[软考网规考点笔记]-数据通信基础之差错控制编码技术

一、引言
二、奇偶校验码
- [1. 原理](#1. 原理)
- [2. 类型](#2. 类型)
- [3. 检错能力与局限性](#3. 检错能力与局限性)
- [4. 应用](#4. 应用)
[三、海明码（Hamming Code）](#三、海明码（Hamming Code）)
- [1. 功能](#1. 功能)
- [2. 校验位位数确定](#2. 校验位位数确定)
- [3. 编码规则](#3. 编码规则)
- [4. 示例：计算海明码](#4. 示例：计算海明码)
- [5. 纠错过程](#5. 纠错过程)
- [6. 特点](#6. 特点)
四、循环冗余校验码（CRC）
- [1. 原理](#1. 原理)
- [2. 生成多项式](#2. 生成多项式)
- [3. 编码计算步骤](#3. 编码计算步骤)
- [4. 示例](#4. 示例)
- 5、校验过程
- [6. 检错能力](#6. 检错能力)
- [7. 特点](#7. 特点)
五、三种差错控制编码的对比
六、网规历年真题

一、引言

在数据通信中，由于信道噪声、干扰等因素，传输的信号可能会发生错误。为了保证数据的可靠性，需要采用差错控制编码。差错控制编码通过在原始数据中添加冗余信息（校验位），使接收方能够检测甚至纠正传输过程中产生的错误。常用的差错控制编码包括奇偶校验码、海明码和循环冗余校验码（CRC）。本文带你了解以上三种编码的基础知识。

二、奇偶校验码

1. 原理

奇偶校验码是最简单的检错码，它通过在原始数据后附加一个校验位，使得整个码字（数据位+校验位）中"1"的个数满足特定条件。

2. 类型

偶校验：使码字中"1"的个数为偶数。
奇校验：使码字中"1"的个数为奇数。
编码示例
- 假设要发送的数据为 1011010（共7位）
  - 采用偶校验：数据中"1"的个数为4（偶数），则校验位应置为 0，使总"1"数保持偶数。发送码字为 10110100。
  - 若采用奇校验，则校验位应置为 1，使总"1"数为奇数，发送码字为 10110101。

3. 检错能力与局限性

只能检测奇数个比特错误：
- 例如，若传输过程中某一位翻转，使"1"的个数变为奇数，偶校验接收方计算后发现"1"的个数为奇数，即可检测到错误。
无法检测偶数个错误：
- 若两位同时翻转，"1"的个数奇偶性不变，错误无法被检出。
无法纠错：
- 仅能告知有错，但不知道错误位置。

4. 应用

常用于简单的串行通信（如UART）、内存条上的简单校验等。

三、海明码（Hamming Code）

1. 功能

海明码是一种既能检测又能自动纠正一位错误的编码（通过增加足够的冗余位，也可以检测多位错误）。其基本思想是在数据位中插入多个校验位，每个校验位负责监督一组特定的数据位，通过校验方程确定错误的位置。

2. 校验位位数确定

假设信息位数为 m，校验位数为 k，则必须满足：m + k + 1 ≤ 2^k
其中 m+k 为编码后的总位数，+1 是为了能表示"无错误"的状态。
- 例如：当 m=4 时，k=3（因为 4+3+1= 8 ≤ 2 ³= 8）。^^
- 例如：当 m=8 时，k=4（因为 8+4+1= 13 ≤ 16）。
- 例如：当 m=10 时，k=4（因为 10+4+1= 15 ≤ 16）。

3. 编码规则

校验位被放置在2的幂次位置上（即第1、2、4、8、16......位），其余位置按顺序放置数据位。
每个校验位负责监督一组特定的位，这些位的位置编号的二进制表示中，对应校验位的位置位为1。
- 例如：
  校验位 P₁（位置1）监督所有位置二进制的最低位为1的位：1, 3, 5, 7, 9, 11,...。
  校验位 P₂（位置2）监督所有位置二进制的次低位为1的位：2, 3, 6, 7, 10, 11, ...。
  校验位 P₄（位置4）监督所有位置二进制的第三位为1的位：4, 5, 6, 7, 12, 13, ...。
每个校验位的取值采用偶校验（或奇校验）原则：使被监督的所有位（包括校验位自身）中"1"的个数为偶数（偶校验）或奇数（奇校验）。通常考试中多采用偶校验。

