3.4 图

一、图的定义

1. 基本概念

定义：一个图G（Graph）是由两个集合V和E所组成的。

• V：有限的非空顶点集合
• E：用顶点表示的边集合

表示：G = (V, E)

• V(G)：图G的顶点集
• E(G)：图G的边集

特点：

• 一个顶点集合与连接这些顶点的边的集合可以唯一表示一个图
• 在图中，数据元素用顶点表示
• 数据元素之间的关系用边表示

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二、图的分类

1. 有向图

定义：图中每条边都是有方向的。

表示：

• 从顶点vᵢ到顶点vⱼ表示为<vᵢ, vⱼ>
• 从顶点vⱼ到顶点vᵢ表示为<vⱼ, vᵢ>
• 有向边也称为弧
• 起点称为弧尾
• 终点称为弧头

示例：

    1
   /|\
  / | \
 2  3  4
 ↑  ↓
 └──┘

顶点集合：V(a) = {1, 2, 3, 4}
边的集合：E(a) = {<1,2>, <1,3>, <4,2>, <1,4>, <4,1>}

2. 无向图

定义：图中每条边都是无方向的。

表示：

• 顶点vᵢ和vⱼ之间的边用(vᵢ, vⱼ)表示
• 在无向图中，(vᵢ, vⱼ)和(vⱼ, vᵢ)表示的是同一条边

示例：

    1
   /|\
  / | \
 2  3  5
  \ | /
   \|/
    4

顶点集合：V(b) = {1, 2, 3, 4, 5}
边的集合：E(b) = {(1,2), (1,3), (1,4), (4,5), (2,3), (3,4), (3,5)}

3. 完全图

无向完全图：

• 若一个无向图具有n个顶点
• 每一个顶点与其他n-1个顶点之间都有边
• 共有n(n-1)/2条边

有向完全图：

• 有n个顶点
• 任意两个不同顶点之间都存在方向相反的两条弧
• 弧的数目为n(n-1)

对比：

类型	顶点数	边/弧数	公式
无向完全图	n	边数	n(n-1)/2
有向完全图	n	弧数	n(n-1)

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三、图的相关概念

1. 度（Degree）

无向图：

• 顶点的度：与该顶点相关联的边的数目
• 记作TD(v)

有向图：

• 入度（InDegree）：以该顶点为弧头的弧的数目，记作ID(v)
• 出度（OutDegree）：以该顶点为弧尾的弧的数目，记作OD(v)
• 顶点的度：TD(v) = ID(v) + OD(v)

