AVL树的实现

一.AVL树的概念与结构

1.AVL树的概念

1.1.为什么用AVL树

原因：普通的二叉搜索树（BST）在插入有序数据（如 1， 2， 3， 4， 5）时，会变成一个只有右孩子的长链，此时二叉搜索树 的查找效率就从O(log N)退化到O(N)，但是AVL 树：通过旋转机制，强制保证左右子树高度差不超过 1，使得树高始终维持在O(log N)。

1.2.AVL树的概念

概念： AVL是⼀颗空树，或者具备下列性质的⼆叉搜索树：它的左右⼦树都是AVL树，且左右⼦树的高度差（平衡因子）的绝对值不超过1。

例如：

注意：上面的每一个数上的数字就是平衡因子

特点： AVL树实现这⾥我们引⼊⼀个平衡因⼦(balancefactor)的概念，每个结点都有⼀个平衡因⼦，任何结点的平衡因子等于右⼦树的高度减去左子树的高度，也就是说任何结点的平衡因⼦等于0/1/-1， AVL树并不是必须要平衡因⼦，但是有了平衡因⼦可以更⽅便我们去进⾏观察和控制树是否平衡， 就像⼀个⻛向标⼀样。

问：为什么AVL树是高度平衡搜索⼆叉树，要求高度差不超过1，⽽不是高度差是0呢？0不是更好的平衡吗？

原因：0不是更好的平衡吗？画画图分析我们发现，不是不想这样设计，而是有些情况是做不到高度差是0的，比如⼀棵树是2个结点，4个结点等情况下，高度差最好就是1，无法做到高度差是0。

效率：AVL树整体结点数量和分布和完全二叉树类似，高度可以控制在 ，那么增删查改的效率也可 以控制在O(logN) ，相比二叉搜索树有了本质的提升。

但是如果树长成这样，就不是AVL树，此时就需要通过旋转使其变成AVL树。

2.AVL树的结构

首先我们定义两个文件，一个为AVLTree.h，另一个为AVL_Test.cpp

在AVLTree.h中，我们先实现每一个节点，例如：

#include<iostream>
#include<assert.h>
#include<vector>
using namespace std;
template<class K,class V>
struct AVLTNode
{
	pair<K, V> _kv;
	AVLTNode<K, V>* _left;
	AVLTNode<K, V>* _right;
	//parent指针用于后续更新平衡因子
	AVLTNode<K, V>* _parent;
	int _bf;
	//构造函数
	AVLTNode(const pair<K,V>& kv)
		:_kv(kv)
		,_left(nullptr)
		,_right(nullptr)
		,_parent(nullptr)
		,_bf(0)
		{}
};

解释：其中的pair<K, V> _kv;不需要我们去实现，AVLTNode<K, V>* _left;AVLTNode<K, V>* _right;与搜索二叉树类似，AVLTNode<K, V>* _parent;中的parent指针用于后续更新平衡因子

_bf用于记录平衡因子

template<class K, class V>
class AVLTree
{
        typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
public:
        //...
private:
    Node* _root = nullptr;
};

这个就为树的大框架

二.AVL树的插入（难点）

1.插入大概过程

1.1.过程

<1>. 插入⼀个值按⼆叉搜索树规则进行插⼊。

<2>. 新增结点以后，只会影响祖先结点的高度，也就是可能会影响部分祖先结点的平衡因子，所以更新 从新增结点->根结点路径上的平衡因子，实际中最坏情况下要更新到根，有些情况更新到中间就可以停止了，具体情况我们下面再详细分析。

<3>. 更新平衡因子过程中没有出现问题，则插入结束。

<4>. 更新平衡因子过程中出现不平衡，对不平衡子树旋转，旋转后本质调平衡的同时，本质降低了子树 的高度，不会再影响上⼀层，所以插入结束。

1.2.平衡因子更新

1.2.1.更新原则：

• 平衡因子=左子树高度-左子树高度（也可以左子树高度-右子树高度，取决于自己）。

• 只有子树高度变化才会影响当前结点平衡因子。

• 插⼊结点，会增加高度，所以新增结点在parent的右子树，parent的平衡因子++，新增结点在 parent的左子树，parent平衡因子--

• parent所在子树的高度是否变化决定了是否会继续往上更新。

1.2.2.更新停止条件：

• 更新后parent的平衡因子等于0，说明更新中parent的平衡因子变化为-1->0或者1->0，说明更新前 parent子树⼀边高⼀边低，新增的结点插入在低的那边，插入后parent所在的子树高度不变，不会影响parent的父亲结点的平衡因子，更新结束。

