P2391 白雪皑皑
题目背景
"柴门闻犬吠，风雪夜归人"，冬天，不期而至。千里冰封，万里雪飘。空中刮起了鸭毛大雪。雪花纷纷，降落人间。 美能量星球（pty 在 spore 上的一个殖民地）上的人们被这美景所震撼。但是 pty 却不高兴，他不喜欢白色的世界，他觉得这样太单调了。所以他想对雪花进行染色，让世界变得多彩些。
题目描述
现在有 nnn 片雪花排成一列。 pty 要对雪花进行 mmm 次染色操作，第 iii 次染色操作中，把第 ((i×p+q) mod n)+1((i\times p+q)\bmod n)+1((i×p+q)modn)+1 片雪花和第 ((i×q+p) mod n)+1((i\times q+p)\bmod n)+1((i×q+p)modn)+1 片雪花之间的雪花（包括端点）染成颜色 iii。其中 p,qp,qp,q 是给定的两个正整数。他想知道最后 nnn 片雪花被染成了什么颜色。没有被染色输出 000。
输入格式
输入共四行，每行一个整数，分别为 n,m,p,qn,m,p,qn,m,p,q，意义如题中所述。
输出格式
输出共 nnn 行，每行一个整数，第 iii 行表示第 iii 片雪花的颜色。
输入输出样例 #1
输入 #1
4
3
2
4输出 #1
2
2
3
0说明/提示
- 对于 20%20\%20% 的数据满足：n,m≤1000n,m\leq 1000n,m≤1000。
- 对于 40%40\%40% 的数据满足：n≤8000n\leq 8000n≤8000，m≤106m\leq 10^6m≤106。
- 对于 80%80\%80% 的数据满足：n≤5×105n\leq 5\times 10^5n≤5×105，m≤107m\leq 10^7m≤107。
- 对于 100%100\%100% 的数据满足：1≤n≤1061\leq n\leq 10^61≤n≤106，1≤m≤1071\leq m\leq 10^71≤m≤107。
保证 1≤m×p+q,m×q+p≤2×1091\leq m\times p+q,m\times q+p\leq 2\times 10^91≤m×p+q,m×q+p≤2×109。
代码
cpp
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN = 1e6 + 5; // 常量名更语义化
struct Snowflake {
int color; // 雪花最终染色编号（0表示未染色）
int next; // 以当前位置为起点，首个未染色的位置（路径压缩用）
} snow[MAXN];
// 并查集查找：找到x位置开始的首个未染色位置，路径压缩优化
int find(int x) {
if (snow[x].next != x) {
snow[x].next = find(snow[x].next); // 路径压缩，直接指向最终未染色位置
}
return snow[x].next;
}
int main() {
ios::sync_with_stdio(false); // 加速cin/cout，应对1e6量级数据
cin.tie(nullptr);
int n, m, p, q; // n:雪花总数 m:染色操作数 p/q:随机数参数
cin >> n >> m >> p >> q;
// 初始化：所有雪花未染色，每个位置的首个未染色位置是自身；n+1作为边界哨兵
for (int i = 1; i <= n + 1; ++i) {
snow[i].color = 0;
snow[i].next = i;
}
// 逆序处理染色操作：后执行的操作覆盖先执行的，保证每个位置只染最后一次
for (int op = m; op >= 1; --op) {
// 计算当前操作的染色区间 [l, r]，保证1<=l<=r<=n
int pos1 = ((1LL * op * p + q) % n) + 1; // 1LL防止乘法溢出
int pos2 = ((1LL * op * q + p) % n) + 1;
int l = min(pos1, pos2);
int r = max(pos1, pos2);
// 遍历区间内所有未染色位置：通过find直接跳转到未染色位置，避免重复遍历
for (int j = find(l); j <= r; j = find(j)) {
snow[j].color = op; // 标记为当前操作的颜色（逆序保证是最后一次染色）
snow[j].next = j + 1; // 染完后，该位置的首个未染色位置指向右侧
}
}
// 输出每个雪花的最终颜色
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
cout << snow[i].color << '\n'; // '\n'比endl快，避免刷新缓冲区
}
return 0;
}总结
并查集「非连通性问题」的经典应用（非常规的合并 / 查找，而是路径压缩的灵活复用），解决了大量区间覆盖 / 跳过已处理元素的问题。
- 用并查集的「路径压缩」特性跳过已处理区间，将区间染色的时间复杂度从暴力O(mn) 优化到O(nα(n))(α(n) 是阿克曼反函数，近乎常数）；
- 逆序处理覆盖类操作，保证每个位置只处理最后一次有效操作，避免重复计算；
- 初始化到n+1 作为「哨兵位置」，避免处理最后一个位置时的越界判断，简化逻辑。