数据结构——trie（字典）树

Darkwanderor2026-03-12 11:15

数据结构------trie（字典）树

  • [字典 (trie) 树](#字典 (trie) 树)
    • 字典树的实现
    • [P8306 【模板】字典树 - 洛谷](#P8306 【模板】字典树 - 洛谷)
    • [P2580 于是他错误的点名开始了 - 洛谷](#P2580 于是他错误的点名开始了 - 洛谷)
    • [P10471 最大异或对 - 洛谷 01-Trie](#P10471 最大异或对 - 洛谷 01-Trie)
  • OJ汇总

字典 (trie) 树

Trie 树又叫字典树或前缀树，是一种能够快速插入和查询字符串的数据结构。它利用字符串的公共前缀，将字符串组织成一棵树形结构，从而大大提高了存储以及查找效率。

各个编程语言都有提供红黑树和哈希表，都能做到字符串插入和查询。学习字典树肯定是学习红黑树和哈希表做不到的事。

我们可以把字典树想象成一棵多叉树 ，每一条边代表一个字符 ，从根节点到某个节点的路径就代表了一个字符串 。通过字典树存储字符串可以节省存储字符串的空间。例如，要存储 "abc"、"abd"、"acde" 以及 "cd" 时，构建的字典树如下：

在字典树的每一个结点位置，额外维护一些信息时，就可以做到很多事情：

  • 查询某个单词是否出现过，并且出现几次。

    但若是查找前缀例如 "ac" 的话，会出现可以查到，实际字符串并不存在的情况，存储 "ac" 同样麻烦。

    所以每个结点需要创建一个 pass 和 end 变量，pass 标记当前节点一共经过了多少次，end 表示当前节点是多少个字符串的结尾。

  • 查询有多少个单词是以某个字符串为前缀。

  • 查询所有以某个前缀开头的单词。例如输入法中，输入拼音的时候，可以提示可能的单词。

字典树的功能有很多，这里列举了最常用的 3 种操作。

字典树的实现

实现一个能够查询单词出现次数 以及查询有多少个单词是以某个字符串为前缀的字典树，默认会是小写字母。

准备工作：

cpp 复制代码 
using vi = vector<int>;
struct DictTreeNode { // 描述字典树的边和结点信息
    using cvi = const vi;
    using ci = const int;
    vi tree;
    int pss; // 当前节点一共经过了多少次
    int ed;  // 当前节点是多少个字符串的结尾
    DictTreeNode(cvi &_tree = vi(128, 0), int _pss = 0, int _ed = 0) {
        tree = _tree;
        pss = _pss;
        ed = _ed;
    }
    int &operator[](ci &aim) { // 字典树支持下标访问
        return tree[aim];
    }
    ci &operator[](ci &aim) const { // 字典树支持下标访问
        return tree[aim];
    }
};

这里 tree[i] 表示 i 号结点的孩子信息， tree[i][1] 表示 b 的路径信息，tree[i].pss 表示 有多少个字符串经过 i 号结点， tree[i].ed 表示多少个字符串以 tree[i] 结尾。

其余模板见洛谷的 P8306 字典树模板题。

P8306 【模板】字典树 - 洛谷

P8306 【模板】字典树 - 洛谷

字典树模板题，要求是能查找前缀。这是一个内存限制为 1 GB 的OJ，可以使用 128 个空位表示所有字符，然后利用整个字符的 ASCII 码进行查询。但字符串只包含大小写字母和数字，可以剔除前47个字符，节省内存。

这里为了字典树的完整性，就不节省内存了，只要内存足够，可适用绝大多数场景。

cpp 复制代码 
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

using vi = vector<int>;
struct DictTreeNode { // 描述字典树的边和结点信息
    using cvi = const vi;
    using ci = const int;
    vi tree;
    int pss; // 当前节点一共经过了多少次
    int ed;  // 当前节点是多少个字符串的结尾
    DictTreeNode(cvi &_tree = vi(128, 0), int _pss = 0, int _ed = 0) {
        tree = _tree;
        pss = _pss;
        ed = _ed;
    }
    int &operator[](ci &aim) { // 字典树支持下标访问
        return tree[aim];
    }
    ci &operator[](ci &aim) const { // 字典树支持下标访问
        return tree[aim];
    }
};
struct dict_tree {
    using Dtn = DictTreeNode;
    using Vdtn = vector<Dtn>;
    using cst = const string;
    Vdtn dt; // 字典树本体