4. 示例：计算海明码

假设信息码为 101101100（9位），求采用偶校验的海明码。
- 第一步：确定校验位位数
  - m=9，寻找最小的 k 使 9+k+1≤2^k 。
  - 尝试 k=4: 9 + 4 + 1 = 14, 2⁴ = 16，
  - 满足条件。所以需要4位校验位，总码长为 9+4=13 位。
- 第二步：确定校验位位置
  
  13位的位号从1到13。2的幂次位置：1, 2, 4, 8。将数据位依次填入非2的幂次位置：3,5,6,7,9,10,11,12,13。
  
  假设原始信息位为（从左到右按顺序填入）：
  
  位3：信息位1（假设）
  
  位5：信息位0
  
  位6：信息位1
  
  位7：信息位1
  
  位9：信息位0
  
  位10：信息位1
  
  位11：信息位1
  
  位12：信息位0
  
  位13：信息位0
  
  （注意：实际应明确信息位顺序，此处仅为示意。为方便计算，我们假设信息位序列为 B₉B₈...B₁
  
  ，但海明码中数据位是按顺序填充的。通常考试中会直接给出信息位在各位置的赋值。）
- 第三步：计算校验位
  
  使用偶校验，即每个校验位与它所监督的所有位进行异或（⊕）运算，结果为0。
  
  校验位 P₁（位1）：监督位1、3、5、7、9、11、13。
  
  设 P₁与这些位满足偶校验：P₁⊕P₃⊕P₅⊕P₇⊕P₉⊕P₁₁⊕P₁₃= 0。
  
  代入已知值：P₁⊕1⊕0⊕1⊕0⊕1⊕0=P₁⊕(1+0+1+0+1+0）= P₁⊕1=0 ⇒ P₁ = 1 。
  
  校验位 P₂（位2）：监督位2、3、6、7、10、11。
  
  设 P₂ 与这些位满足偶校验：P₂ ⊕ B₃ ⊕ B₆ ⊕ B₇ ⊕ B₁₀ ⊕ B₁₁ = 0。
  
  代入已知值：P₂ ⊕ 1 ⊕ 1 ⊕ 1 ⊕ 1 ⊕ 1 = P₂ ⊕ (1+1+1+1+1) = P₂ ⊕ 1 = 0 ⇒ P₂ = 1。
  
  校验位 P₄（位4）：监督位4、5、6、7、12、13。
  
  设 P₄ 与这些位满足偶校验：P₄ ⊕ B₅ ⊕ B₆ ⊕ B₇ ⊕ B₁₂ ⊕ B₁₃ = 0。
  
  代入已知值：P₄ ⊕ 0 ⊕ 1 ⊕ 1 ⊕ 0 ⊕ 0 = P₄ ⊕ 0 = 0 ⇒ P₄ = 0。
  
  校验位 P₈（位8）：监督位8、9、10、11、12、13。
  
  设 P₈ 与这些位满足偶校验：P₈ ⊕ B₉ ⊕ B₁₀ ⊕ B₁₁ ⊕ B₁₂ ⊕ B₁₃ = 0。
  
  代入已知值：P₈ ⊕ 0 ⊕ 1 ⊕ 1 ⊕ 0 ⊕ 0 = P₈ ⊕ 0 = 0 ⇒ P₈ = 0。
- 第四步：组装海明码
  
  将计算出的校验位填入对应位置，数据位保持不变，得到13位海明码：
  
  位号：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
  
  码值：1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0

5. 纠错过程

接收方收到码字后，同样用偶校验规则重新计算每个校验位的监督结果。若所有结果均为0，则无错；否则，将各校验位的监督结果按二进制组合成一个数，该数就是出错的位置。
例如，若接收到的码字中某一位翻转，则对应的校验位监督结果会为1。将 P₈、P₄、P₂、P₁ 的结果组成二进制数（P₈
为最高位），得到的值即为错误位号。

