整除
定义：
当 amod b=0a \mod b = 0amodb=0 且 b≠0b \ne 0b=0，即存在一个整数 qqq 使得 b×q=ab \times q = ab×q=a，记作 b∣ab | ab∣a。
举例：6mod 3=06 \mod 3 = 06mod3=0，记作 3∣63 | 63∣6。
性质：
性质一
当 a∣b,b∣ca | b,b | ca∣b,b∣c 时 a∣ca | ca∣c。
即 cmod b=0,bmod a=0c \mod b = 0,b \mod a = 0cmodb=0,bmoda=0 时 cmod a=0c \mod a = 0cmoda=0。
证明：
若假设:
b=a×q1c=b×q2b=a \times q_1\\c=b \times q_2b=a×q1c=b×q2
设：
q=q1×q2q = q_1 \times q_2q=q1×q2
则：
c=a×q1×q2=a×qc=a \times q_1 \times q_2 = a \times qc=a×q1×q2=a×q
符合整除特征：
b×q=ab \times q = ab×q=a
例子：2∣4,4∣162 | 4,4 |162∣4,4∣16 时 2∣162 | 162∣16。
性质二
a∣b,a∣ca | b,a | ca∣b,a∣c,则 a∣(b±c)a | (b \pm c)a∣(b±c)。
即 bmod a=0,cmod a=0b \mod a = 0,c \mod a = 0bmoda=0,cmoda=0 时 (b±c)mod a=0(b \pm c) \mod a = 0(b±c)moda=0。
证明：
若假设：
b=a×q1,c=a×q2b = a \times q_1,c = a \times q_2b=a×q1,c=a×q2
设：
q=q1±q2q = q_1 \pm q_2q=q1±q2
则：
b±c=a×q1±a×q2=a×(q1±q2)=a×qb \pm c = a \times q_1 \pm a \times q_2 = a \times (q_1 \pm q_2) = a \times qb±c=a×q1±a×q2=a×(q1±q2)=a×q
符合整除特征：
b×q=ab \times q = ab×q=a
例子：2∣4,4∣162 | 4,4 | 162∣4,4∣16 时 2∣(4±16)2 | (4 \pm 16)2∣(4±16)。
性质三
a∣b,b∣aa | b,b | aa∣b,b∣a，则 ∣a∣=∣b∣|a| = |b|∣a∣=∣b∣。
即 bmod a=0,amod b=0b \mod a = 0,a \mod b = 0bmoda=0,amodb=0 时 ∣a∣=∣b∣|a| = |b|∣a∣=∣b∣。
证明：
假设所有 a,ba,ba,b 满足 a<b,∣a∣≠∣b∣a < b,|a| \ne |b|a<b,∣a∣=∣b∣，则 a÷b<0a \div b < 0a÷b<0，而 b÷a>0b \div a > 0b÷a>0，一大一小，推出矛盾。
假设所有 a,ba,ba,b 满足 a>b,∣a∣≠∣b∣a > b,|a| \ne |b|a>b,∣a∣=∣b∣，则 a÷b>0a \div b > 0a÷b>0，而 b÷a<0b \div a < 0b÷a<0，一大一小，推出矛盾。
使用反证法证明当 a∣b,b∣aa | b,b | aa∣b,b∣a 时 ∣a∣=∣b∣|a| = |b|∣a∣=∣b∣。
例子：2∣2,2∣22 | 2,2 | 22∣2,2∣2 时 ∣2∣=∣2∣|2| = |2|∣2∣=∣2∣。
性质四
a∣b,a∣c⇔∀x,y∈Z,a∣(b×x+c×y)a | b,a | c \Leftrightarrow \forall x,y \in\mathbb{Z},a | (b \times x + c \times y)a∣b,a∣c⇔∀x,y∈Z,a∣(b×x+c×y)
证明：
若假设：
b=a×q1,c=a×q2b = a \times q_1,c = a \times q_2b=a×q1,c=a×q2
设：
q=q1×x+q2×yq = q_1 \times x + q_2 \times yq=q1×x+q2×y
则：
b×x+c×y=a×q1×x+a×q2×y=a×(q1×x+q2×y)=a×qb \times x + c \times y = a \times q_1 \times x + a \times q_2 \times y = a \times (q_1 \times x + q_2 \times y) = a \times qb×x+c×y=a×q1×x+a×q2×y=a×(q1×x+q2×y)=a×q
符合整除特征：
b×q=ab \times q = ab×q=a
整除可理解为除法，一些性质与除法紧密相连，例如：
(a×c)÷(b×c)=a÷b(a \times c) \div (b \times c) = a \div b(a×c)÷(b×c)=a÷b。
即在确保范围的情况下：
amod b=(a×c)mod b=amod (b×c)=(a×c)mod (b×c)a \mod b = (a \times c) \mod b = a \mod (b \times c) = (a \times c) \mod (b \times c)amodb=(a×c)modb=amod(b×c)=(a×c)mod(b×c)