    dict_tree(cst &st = "") {
        insert(st);
    }

    void insert(cst &st) {
        if (dt.empty())
            dt.push_back(Dtn());
        int cur = 0;
        dt[cur].pss++;
        for (size_t i = 0; i < st.size(); i++) {
            int path = st[i] - '\0';
            if (dt[cur][path] == 0) {
                dt[cur][path] = dt.size();
                dt.push_back(Dtn());
            }
            cur = dt[cur][path];
            dt[cur].pss++;
        }
        dt[cur].ed++;
    }

    int find(cst &st) const {
        int cur = 0;
        for (size_t i = 0; i < st.size(); i++) {
            if (dt[cur][st[i] - '\0'] == 0)
                return 0;
            cur = dt[cur][st[i] - '\0'];
            if (cur >= dt.size())
                return 0;
        }
        return dt[cur].ed;
    }

    int find_pre(cst &st) const {
        int cur = 0;
        for (size_t i = 0; i < st.size(); i++) {
            if (dt[cur][st[i] - '\0'] == 0)
                return 0;
            cur = dt[cur][st[i] - '\0'];
            if (cur >= dt.size())
                return 0;
        }
        return dt[cur].pss;
    }
};

void ac() {
    int n, q;
    dict_tree dt;
    string st;
    cin >> n >> q;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        cin >> st;
        dt.insert(st);
    }
    for (int i = 0; i < q; i++) {
        cin >> st;
        cout << dt.find_pre(st) << '\n';
    }
}

int main() {
    int T = 1;
    cin >> T;
    while (T--)
        ac();
    return 0;
}

P2580 于是他错误的点名开始了 - 洛谷

P2580 于是他错误的点名开始了 - 洛谷

这里要求查询加查重。可以修改字典树的实现，让字典树在查询时也能做到顺便插入一个字符串进去，减少标记重复的成本。

cpp 复制代码 
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

using vi = vector<int>;
struct DictTreeNode { // 描述字典树的边和结点信息
    using cvi = const vi;
    using ci = const int;
    vi tree;
    int pss; // 当前节点一共经过了多少次
    int ed;  // 当前节点是多少个字符串的结尾
    DictTreeNode(cvi &_tree = vi(26, 0), int _pss = 0, int _ed = 0) {
        tree = _tree;
        pss = _pss;
        ed = _ed;
    }
    int &operator[](ci &aim) { // 字典树支持下标访问
        return tree[aim];
    }
};
struct dict_tree {
    using Dtn = DictTreeNode;
    using Vdtn = vector<Dtn>;
    using cst = const string;
    Vdtn dt; // 字典树本体

    dict_tree(cst &st = "") {
        insert(st);
    }

    void insert(cst &st) {
        if (dt.empty())
            dt.push_back(Dtn());
        int cur = 0;
        dt[cur].pss++;
        for (size_t i = 0; i < st.size(); i++) {
            int path = st[i] - 'a';
            if (dt[cur][path] == 0) {
                dt[cur][path] = dt.size();
                dt.push_back(Dtn());
            }
            cur = dt[cur][path];
            dt[cur].pss++;
        }
        dt[cur].ed++;
    }

    int find(cst &st) {
        int cur = 0;
        for (size_t i = 0; i < st.size(); i++) {
            if (dt[cur][st[i] - 'a'] == 0)
                return 0;
            cur = dt[cur][st[i] - 'a'];
            if (cur >= dt.size())
                return 0;
        }
        return dt[cur].ed++; // 每查到一个字符串就插入一个
    }
};

int main() {
    int n, q;
    dict_tree dt;
    string st;
    cin >> n;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        cin >> st;
        dt.insert(st);
    }
    cin >> q;
    for (int i = 0; i < q; i++) {
        cin >> st;
        int ans = dt.find(st);
        if (ans == 0)
            cout << "WRONG\n";
        else if (ans == 1) {
            cout << "OK\n";
        } else
            cout << "REPEAT\n";
    }
    return 0;
}