6. 特点

能够纠正一位错误（若发生多位错，可能误纠，但通过增加冗余位可以检测多位错）。
常用于内存ECC（Error-Correcting Code）、无线通信等对可靠性要求较高的场景。

四、循环冗余校验码（CRC）

1. 原理

CRC是一种检错能力极强的编码，它通过多项式除法产生校验码。发送方在数据末尾添加冗余码，使整个码字能被一个预先选定的生成多项式整除；接收方用同样的生成多项式去除，若余数为0，则认为传输无误，否则有错。

2. 生成多项式

生成多项式是一个 r 次多项式，记为 G(x)。它的二进制表示是多项式的系数序列（最高次项对应最高位）。
例如：
G(x) = x⁴ + x³ + x + 1 对应二进制 11011。
常见的生成多项式有国际标准，如 CRC-16、CRC-32 等。

3. 编码计算步骤

假设原始数据为 M(x)（二进制序列），生成多项式为 G(x)（r+1 位，最高次幂为 r）。计算校验码的
步骤如下：

在原始数据后面添加 r 个0，得到 M'(x)（相当于乘以 x^r）。

用 M'(x) 除以 G(x)，采用模2除法（即异或运算），得到 r 位余数，这就是CRC校验码。

用余数替换掉刚才添加的 r 个0，得到最终的发送码字。

模2除法规则：与普通除法类似，但减法用异或代替（无进位借位）。

4. 示例

原始数据：11001010101，生成多项式 G(x)=x⁴+x³+x+1（即 11011）。
最高次幂 r=4，所以在数据后加4个0，得到被除数：110010101010000。

进行模2除法：

复制代码

         _______________
 11011 ) 110010101010000
         11011          （异或）
         -------------
         0010010        （下移一位）
           11011
         -------------
           011001       （下移一位）
            11011
         -------------
            001110      （下移一位）
              11011
         -------------
              001010     （下移一位）
                11011
         -------------
                00110    （余数，不足4位，高位补0得0011）

余数为 0011，这就是CRC校验码。
将余数添加到原始数据后面，得到发送码字：11001010101 + 0011 = 110010101010011。

5、校验过程

接收方用收到的码字除以相同的生成多项式 11011。若余数为0，则判定传输无误；否则有错。

6. 检错能力

CRC的检错能力非常强，具体表现为：

能检测出所有奇数个错误。

能检测出所有突发长度 ≤ r 的突发错误（r 为校验码位数）。

对于突发长度等于 r+1 的错误，漏检率为 1/2^r-1；对于更长的突发错误，漏检率很低。

7. 特点

只能检错，不能纠错（通常通过自动重传请求ARQ机制处理错误）。

广泛应用于数据链路层（如以太网帧尾部使用CRC-32）、存储介质、压缩文件等。

五、三种差错控制编码的对比

在差错控制编码中，奇偶校验码、海明码和CRC在检错能力、纠错能力、冗余位数量以及典型应用方面各有不同，具体对比如下：
奇偶校验码的检错能力较弱，只能检测出奇数个比特错误，对于偶数个错误则无法检出。它不具备纠错能力，仅需1位冗余位。由于其简单性，常被用于串口通信或简单内存校验等对错误容忍度较低的场景。
海明码的检错能力较强，通过增加多个校验位可以检测多位错误，并且能够纠正一位错误（若设计得当，也可检测多位错）。所需的冗余位数量 k
需满足公式 m + k + 1 ≤ 2^k，其中 m
为信息位长度。海明码通常用于内存ECC（纠错码）和无线通信等对可靠性要求较高的场合。
CRC的检错能力极强，能够检测出所有奇数个错误、所有突发长度不超过校验位长度 r
的突发错误，且对于更长的突发错误也有极低的漏检率。但CRC本身不具备纠错能力，一般需要配合重传机制使用。其冗余位数量等于生成多项式的最高次幂
r。CRC被广泛应用于数据链路层（如以太网帧校验）、存储介质和压缩文件等场景。