例如： 3为根的子树高度不变，不会影响上⼀层，更新结束

• 更新后parent的平衡因子等于1或-1，更新前更新中parent的平衡因子变化为0->1或者0->-1，说 明更新前parent子树两边⼀样高，新增的插⼊结点后，parent所在的子树⼀边高⼀边低，parent所 在的子树符合平衡要求，但是高度增加了1，会影响parent的父亲结点的平衡因⼦，所以要继续向上更新。

例如：1为根的子树高度改变，影响上⼀层，更新继续，使cur=parent，parent=parent->_parent

• 更新后parent的平衡因⼦等于2或-2，更新前更新中parent的平衡因⼦变化为1->2或者-1->-2，说 明更新前parent子树⼀边高⼀边低，新增的插入结点在高的那边，parent所在的子树高的那边更高了，破坏了平衡，parent所在的子树不符合平衡要求，需要旋转处理，旋转的目标有两个：1、把 parent子树旋转平衡。2、降低parent⼦树的高度，恢复到插⼊结点以前的高度。所以旋转后也不 需要继续往上更新，插入结束。

例如：更新到10结点，平衡因子为2，10所在的子树已经不平衡，需要旋转处理

• 不断更新，更新到根，根的平衡因子是1或-1也停止了。

例如：

那么插入的代码就可以这样写：

bool Insert(const pair<K, V>& kv)
{
	if (_root == nullptr)
	{
		_root = new Node(kv);
		return true;
	}

	Node* parent = nullptr;
	Node* cur = _root;
	while (cur)
	{
		if (cur->_kv.first < kv.first)
		{
			parent = cur;
			cur = cur->_right;
		}
		else if (cur->_kv.first > kv.first)
		{
			parent = cur;
			cur = cur->_left;
		}
		else
		{
			return false;
		}
	}
	cur = new Node(kv);
	if (parent->_kv.first < kv.first)
	{
		parent->_right = cur;
	}
	else
	{
		parent->_left = cur;
	}
	cur->_parent = parent;

	while (parent)
	{
        //更新平衡因子
		if (parent->_left == cur)
		{
			parent->_bf--;
		}
		else
		{
			parent->_bf++;
		}
        //查找更新平衡因子后，要旋转的节点
		if (parent->_bf == 0)
		{
			break;
		}
		else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
		{
			cur = parent;
			parent = parent->_parent;
		}
		else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
		{
			if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)
			{
				Rotate_Right(parent);
			}
			else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)
			{
				Rotate_Left(parent);
			}
			else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1)
			{
				Rotate_Left_Right(parent);
			}
			else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1)
			{
				Rotate_Right_Left(parent);
			}
			else 
			{
				assert(false);
			}
			break;
		}
		else
		{
			assert(false);
		}
	}
	return true;
}

解释：其实前面的代码就是寻找要插入节点的地方，没有找到，就返回false，找到了，就插入节点，而cur->_parent = parent;就用于指向cur自己的父亲节点，然后在parent循环中，先更新平衡因子，再判断更新后的平衡因子是否满足更新停止条件，满足停止条件就停止更新，不满足停止条件就继续向上更新，如果遇到parent->_bf的绝对值大于1，就需要旋转（Rotate）。

2.旋转

规则：

<1>. 保持搜索树的规则

<2>. 让旋转的树从不满足变平衡，其次降低旋转树的高度

旋转总共分为四种，左单旋/右单旋/左右双旋/右左双旋。

注意：下面的图中，有些结点我们给的是具体值，如10和5等结点，这里是为了方便讲解，实际中是什 么值都可以，只要大小关系符合搜索树的性质即可。

2.1.右单旋

• 本图1展示的是10为根的树，有a/b/c抽象为三棵高度为h的子树(h>=0)，a/b/c均符合AVL树的要 求。10可能是整棵树的根，也可能是⼀个整棵树中局部的子树的根。这里a/b/c是高度为h的⼦树， 是⼀种概括抽象表示，他代表了所有右单旋的场景，实际右单旋形态有很多种，具体图2/图3/图4/ 图5进⾏了详细描述。

• 在a子树中插入⼀个新结点，导致a子树的高度从h变成h+1，不断向上更新平衡因⼦，导致10的平衡因子从-1变成-2，10为根的树左右高度差超过1，违反平衡规则。10为根的树左边太高了，需要 往右边旋转，控制两棵树的平衡。

