TensorFlow - 构建计算图

摘要：本文介绍了使用TensorFlow构建偏微分方程（PDE）计算图的方法。通过模拟500×500尺寸池塘中雨滴产生的波纹扩散过程，展示了如何将PDE离散化为计算图。具体步骤包括：导入必要库、定义卷积运算函数、设置初始条件（随机雨滴位置），以及建立基于拉普拉斯算子的PDE更新规则。仿真过程通过1000次迭代，每500步可视化一次波纹扩散状态，实现了对二维波动方程的数值求解。该方法结合了TensorFlow的计算图特性和PDE的数值解法，为类似物理现象的模拟提供了可行方案。

[TensorFlow - 构建计算图](#TensorFlow - 构建计算图)

[步骤 1 - 导入仿真所需的库](#步骤 1 - 导入仿真所需的库)

[步骤 2 - 定义相关函数，包括将二维数组转换为卷积核的函数，以及简化的二维卷积运算函数](#步骤 2 - 定义相关函数，包括将二维数组转换为卷积核的函数，以及简化的二维卷积运算函数)

[步骤 3 - 设置迭代次数，并执行计算图以展示相应的运算结果](#步骤 3 - 设置迭代次数，并执行计算图以展示相应的运算结果)

TensorFlow - 构建计算图

偏微分方程（PDE）是一种包含多个自变量的未知函数偏导数的微分方程。本文将结合偏微分方程，介绍如何构建新的计算图。

我们假设有一个 500×500 平方尺寸的池塘，设定：N = 500

接下来我们将求解偏微分方程，并以此构建对应的计算图。求解并构建计算图的步骤如下：

步骤 1 - 导入仿真所需的库

python 复制代码

import tensorflow as tf
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

步骤 2 - 定义相关函数，包括将二维数组转换为卷积核的函数，以及简化的二维卷积运算函数

python 复制代码

def make_kernel(a):
    a = np.asarray(a)
    a = a.reshape(list(a.shape) + [1,1])
    return tf.constant(a, dtype=tf.float32)

def simple_conv(x, k):
    """简化的二维卷积运算"""
    x = tf.expand_dims(tf.expand_dims(x, 0), -1)
    y = tf.nn.depthwise_conv2d(x, k, [1,1,1,1], padding = 'SAME')
    return y[0,:,:,0]

def laplace(x):
    """计算一个数组的二维拉普拉斯值"""
    laplace_k = make_kernel([[0.5, 1.0, 0.5],
                             [1.0, -6., 1.0],
                             [0.5, 1.0, 0.5]])
    return simple_conv(x, laplace_k)

sess = tf.InteractiveSession()

步骤 3 - 设置迭代次数，并执行计算图以展示相应的运算结果

python 复制代码

N = 500
# 初始条件------雨滴落入池塘
# 将所有值初始化为0
u_init = np.zeros([N, N], dtype = np.float32)
ut_init = np.zeros([N, N], dtype = np.float32)

# 随机选取若干位置，模拟雨滴落入池塘的效果
for n in range(100):
    a,b = np.random.randint(0, N, 2)
    u_init[a,b] = np.random.uniform()

# 可视化初始状态
plt.imshow(u_init)
plt.show()

# 仿真参数设置：
# eps ------ 时间分辨率
# damping ------ 波的阻尼系数
eps = tf.placeholder(tf.float32, shape = ())
damping = tf.placeholder(tf.float32, shape = ())

# 创建用于存储仿真状态的变量
U = tf.Variable(u_init)
Ut = tf.Variable(ut_init)

# 离散化的偏微分方程更新规则
U_ = U + eps * Ut
Ut_ = Ut + eps * (laplace(U) - damping * Ut)

# 定义更新仿真状态的操作
step = tf.group(U.assign(U_), Ut.assign(Ut_))

# 将状态初始化为初始条件
tf.initialize_all_variables().run()

# 运行偏微分方程仿真1000步
for i in range(1000):
    # 执行单步仿真
    step.run({eps: 0.03, damping: 0.04})
    # 每500步可视化一次仿真结果
    if i % 500 == 0:
        plt.imshow(U.eval())
        plt.show()

绘制得到的计算图 / 仿真图像如下：