六、网规历年真题

2021年下半年第34题（单选题）

若循环冗余校验码CRC的生成器为10111，则对于数据10100010000计算的校验码应为（）。该CRC校验码能够检测出的突发长度不超过（）。

问题1选项

A. 1101

B. 11011

C. 1001

D. 10011

问题2选项

A. 3

B. 4

C. 5

D. 6

【正确答案】

第1空：A

第2空：B

【试题解析】

数据10100010000后添加4个0（生成多项式最高次幂为4），得到被除数101000100000000，用生成多项式10111进行模2除法，余数为1101，即CRC校验码。CRC校验码的位数r=4，因此能检测出所有突发长度≤4的突发错误。

2021年下半年第35题（单选题）

若循环冗余校验码CRC的生成器为10111，则对于数据10100010000计算的校验码应为（）。该CRC校验码能够检测出的突发长度不超过（）。

【正确答案】

2023年下半年第23题（单选题）

使用海明码进行纠错，7位码长（x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7），其中4位数据位，3位校验位，其监督关系式为：

C0 = x1 + x3 + x5 + x7

C1 = x2 + x3 + x6 + x7

C2 = x4 + x5 + x6 + x7

如果收到的码字为1000101，则纠错后的码字是（）。

选项

A. 1001101

B. 1000101

C. 1000001

D. 1010101

【正确答案】

【试题解析】

将接收码字各位代入监督关系式（按位异或）：

C0 = 1⊕0⊕1⊕1 = 1（因为1+0+1+1=1，异或结果为1）

C1 = 0⊕0⊕0⊕1 = 1

C2 = 0⊕1⊕0⊕1 = 0

得到C2C1C0 = 011（二进制），即3，表示第3位出错。将第3位取反，原码字1000101的第3位是0，取反后为1，得到1010101。

2023年下半年第37题（单选题）

利用长度为r+1比特的生成多项式，生成总长为n比特的循环冗余校验码（CRC）码字，可检出不超过（）比特的突发错误。

选项

A. r+n

B. r+1

C. n

D. r

【正确答案】

【试题解析】

CRC校验码的检错能力：能检测出所有突发长度不超过校验码位数r的突发错误（即生成多项式最高次幂的数值）。这里r为校验码的位数，等于生成多项式的次数。

2014年下半年第14题（单选题）

海明码是一种纠错编码，一对有效码字之间的海明距离是（）。

选项

A. 两个码字的比特数之和

B. 两个码字的比特数之差

C. 两个码字之间相同的比特数

D. 两个码字之间不同的比特数

【正确答案】

【试题解析】

海明距离定义为两个码字之间对应位不同的位数，即两个码字逐位比较后，不同位的个数。例如，码字1001和1101，第2位不同，海明距离为1。因此，正确答案是D。

2018年下半年第10题（单选题）

若信息码字为111000110，生成多项式G(x) =x⁵+x³+x+1，则计算出的CRC校验码为（）。

选项

A. 01101

B. 11001

C. 001101

D. 011001

【正确答案】

【试题解析】

生成多项式x⁵+x³+x+1 对应的二进制数为 101011

（系数从x ⁵ 到x ⁰：1,0,1,0,1,1）。

信息码字为 111000110，在末尾添加5个0（因为生成多项式最高次幂为5），得到被除数 11100011000000。

进行模2除法（异或运算）求余数：

101011 ) 11100011000000

101011

100111

101011

011001

000000

110010

101011

110010

101011

110010

101011

110010 （最后得到余数？实际需仔细计算）

[软考网规考点笔记]-数据通信基础之差错控制编码技术

目录

一、引言

二、奇偶校验码

1. 原理

2. 类型

3. 检错能力与局限性

4. 应用

三、海明码（Hamming Code）

1. 功能

2. 校验位位数确定

3. 编码规则

4. 示例：计算海明码

5. 纠错过程

6. 特点

四、循环冗余校验码（CRC）

1. 原理

2. 生成多项式

3. 编码计算步骤

4. 示例

5、校验过程

6. 检错能力

7. 特点

五、三种差错控制编码的对比

六、网规历年真题