• 旋转核心步骤，因为5<b子树的值<10，为将b变成10的左子树，10变成5的右子树，5变成这棵树新 的根，符合搜索树的规则，控制了平衡，同时这棵的高度恢复到了插入之前的h+2，符合旋转原 则。如果插入之前10整棵树的⼀个局部子树，旋转后不会再影响上一层，插入结束了。

例如：这个抽象例子

解释：在这个图中，a,b,c的高度必须存在且相等，如果b的高度比a小1，就会导致在a处插入时，5的平衡因子变为-2，那么要旋转的就不是10这个节点，如果c的高度比a和b小1，就会导致插入前就不满足AVL树，所以也不满足插入条件，满足a,b,c的高度必须存在（高度>=0）且相等后，我们在5（parent）的右边a插入一个节点，会导致5的平衡因子由0->-1,parent向上更新，此时10这个parent平衡因子变为-2，那么我们就进行对10进行右单旋，降低10的高度，就可以将高度为h+1的a给subL，subLR变为parent的左边，此时subL与parent的左右两边高度均相等，平衡因子也就变为了0。

具体的例子：

我们可以通过以上的例子，了解右单旋的抽象实例。

代码：

void Rotate_Right(Node* parent)
{
	Node* subL = parent->_left;
	Node* subLR = subL->_right;
	Node* Pparent = parent->_parent;

	subL->_right = parent;
	parent->_left = subLR;
	parent->_parent = subL;
	if (subLR)
	{
		subLR->_parent = parent;
	}

	//parent为根节点的情况
	if (_root == parent)
	{
		_root = subL;
		subL->_parent = nullptr;
	}
	else
	{
		if (Pparent->_left == parent)
		{
			Pparent->_left = subL;
		}
		//Pparent->_right == parent
		else
		{
			Pparent->_right = subL;
		}
		subL->_parent = Pparent;
	}

	//更新平衡因子
	subL->_bf = parent->_bf = 0;
}

解释：我们先定义subL与subLR，分别为parent的左边，subL的右边，我们不光要要改变subL的右指向parent，parent的左指向subLR，还要考虑subLR不为nullptr时，使subLR的_parent指向parent，parent的_parent指向subL，而且还要考虑parent为_root时，改变_root与subL的parent，以及parent不为_root时，记录一个Pparent为parent的父亲节点，使PParent的左边/右边指向subL，subL的_parent指向Pparent，最后改变subL->_bf 与 parent->_bf 的平衡因子。

2.2.左单旋

本图6展示的是10为根的树，有a/b/c抽象为三棵高度为h的子树（h>=0），a/b/c均符合AVL树的要求。10可能是整棵树的根，也可能是⼀个整棵树中局部的⼦树的根。这⾥a/b/c是⾼度为h的⼦树， 是⼀种概括抽象表⽰，他代表了所有右单旋的场景，实际右单旋形态有很多种，具体跟上⾯左旋类 似。

• 在a子树中插入一个新结点，导致a子树的高度从h变成h+1，不断向上更新平衡因子，导致10的平衡因子从1变成2,10为根的树左右高度差超过1，违反平衡规则。10为根的树右边太⾼了，需要往 左边旋转，控制两棵树的平衡。

• 旋转核⼼步骤，因为10<b子树的值<15，将b变成10的右⼦树，10变成15的左⼦树，15变成这棵 树新的根，符合搜索树的规则，控制了平衡，同时这棵的⾼度恢复到了插⼊之前的h+2，符合旋转 原则。如果插⼊之前10整棵树的⼀个局部⼦树，旋转后不会再影响上⼀层，插⼊结束了。

例如：

代码：

void Rotate_Left(Node* parent)
{
	Node* subR = parent->_right;
	Node* subRL = subR->_left;
	Node* Pparent = parent->_parent;

	subR->_left = parent;
	parent->_right = subRL;
	parent->_parent = subR;
	if (subRL)
	{
		subRL->_parent = parent;
	}
	if (parent == _root)
	{
		_root = subR;
		subR->_parent = nullptr;
	}
	else
	{
		if (Pparent->_left == parent)
		{
			Pparent->_left = subR;
		}
		//Pparent->_right == parent
		else
		{
			Pparent->_right = subR;
		}
		subR->_parent = Pparent;
	}

