C++算法：一维/二维前缀和算法模板题

上篇文章：从 O(N) 到 O(log N)：LCR 173 点名问题的五种解法与最优推导

1.【模板】前缀和

理解题意

算法原理

1.【模板】前缀和

【模板】前缀和

理解题意

此题下标从1开始，长度为n的数组，要创建n+1的大小才能访问到n这个数

算法原理

解法一：暴力解法->一一模拟

每次遍历从头到尾的和，O(n*q)

解法二：前缀和 -> 快速求出数组中某一个连续区间的和，O(1) -> O(q) + O(n)

第一步：预处理出来一个前缀和数组，用dp表示

dp $i$ ：表示 $1，i$ 区间所有元素的和

dp $i$ = dp $i - 1$ + arr $i$

第二步：使用前缀和数组

$l , r$ -> dp $r$ - dp $l - 1$

细节问题

为什么下标要从1开始计数？

如果从0开始，那么dp $l-1$ 就是 dp $-1$ 了，要处理边界问题

如果从1开始，dp $l-1$ 就是 dp $0$ ，此时，让dp $0$ = 0即可。

在初始化时，添加虚拟结点（辅助结点）

代码

复制代码

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

int main() {
    // 1.读入数据
    int n, q;
    cin >> n >> q;
    vector<int> arr(n + 1);
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        cin >> arr[i];
    }

    // 2.预处理出一个前缀和数组
    vector<long long> dp(n+1); // 求和可能超出范围，用long long
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        dp[i] = dp[i - 1] + arr[i];
    }

    // 3. 使用前缀和数组
    int l = 0, r = 0;
    while(q--)
    {
        cin >> l >> r;
        cout << dp[r] - dp[l - 1] << endl;
    }
    return 0;
}

2.【模板】二维前缀和

【模板】二维前缀和

理解题意

第一行输入矩阵行数n，列数m，查询次数q（也算行数）

之后的矩阵行数(n)，每行输入m个整数，且共计n * m个整数

再之后的q行，每行输入四个整数，且行数<=n，列数<=m

以示例举例并画图：

算法原理

预处理前缀和矩阵

使用前缀和矩阵

复制代码

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

int main()
{
    // 读入数据
    int n = 0, m = 0, q = 0;
    cin >> n >> m >> q;
    vector<vector<int>> arr(n + 1, vector<int>(m + 1));
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        for(int j = 1; j <= m; j++)
            cin >> arr[i][j];

    // 预处理前缀和矩阵
    vector<vector<long long>> dp(n + 1, vector<long long>(m + 1));
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        for(int j = 1; j <= m; j++)
            dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1] + arr[i][j] - dp[i-1][j-1];

    // 使用前缀和矩阵
    int x1 = 0, y1 = 0, x2 = 0, y2 = 0;
    while(q--)
    {
        cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2;
        cout << dp[x2][y2] - dp[x1-1][y2] - dp[x2][y1-1] + dp[x1-1][y1-1] << endl;
    }

    return 0;
}

本章完。