性质：

• 无向图中，所有顶点的度之和等于边数的2倍

  ΣTD(v) = 2|E|

• 有向图中，所有顶点的入度之和等于所有顶点的出度之和

  ΣID(v) = ΣOD(v) = |E|

2. 路径

定义：顶点vₚ到顶点v_q之间的一条路径是指顶点序列

简单路径：路径中顶点不重复

路径长度：路径上边或弧的数目

回路（环）：第一个顶点和最后一个顶点相同的路径

3. 子图

定义：设G = (V, E)和G' = (V', E')是两个图

• 如果V' ⊆ V且E' ⊆ E
• 则称G'是G的子图

4. 连通图

无向图的连通：

• 如果从顶点v到顶点v'有路径存在
• 则称v和v'是连通的

连通图：

• 如果图中任意两个顶点都是连通的
• 则称该图为连通图

连通分量：

• 无向图的极大连通子图

5. 强连通图

定义：有向图中

• 如果对于每一对vᵢ, vⱼ ∈ V
• vᵢ ≠ vⱼ
• 从vᵢ到vⱼ和从vⱼ到vᵢ都存在路径
• 则称该图为强连通图

6. 网

定义：边或弧带有权值的图称为网。

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四、图的存储结构

1. 邻接矩阵表示法

（1）无向图的邻接矩阵

定义：设G = (V, E)是具有n个顶点的图

• 顶点编号为1, 2, ..., n
• 则G的邻接矩阵是一个n阶方阵
• 记作A = (aᵢⱼ)ₙ×ₙ

元素定义：

aᵢⱼ = 1  若(vᵢ, vⱼ) ∈ E 或 <vᵢ, vⱼ> ∈ E
aᵢⱼ = 0  其他情况

示例：

无向图：
    1
   /|\
  / | \
 2  3  5
  \ | /
   \|/
    4

邻接矩阵：
   1  2  3  4  5
1 [0, 1, 1, 1, 0]
2 [1, 0, 1, 0, 0]
3 [1, 1, 0, 1, 1]
4 [1, 0, 1, 0, 1]
5 [0, 0, 1, 1, 0]

特点：

• 无向图的邻接矩阵是对称矩阵
• 顶点i的度 = 第i行（或第i列）元素之和
• 可以直接判断两个顶点之间是否有边

（2）有向图的邻接矩阵

示例：

有向图：
    1
   /|\
  / | \
 2  3→ 4
 ↑  ↓
 └──┘

邻接矩阵：
   1  2  3  4
1 [0, 1, 1, 1]
2 [0, 0, 0, 0]
3 [0, 0, 0, 0]
4 [1, 1, 0, 0]

特点：

• 有向图的邻接矩阵不一定是对称矩阵
• 顶点i的出度 = 第i行元素之和
• 顶点i的入度 = 第i列元素之和

（3）网的邻接矩阵

定义：网的邻接矩阵可以表示为：

aᵢⱼ = wᵢⱼ           若(vᵢ, vⱼ) ∈ E 或 <vᵢ, vⱼ> ∈ E
aᵢⱼ = 0 或 ∞        其他情况

示例：

网：
    V₁
   /  \
  5    7
  /     \
V₂      V₄
 |       |
 4       6
 |       |
V₃      V₆
  \     /
  9   1
   \ /
    V₅

邻接矩阵：
     V₁  V₂  V₃  V₄  V₅  V₆
V₁ [ 0,  5, ∞,  7, ∞, ∞]
V₂ [∞,  0,  4, ∞, ∞, ∞]
V₃ [ 8, ∞,  0, ∞, ∞,  9]
V₄ [∞, ∞,  5,  0, ∞,  6]
V₅ [∞, ∞, ∞,  5,  0, ∞]
V₆ [ 3, ∞, ∞, ∞,  1,  0]

2. 邻接链表表示法

（1）基本概念

定义：为图的每一个顶点建立一个单链表

• 第i个单链表中的节点表示依附于顶点vᵢ的边（对于有向图是以vᵢ为尾的弧）

节点类型：

表头节点：

┌──────────┬──────────┐
│ data     │ firstarc │
│ (顶点信息)│ (指向第一条边)│
└──────────┴──────────┘

表节点：

┌──────────┬──────────┬──────────┐
│ adjvex   │ nextarc  │ info     │
│(邻接顶点)│(指向下一条边)│(边的信息)│
└──────────┴──────────┴──────────┘

（2）无向图的邻接表

示例：

无向图：
    1
   /|\
  / | \
 2  3  5
  \ | /
   \|/
    4

邻接表：
1 → 2 → 3 → 4 → ∧
2 → 1 → 3 → ∧
3 → 1 → 2 → 4 → 5 → ∧
4 → 1 → 3 → 5 → ∧
5 → 3 → 4 → ∧