	//更新平衡因子
	subR->_bf = parent->_bf = 0;
}

2.3.左右双旋

通过图1和图2可以看到，左边⾼时，如果插⼊位置不是在a⼦树，⽽是插⼊在b⼦树，b⼦树⾼度从h变 成h+1，引发旋转，右单旋⽆法解决问题，右单旋后，我们的树依旧不平衡。右单旋解决的纯粹的左边 ⾼，但是插⼊在b⼦树中，10为跟的⼦树不再是单纯的左边⾼，对于10是左边⾼，但是对于5是右边 ⾼，需要⽤两次旋转才能解决，以5为旋转点进⾏⼀个左单旋，以10为旋转点进⾏⼀个右单旋，这棵树 这棵树就平衡了。

如图1：

如图2：

• 图1和图2分别为左右双旋中h==0和h==1具体场景分析，下⾯我们将a/b/c⼦树抽象为⾼度h的AVL ⼦树进⾏分析，另外我们需要把b⼦树的细节进⼀步展开为8和左⼦树⾼度为h-1的e和f⼦树，因为 我们要对b的⽗亲5为旋转点进⾏左单旋，左单旋需要动b树中的左⼦树。b⼦树中新增结点的位置 不同，平衡因⼦更新的细节也不同，通过观察8的平衡因⼦不同，这⾥我们要分三个场景讨论。

• 场景1：h>=1时，新增结点插⼊在e⼦树，e⼦树⾼度从h-1并为h并不断更新8->5->10平衡因⼦， 引发旋转，其中8的平衡因⼦为-1，旋转后8和5平衡因⼦为0，10平衡因⼦为1。

• 场景2：h>=1时，新增结点插⼊在f⼦树，f⼦树⾼度从h-1变为h并不断更新8->5->10平衡因⼦，引 发旋转，其中8的平衡因⼦为1，旋转后8和10平衡因⼦为0，5平衡因⼦为-1。

• 场景3：h==0时，a/b/c都是空树，b⾃⼰就是⼀个新增结点，不断更新5->10平衡因⼦，引发旋 转，其中8的平衡因⼦为0，旋转后8和10和5平衡因⼦均为0。

代码：

void Rotate_Left_Right(Node* parent)
{
	Node* subL = parent->_left;
	Node* subLR = subL->_right;
	int bf = subLR->_bf;

	Rotate_Left(parent->_left);
	Rotate_Right(parent);
	if (bf == 0)
	{
		parent->_bf = 0;
		subL->_bf = 0;
		subLR->_bf = 0;
	}
	else if (bf == -1)
	{
		parent->_bf = 1;
		subL->_bf = 0;
		subLR->_bf = 0;
	}
	else if (bf == 1)
	{
		parent->_bf = 0;
		subL->_bf = -1;
		subLR->_bf = 0;
	}
	else 
	{
		assert(false);
	}
}

2.4.右左双旋

• 跟左右双旋类似，下⾯我们将a/b/c⼦树抽象为⾼度h的AVL⼦树进⾏分析，另外我们需要把b⼦树的 细节进⼀步展开为12和左⼦树⾼度为h-1的e和f⼦树，因为我们要对b的⽗亲15为旋转点进⾏右单 旋，右单旋需要动b树中的右⼦树。b⼦树中新增结点的位置不同，平衡因⼦更新的细节也不同，通 过观察12的平衡因⼦不同，这⾥我们要分三个场景讨论。

• 场景1：h>=1时，新增结点插⼊在e⼦树，e⼦树⾼度从h-1变为h并不断更新12->15->10平衡因 ⼦，引发旋转，其中12的平衡因⼦为-1，旋转后10和12平衡因⼦为0，15平衡因⼦为1。

• 场景2：h>=1时，新增结点插⼊在f⼦树，f⼦树⾼度从h-1变为h并不断更新12->15->10平衡因⼦， 引发旋转，其中12的平衡因⼦为1，旋转后15和12平衡因⼦为0，10平衡因⼦为-1。

• 场景3：h==0时，a/b/c都是空树，b⾃⼰就是⼀个新增结点，不断更新15->10平衡因⼦，引发旋 转，其中12的平衡因⼦为0，旋转后10和12和15平衡因⼦均为0。

如图：

代码：

void Rotate_Right_Left(Node* parent)
{
	Node* subR = parent->_right;
	Node* subRL = subR->_left;
	int bf = subRL->_bf;

	Rotate_Right(parent->_right);
	Rotate_Left(parent);
	if (bf == 0)
	{
		parent->_bf = 0;
		subR->_bf = 0;
		subRL->_bf = 0;
	}
	else if (bf == 1)
	{
		parent->_bf = -1;
		subR->_bf = 0;
		subRL->_bf = 0;
	}
	else if (bf == -1)
	{
		parent->_bf = 0;
		subR->_bf = 1;
		subRL->_bf = 0;
	}
	else
	{
		assert(false);
	}
}

