文章目录
- 1、浮点数加减运算
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- 1.1、对阶（Alignment）
- 1.2、尾数加减
- 1.3、规格化（Normalization）
- 1.4、舍入（Rounding）
- 1.5、判断溢出
- [1.6 、参考视频](#1.6 、参考视频)
- 2、浮点数乘法运算
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- 2.1、乘法运算步骤
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- 2.1.1、符号位计算
- [2.1.2、 指数部分计算](#2.1.2、 指数部分计算)
- 2.1.3、尾数部分计算
- 2.2、参考视频推荐
- 3、浮点数除法运算
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- 3.1.1、符号位计算
- [3.1.2、 指数部分计算](#3.1.2、 指数部分计算)
- 3.1.3、尾数部分计算
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1、浮点数加减运算
1.1、对阶（Alignment）
目标：使两个数的指数相同，以便尾数直接相加。
方法：
1、比较两个数的指数，找出较小的指数。
2、将较小指数的数的尾数右移（相当于除以2的差值次方），同时增加其指数，直到两数指数相同。
3、右移过程中，低位丢弃可能导致精度损失（称为"右移丢失"）。
示例：
计算 1.0 × 2⁰ + 1.0 × 2⁻¹
指数差：0 - (-1) = 1
将 1.0 × 2⁻¹ 的尾数右移1位 → 0.1 × 2⁰
现在两数均为 1.0 × 2⁰ 和 0.1 × 2⁰。
1.2、尾数加减
根据符号位决定执行加法或减法：
1、同号相加：直接相加尾数。
2、异号相减：尾数相减，结果的符号由绝对值较大的数决定。
溢出处理：若尾数结果超出范围（如单精度>2.0或<1.0），需调整指数并重新归一化。
示例（续）：
1.0 × 2⁰ + 0.1 × 2⁰ = 1.1 × 2⁰（无溢出）。
1.3、规格化（Normalization）
目标：确保结果尾数在 [1.0, 2.0) 范围内（隐含位为1）。
方法1：
若尾数结果≥2.0，左移尾数1位，指数加1。
若尾数结果<1.0，右移尾数1位，指数减1（可能需多次调整）。
方法2：
左规：尾数第一数值与符号位相同，左移一位，阶码减一。
右规：尾数01.xxxx或10.xxxx，尾数溢出，右移一位，阶码加一。
示例：
若结果为 0.11 × 2¹（非规格化），需右移尾数1位 → 1.10 × 2⁰，指数减1。
1.4、舍入（Rounding）
由于尾数位数有限，需对多余位进行舍入。IEEE 754提供四种模式：
1、向偶数舍入（Round to Nearest Even）：默认模式，减少累积误差。
2、向零舍入（Truncate）：直接截断低位。
3、向上舍入（Round Up）：向正无穷方向舍入。
4、向下舍入（Round Down）：向负无穷方向舍入。
示例：
若尾数结果为 1.01011（单精度需保留23位），第24位为1，且后续有非零位，则根据模式决定是否进位。
1.5、判断溢出
检查指数是否超出范围：
1、上溢：指数超过最大值（如单精度127），结果设为无穷大（±∞）。
阶码[j] 补 = 01，xxxx为上溢。
2、下溢：指数小于最小值（如单精度-126），结果设为0或非规格化数（Denormalized）。
阶码[j] 补 = 10，xxxx为下溢，按机器零处理。
1.6 、参考视频
实际考试中如何计算，参考以下视频：
浮点运算（浮点数加减运算）计算机组成原理（看了包会）
浮点数加减运算规格化（右规情况），阶码为负，溢出判断（计算机组成原理）
2、浮点数乘法运算
以下计算过程根据以下推导式设计：
2.1、乘法运算步骤
2.1.1、符号位计算
规则：两数符号位异或（XOR）。
正 × 正 = 正（符号位 0）
负 × 负 = 正（符号位 0）
正 × 负 = 负（符号位 1）
2.1.2、 指数部分计算
规则：两数指数相加，再减去偏移量（单精度 127，双精度 1023）。
若结果指数超出范围（如单精度指数 > 254 或 < 1），需处理溢出或下溢。
示例：
1.5（指数 0） × 2.0（指数 1）：
新指数 = 0+1−127=−126（存储为 −126+127=1）。
2.1.3、尾数部分计算
规则：两数尾数（含隐含的 1）相乘，结果需规格化：
1、相乘：将两数尾数（视为整数）相乘，得到一个新尾数。
2、规格化：
若结果 ≥ 2：右移 1 位，指数 +1。
若结果 < 1：左移若干位，指数 -相应值。
3、舍入：根据 IEEE 754 的舍入模式（如"就近舍入到偶数"）处理多余位数。
示例：
1.5（尾数 1.1） × 2.0（尾数 1.0）：尾数相乘：1.1 × 1.0 = 1.1（无需规格化）。结合指数调整后，结果为 3.0（二进制 1.1 × 2^1）。
2.2、参考视频推荐
3、浮点数除法运算
以下计算过程根据以下推导式设计：
3.1.1、符号位计算
规则：两数符号位异或（XOR）。
正 × 正 = 正（符号位 0）
负 × 负 = 正（符号位 0）
正 × 负 = 负（符号位 1）
3.1.2、 指数部分计算
规则：被除数指数减去除数指数，再调整偏移量。
若结果指数超出范围（如单精度指数 > 254 或 < 1），需处理溢出或下溢。
数学表示：
示例：
3.1.3、尾数部分计算
规则：被除数尾数（含隐含的 1）除以除数尾数，结果需规格化：
1、相除：将两数尾数（视为整数）相除，得到商和余数。
2、规格化：
3、舍入：根据 IEEE 754 的舍入模式（如"就近舍入到偶数"）处理多余位数。
示例：