特点：

• 无向图的邻接表中：
  • 顶点i的度 = 第i个链表中的节点数
  • 所有链表中的节点数 = 2 × 边数

（3）有向图的邻接表和逆邻接表

邻接表：

有向图：
    0
   ↙ ↘
  1   2
  ↘ ↙
   3

邻接表：
0 → 1 → 2 → ∧
1 → 2 → ∧
2 → 0 → ∧
3 → 0 → ∧

逆邻接表：

逆邻接表：
0 → 2 → 3 → ∧
1 → 0 → ∧
2 → 0 → 1 → ∧
3 → ∧

特点：

• 邻接表：便于查找出度
• 逆邻接表：便于查找入度

（4）网的邻接表

示例：

网：
  V₀
  │8
  ↓
  V₁
  │2
  ↓
  V₂ ← 5 → V₃

邻接表：
V₀ → [V₁,8] → ∧
V₁ → [V₂,2] → ∧
V₂ → [V₃,5] → ∧
V₃ → ∧

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五、邻接矩阵 vs 邻接表

1. 存储方式对比

比较项	邻接矩阵	邻接表
存储空间	O(n²)	O(n + e)
稀疏图	浪费空间	节省空间
稠密图	合适	不太合适
判断边是否存在	O(1)	O(degree(v))
获取邻接点	O(n)	O(degree(v))
插入/删除边	O(1)	O(degree(v))

2. 适用场景

邻接矩阵适用于：

• 稠密图（边数较多的图）
• 需要频繁判断边是否存在
• 简单实现

邻接表适用于：

• 稀疏图（边数较少的图）
• 需要遍历所有邻接点
• 节省存储空间

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六、图的遍历

1. 深度优先搜索（DFS）

思想：

1. 访问起始顶点v
2. 从v出发，访问v的一个未被访问的邻接点w₁
3. 从w₁出发，访问w₁的一个未被访问的邻接点w₂
4. 重复上述过程
5. 当到达一个没有未被访问的邻接点的顶点时，回溯
6. 重复上述过程，直到所有顶点都被访问

特点：

• 使用递归或栈实现
• 类似于树的前序遍历
• 可能产生递归深度过深的问题

2. 广度优先搜索（BFS）

思想：

1. 访问起始顶点v
2. 依次访问v的所有未被访问的邻接点
3. 分别从这些邻接点出发，访问它们的所有未被访问的邻接点
4. 重复上述过程
5. 直到所有顶点都被访问

特点：

• 使用队列实现
• 类似于树的层序遍历
• 可以找到最短路径

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七、最小生成树

1. 定义

最小生成树：

• 对于一个带权连通无向图
• 生成树的各边权值之和称为生成树的代价
• 代价最小的生成树称为最小生成树

2. Prim算法

思想：

1. 从任意一个顶点开始
2. 每次选择一个与当前树连接的最小权值边
3. 将该边和对应的顶点加入树中
4. 重复直到包含所有顶点

3. Kruskal算法

思想：

1. 将所有边按权值从小到大排序
2. 从最小权值的边开始
3. 如果该边连接的两个顶点不在同一连通分量中
4. 则加入该边
5. 重复直到包含所有顶点

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八、最短路径

1. Dijkstra算法

适用：单源最短路径（正权值）

思想：

1. 初始化：起点距离为0，其他为∞
2. 每次选择距离最小的未访问顶点
3. 更新其邻接点的距离
4. 重复直到所有顶点都被访问

2. Floyd算法

适用：所有顶点对之间的最短路径

思想：

• 动态规划
• 逐步考虑中间顶点
• 更新最短距离

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九、拓扑排序

1. 定义

拓扑排序：对一个有向无环图（DAG）的顶点进行排序

• 使得对于每一条有向边(u, v)
• 顶点u在排序中都出现在顶点v之前

2. 应用

• 任务调度
• 课程安排
• 依赖关系处理

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十、总结

1. 图的类型总结

类型	特点	边数
无向图	边无方向	e
有向图	边有方向	e
无向完全图	每对顶点都有边	n(n-1)/2
有向完全图	每对顶点都有两条弧	n(n-1)
网	边带权值	-

2. 存储结构选择

情况	推荐存储方式
稠密图	邻接矩阵
稀疏图	邻接表
需要快速判断边是否存在	邻接矩阵
需要遍历邻接点	邻接表

3. 常见算法

算法	用途	时间复杂度
DFS	遍历、路径查找	O(V + E)
BFS	遍历、最短路径	O(V + E)
Prim	最小生成树	O(E log V)
Kruskal	最小生成树	O(E log E)
Dijkstra	单源最短路径	O((V + E) log V)
Floyd	所有点对最短路径	O(V³)