三.其他接口实现

1.中序遍历

代码：

void InOrder()
{
	_InOrder(_root);
}
void _InOrder(Node* root)
{
	if (root == nullptr)
	{
		return;
	}
	_InOrder(root->_left);
	cout << root->_kv.first << ":" << root->_kv.second << endl;
	_InOrder(root->_right);
}

2.查找值为key接口

代码：

Node* Find(const K& key)
{
	return _Find(key);
}
Node* _Find(const K& key)
{
	Node* cur = _root;
	while (cur)
	{
		if (cur->_kv.first < key)
		{
			cur = cur->_right;
		}
		else if (cur->_kv.first > key)
		{
			cur = cur->_left;
		}
		else
		{
			return cur;
		}
	}
	return nullptr;
}

3.计算树的容量

代码：

int Size()
{
	return _Size(_root);
}
int _Size(Node* root)
{
	if (root == nullptr)
	{
		return 0;
	}
	return _Size(root->_left) + _Size(root->_right) + 1;
}

4.计算树的高度

代码：

int Height()
{
	return _Height(_root);
}
int _Height(Node* root)
{
	if (root == nullptr)
	{
		return 0;
	}
	int Height_Left = _Height(root->_left);
	int Height_Right = _Height(root->_right);
	return Height_Left > Height_Right ? Height_Left + 1 : Height_Right + 1;
}

5.检查是否为AVL树

代码：

bool IsBalanceTree()
{
	return _IsBalanceTree(_root);
}
bool _IsBalanceTree(Node* root)
{
	if (root == nullptr)
	{
		return true;
	}
	int Height_Left = _Height(root->_left);
	int Height_Right = _Height(root->_right);
	int diff = Height_Right - Height_Left;

	if (abs(diff) >= 2)
	{
		cout << root->_kv.first <<":" << "高度差异常" << endl;
		return false;
	}
	if (root->_bf != diff)
	{
		cout << root->_kv.first << ":" << "平衡因子异常" << endl;
		return false;
	}
	return _IsBalanceTree(root->_left) && _IsBalanceTree(root->_right);
}

6.析构函数

代码：

~AVLTree()
{
	_Destroy(_root);
	_root = nullptr;
}
void _Destroy(Node* root)
{
	if (root == nullptr)
	{
		return;
	}
	_Destroy(root->_left);
	_Destroy(root->_right);
	delete root;
	root = nullptr;
}

注意：其他接口实现时，实现代码应改放在private,否则可能会因为调用接口时，调用了含有_root的接口，因为_root为private而报错。

四.AVL树的测试

代码：

#include"AVLTree.h"
void TestAVLTree1()
{
    kong_AVLTree::AVLTree<int, int> t;
    // 常规的测试⽤例
    //int a[] = { 16, 3, 7, 11, 9, 26, 18, 14, 15 };
    //特殊的带有双旋场景的测试⽤例
    int a[] = { 4, 2, 6, 1, 3, 5, 15, 7, 16, 14 };
    for (auto e : a)
    {
        t.Insert({ e, e });
    }
    t.InOrder();
    cout << t.IsBalanceTree() << endl;
}
void TestAVLTree2()
{
    const int N = 100000;
    vector<int> v;
    v.reserve(N);
    srand(time(0));
    for (size_t i = 0; i < N; i++)
    {
        v.push_back(rand() + i);
    }
    size_t begin2 = clock();
    kong_AVLTree::AVLTree<int, int> t;
    for (auto e : v)
    {
        t.Insert(make_pair(e, e));
    }
    size_t end2 = clock();
    cout << "Insert:" << end2 - begin2 << endl;
    cout << "Height:" << t.Height() << endl;
    cout << "Size:" << t.Size() << endl;
    size_t begin1 = clock();
    // 确定在的值

   /*for (auto e : v)
   {
      t.Find(e);
    }*/
    // 随机值
    for (size_t i = 0; i < N; i++)
    {
        t.Find((rand() + i));
    }
    size_t end1 = clock();
    cout << "Find:" << end1 - begin1 << endl; 
    cout << "是否为平衡树:";
    cout << t.IsBalanceTree() << endl;
}
int main()
{
    TestAVLTree1();
    TestAVLTree2();
	return 0;
}

我们可以通过这个代码测试这个树是否为AVL树，以及测试AVL树的效率。