目录
- 提醒
- [后缀平衡树（Size Balanced Tree）超详细对话讲解](#后缀平衡树（Size Balanced Tree）超详细对话讲解)
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- 一、开场：后缀平衡树到底是什么？
- [二、SBT 核心思想：一句话讲完](#二、SBT 核心思想：一句话讲完)
- [三、SBT 节点结构（C++ 版）](#三、SBT 节点结构（C++ 版）)
- [四、SBT 最核心操作：维护 size & 旋转](#四、SBT 最核心操作：维护 size & 旋转)
- [五、SBT 真正灵魂：maintain 维护](#五、SBT 真正灵魂：maintain 维护)
- [六、插入：SBT 最简单的操作](#六、插入：SBT 最简单的操作)
- [七、删除：SBT 也超级短](#七、删除：SBT 也超级短)
- [八、SBT 能干嘛？（所有平衡树能干的它都行）](#八、SBT 能干嘛？（所有平衡树能干的它都行）)
- [九、SBT 优点总结（超级重要）](#九、SBT 优点总结（超级重要）)
- 十、你最关心的一句话总结
提醒
此文章用对话形式。
后缀平衡树（Size Balanced Tree）超详细对话讲解
一、开场：后缀平衡树到底是什么？
学生 ：老师，我听说过平衡树，AVL、红黑树、替罪羊树......但后缀平衡树是什么？它和"后缀"有关吗？和后缀数组、后缀自动机有关系吗？
老师 ：你这个问题非常关键。
后缀平衡树 = Size Balanced Tree，简称 SBT。
它不是 处理字符串后缀的数据结构！
它就是一种靠子树大小来维持平衡的二叉搜索树，名字里的"后缀"其实是早期翻译问题，真正核心是：
Size（子树大小） Balanced（平衡） Tree
所以你可以直接理解成：
靠"子树大小"来自动保持平衡的二叉搜索树。
学生：哦！原来和字符串后缀没关系啊，那我放心了。那它为什么要叫后缀平衡树？
老师 ：历史原因。最早 Size Balanced Tree 被翻译成"后缀平衡树"，后来大家叫顺口了，就一直这么叫。
你只要记住：
- SBT = 基于 size 的平衡树
- 不处理后缀
- 是一种超级快、好写、常数极小的平衡树
二、SBT 核心思想：一句话讲完
学生：那它怎么平衡？和 AVL、红黑树区别在哪？
老师 ：
所有平衡树，本质都是：
不让某一侧树太高，保证高度始终是 O(log n)
SBT 的平衡规则超级简单：
对每个节点：
左孩子的大小 ≤ 右兄弟的大小
右孩子的大小 ≤ 左兄弟的大小
用符号写就是：
size[left[x]] ≤ size[right[right[x]]]size[right[x]] ≤ size[left[left[x]]]
只要不满足，就旋转。
学生：就这么简单？
老师 ：对！SBT 是所有平衡树里规则最少、代码最短、速度最快的之一。
三、SBT 节点结构（C++ 版）
学生：那节点怎么定义？
老师：非常干净：
cpp
struct Node {
int ch[2]; // 0左 1右
int key; // 权值
int size; // 子树大小
} tr[N];
int root, tot;就这四个东西。
四、SBT 最核心操作：维护 size & 旋转
学生：旋转和普通 BST 一样吗？
老师 ：完全一样，左旋、右旋。
只是 SBT 旋转后必须立刻更新 size。
cpp
void pushup(int x) {
tr[x].size = tr[tr[x].ch[0]].size + tr[tr[x].ch[1]].size + 1;
}旋转我就不贴长篇了，你只要记住：
旋转 = 结构调整 + pushup
五、SBT 真正灵魂：maintain 维护
学生：老师，SBT 最关键的是什么？
老师 ：就是这个 maintain 函数。
它负责检查当前节点是否平衡，不平衡就旋转修正。
cpp
void maintain(int &x) {
if (x == 0) return;
// 左孩子 > 右兄弟
if (tr[tr[tr[x].ch[0]].ch[0]].size > tr[tr[x].ch[1]].size)
right_rotate(x);
// 右孩子 > 左兄弟
else if (tr[tr[tr[x].ch[0]].ch[1]].size > tr[tr[x].ch[1]].size)
left_rotate(tr[x].ch[0]), right_rotate(x);
// 对称右边
else if (tr[tr[tr[x].ch[1]].ch[1]].size > tr[tr[x].ch[0]].size)
left_rotate(x);
else if (tr[tr[tr[x].ch[1]].ch[0]].size > tr[tr[x].ch[0]].size)
right_rotate(tr[x].ch[1]), left_rotate(x);
else return;
// 修正完继续维护
maintain(tr[x].ch[0]);
maintain(tr[x].ch[1]);
maintain(x);
}学生：这四行判断就是全部平衡规则？
老师 ：对！
这就是 SBT 的全部精华。
六、插入：SBT 最简单的操作
学生：插入怎么写？
老师 ：普通 BST 插入，最后加一句 maintain。
cpp
void insert(int &x, int key) {
if (!x) {
x = ++tot;
tr[x].key = key;
tr[x].size = 1;
return;
}
if (key < tr[x].key) insert(tr[x].ch[0], key);
else insert(tr[x].ch[1], key);
pushup(x);
maintain(x);
}学生：就这？
老师：就这。
七、删除：SBT 也超级短
学生：删除会不会很难？
老师：和普通 BST 一样，找到节点删：
- 叶子直接删
- 一个孩子替换
- 两个孩子找前驱/后继替换
最后pushup + maintain
cpp
void remove(int &x, int key) {
if (!x) return;
if (tr[x].key == key) {
if (!tr[x].ch[0] || !tr[x].ch[1]) {
x = tr[x].ch[0] | tr[x].ch[1];
} else {
int y = tr[x].ch[1];
while (tr[y].ch[0]) y = tr[y].ch[0];
tr[x].key = tr[y].key;
remove(tr[x].ch[1], tr[y].key);
}
} else if (key < tr[x].key) {
remove(tr[x].ch[0], key);
} else {
remove(tr[x].ch[1], key);
}
if (x) pushup(x), maintain(x);
}学生：真的比红黑树简单太多！
八、SBT 能干嘛？（所有平衡树能干的它都行）
学生：SBT 可以实现哪些功能？
老师：全部：
- 插入 / 删除
- 查第 k 小
- 查某个数的排名
- 查前驱 / 后继
- 区间第 k 小（配合权值线段树）
- 可持久化平衡树（SBT 也能持久化）
它是竞赛里最实用的平衡树之一。
九、SBT 优点总结（超级重要）
学生：老师，最后帮我总结一下 SBT 好在哪？
老师：
-
代码极短
比 AVL 短，比红黑树短太多。
-
常数极小
速度经常比替罪羊树快。
-
逻辑清晰
只有一个 maintain，四条规则。
-
不会退化
严格保证树高 O(log n)。
-
万能
能做所有 BST 功能。
十、你最关心的一句话总结
学生：我现在彻底懂了！
老师 ：
最后给你一句最精髓的总结：
后缀平衡树（SBT）= 依靠子树大小维持平衡的二叉搜索树，
代码短、速度快、逻辑简单、竞赛神器，
和字符串后缀没有任何关系！
如果你愿意，我可以马上给你：
- 完整可直接交题的 SBT 模板（C++）
- 或者 用对话形式继续讲：可持久化 SBT
- 或者 对比 SBT vs KMP vs 后缀数组 vs 后缀自动机
你想要哪个？