P10471 最大异或对 - 洛谷 01-Trie

P10471 最大异或对 The XOR Largest Pair - 洛谷

1472：【例题2】The XOR Largest Pair

有的资料对字典树分的特别细，例如这里的字典树叫 01-Trie 。

肯定不能两个循环去枚举，必定超时。

将每个数的二进制01序列存储在字典树中，然后进行贪心策略：从高到低找，对每个bit位，在所有存在的数中，尽可能去找和当前比特位不同的。然后根据查找的情况通过二进制操作将异或的结果更新 bit 位。这个算法的时间复杂度是 O ( n log ⁡ n ) \text{O}(n\log n) O(nlogn) ，系数 32 可忽略。

P10471 最大异或对 The XOR Largest Pair - 洛谷 参考程序如下。1472：【例题2】The XOR Largest Pair 因为题目给的运行内存只有 64 MB ，而 vector 和结构体因为对齐等原因，浪费很多内存，使得这个代码无法过。

cpp 复制代码 
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

using vi = vector<int>;
struct DictTreeNode { // 描述字典树的边和结点信息
    using cvi = const vi;
    using ci = const int;
    vi tree;
    int pss; // 当前节点一共经过了多少次
    int ed;  // 当前节点是多少个字符串的结尾
    DictTreeNode(cvi &_tree = vi(2, 0), int _pss = 0, int _ed = 0) {
        tree = _tree;
        pss = _pss;
        ed = _ed;
    }
    int &operator[](ci &aim) { // 字典树支持下标访问
        return tree[aim];
    }
    ci &operator[](ci &aim) const { // 字典树支持下标访问
        return tree[aim];
    }
};
struct dict_tree {
    using Dtn = DictTreeNode;
    using Vdtn = vector<Dtn>;
    using cst = const string;
    Vdtn dt; // 字典树本体

    dict_tree() {}

    void insert(int num) {
        if (dt.empty())
            dt.push_back(Dtn());
        int cur = 0;
        dt[cur].pss++;
        for (int i = 31; i >= 0; i--) {
            int path = (num >> i) & 1;
            if (dt[cur][path] == 0) {
                dt[cur][path] = dt.size();
                dt.push_back(Dtn());
            }
            cur = dt[cur][path];
            dt[cur].pss++;
        }
        dt[cur].ed++;
    }

    int find(int num) const {
        int cur = 0;
        int ans = 0;
        // 贪心策略：对每个bit位，在存在的数中，尽可能去找和当前比特位不同的
        for (int i = 31; i >= 0; i--) {             // 从第32位开始枚举
            if (dt[cur][((num >> i) & 1) ^ 1] == 0) // 找不到就继续往下
                cur = dt[cur][((num >> i) & 1)];
            else {
                ans |= (1 << i); // num的异或值
                cur = dt[cur][((num >> i) & 1) ^ 1];
            }
        }
        return ans;
    }
};

string calc(int x) { // 转换成二进制01序列
    string st;
    for (int i = 31; i >= 0; i--) {
        st += char(((x >> i) & 1) + '0');
    }
    return st;
}

int main() {
    int n, ans = 0;
    vi num;
    dict_tree dt;
    cin >> n;
    num.resize(n + 1, 0);
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> num[i];
        dt.insert(num[i]);
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        ans = max(ans, dt.find(num[i]));
    }
    cout << ans;
    return 0;
}

1472：【例题2】The XOR Largest Pair 建议是按照 C 语言的方式模拟实现，但字典树的核心插入、查找等逻辑保持不变。

cpp 复制代码 
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 1e7 + 1000;
int tree[N][2], pss[N], ed[N], num[N / 100];
int idx, n, ans;

void insert(int x) {
    int cur = 0;
    for (int i = 31; i >= 0; i--) {
        int path = (x >> i) & 1;
        if (tree[cur][path] == 0)
            tree[cur][path] = ++idx;
        cur = tree[cur][path];
    }
}

int find(int x) {
    int cur = 0;
    int ans = 0;
    for (int i = 31; i >= 0; i--) {
        int path = (x >> i) & 1;
        if (tree[cur][path ^ 1] == 0)
            cur = tree[cur][path];
        else {
            ans |= (1 << i);
            cur = tree[cur][path ^ 1];
        }
    }
    return ans;
}

int main() {
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> num[i];
        insert(num[i]);
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        ans = max(ans, find(num[i]));
    cout << ans;
    return 0;
}

OJ汇总

P8306 【模板】字典树 - 洛谷

P2580 于是他错误的点名开始了 - 洛谷

P10471 最大异或对 The XOR Largest Pair - 洛谷

1472：【例题2】The XOR Largest Pair

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