[i][0]=i;
        for(int j=0;j<=len2;j++) dp[0][j]=j;

        for(int i=1;i<=len1;i++){
            for(int j=1;j<=len2;j++){
                if(word1.charAt(i-1)==word2.charAt(j-1)){
                    dp[i][j]=dp[i-1][j-1];
                }else{
                    dp[i][j]=Math.min(dp[i-1][j]+1,Math.min(dp[i][j-1]+1,dp[i-1][j-1]+2));
                }
            }
        }
        return dp[len1][len2];
    }
}

72编辑距离

题目：给你两个单词word1和word2，请返回将word1 转换成word2所使用的最少操作数。你可以对一个单词进行如下三种操作：插入一个字符，删除一个字符，替换一个字符。

示例 1：输入：word1 = "horse", word2 = "ros"，输出：3

解释：horse -> rorse (将 'h' 替换为 'r')

rorse -> rose (删除 'r')

rose -> ros (删除 'e')

链接：https://leetcode.cn/problems/edit-distance/

动规五部曲：
1 确定dp数组及其含义

dp $i$ $j$ 表示以下标i-1为结尾的字符串word1，和以下标j-1为结尾的字符串word2，最近编辑距离为dp $i$ $j$ 。

2 确定递归公式

两种情况：word1 $i - 1$ == word2 $j - 1$ 和 word1 $i - 1$ != word2 $j - 1$

if (word1 $i - 1$ == word2 $j - 1$ ) 那么说明不用任何编辑，dp $i$ $j$ 就应该是 dp $i - 1$ $j - 1$ ，即dp $i$ $j$ = dp $i - 1$ $j - 1$ ;

if (word1 $i - 1$ != word2 $j - 1$ )，就需要编辑了。

操作一：word1删除一个元素，那么就是以下标i - 2为结尾的word1 与 j-1为结尾的word2的最近编辑距离再加上一个操作。即 dp $i$ $j$ = dp $i - 1$ $j$ + 1;

操作二：word2删除一个元素，那么就是以下标i - 1为结尾的word1 与 j-2为结尾的word2的最近编辑距离再加上一个操作。即 dp $i$ $j$ = dp $i$ $j - 1$ + 1;

怎么都是删除元素，添加元素去哪了。word2添加一个元素，相当于word1删除一个元素，例如 word1 = "ad" ，word2 = "a"，word1删除元素'd' 和 word2添加一个元素'd'，变成word1="a", word2="ad"，最终的操作数是一样。

操作三：替换元素，word1替换word1 $i - 1$ ，使其与word2 $j - 1$ 相同，此时不用增删加元素。if (word1 $i - 1$ == word2 $j - 1$ )的时候我们的操作是 dp $i$ $j$ = dp $i - 1$ $j - 1$ 。那么只需要一次替换的操作，就可以让 word1 $i - 1$ 和 word2 $j - 1$ 相同。所以 dp $i$ $j$ = dp $i - 1$ $j - 1$ + 1;

综上，当 if (word1 $i - 1$ != word2 $j - 1$ ) 时取最小的，即：dp $i$ $j$ = min({dp $i - 1$ $j - 1$ , dp $i - 1$ $j$ , dp $i$ $j - 1$ }) + 1;

3 dp数组初始化

dp $i$ $j$ 表示以下标i-1为结尾的字符串word1，和以下标j-1为结尾的字符串word2，最近编辑距离为dp $i$ $j$ 。

那么dp $i$ $0$ ：以下标i-1为结尾的字符串word1，和空字符串word2，最近编辑距离为dp $i$ $0$ 。那么dp $i$ $0$ 就应该是i，对word1里的元素全部做删除操作，即：dp $i$ $0$ = i; 同理dp $0$ $j$ = j。

4 遍历顺序

从左到右从上到下去遍历
5 举例推导dp数组

java 复制代码

class Solution {
    public int minDistance(String word1, String word2) {
        int len1=word1.length();
        int len2=word2.length();
        int[][] dp=new int[len1+1][len2+1];

        for(int i=0;i<=len1;i++){
            dp[i][0]=i;
        }
        for(int j=0;j<=len2;j++){
            dp[0][j]=j;
        }

        for(int i=1;i<=len1;i++){
            for(int j=1;j<=len2;j++){
                if(word1.charAt(i-1)==word2.charAt(j-1)){
                    dp[i][j]=dp[i-1][j-1];
                }else{
                    dp[i][j]=Math.min(dp[i-1][j]+1,Math.min(dp[i][j-1]+1,dp[i-1][j-1]+1));
                }
            }
        }
        return dp[len1][len2];
    }
}

编辑距离总结

392判断子序列给定字符串 s 和 t ，判断 s 是否为 t 的子序列。

115不同的子序列给定一个字符串 s 和一个字符串 t ，计算在 s 的子序列中 t 出现的个数。

583两个字符串的删除操作给定两个单词 word1 和 word2，找到使得 word1 和 word2 相同所需的最少步数，每步可以删除任意一个字符串中的一个字符。

72编辑距离给你两个单词 word1 和 word2，请你计算出将 word1 转换成 word2 所使用的最少操作数。