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题目链接
https://leetcode.cn/problems/pascals-triangle/description/?envType=study-plan-v2&envId=top-100-liked
题目说明
给定一个非负整数 numRows，生成「杨辉三角」的前 numRows 行。
杨辉三角规则：
- 每行第一个和最后一个数字都是
1 - 中间位置满足：
triangle[i][j] = triangle[i-1][j-1] + triangle[i-1][j]
示例（numRows = 5）：
text
[
[1],
[1,1],
[1,2,1],
[1,3,3,1],
[1,4,6,4,1]
]约束（LeetCode 常见约束）：1 <= numRows <= 30
解题思路总览
杨辉三角
核心规律
边界恒为1
中间=左上+右上
解法一 二维DP表
直观
便于理解状态转移
解法二 按行迭代
只依赖上一行
代码简洁
解法三 组合数公式
第i行第j个=C(i,j)
用递推避免阶乘溢出
解法一：二维 DP 表（最直观）
原理
设 dp[i][j] 表示第 i 行第 j 列（0-based）：
j == 0或j == i时，dp[i][j] = 1- 否则：
dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + dp[i-1][j]
最后把每一行收集到结果列表中。
流程图
是
否
否
是
否
是
开始
创建二维数组 dp 和结果 ans
for i = 0..numRows-1
for j = 0..i
j==0 或 j==i?
dp[i][j]=1
dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+dp[i-1][j]
加入当前行
本行结束?
所有行结束?
返回 ans
Java 代码
java
import java.util.*;
class Solution {
public List<List<Integer>> generate(int numRows) {
int[][] dp = new int[numRows][numRows];
List<List<Integer>> ans = new ArrayList<>();
for (int i = 0; i < numRows; i++) {
List<Integer> row = new ArrayList<>();
for (int j = 0; j <= i; j++) {
if (j == 0 || j == i) {
dp[i][j] = 1;
} else {
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + dp[i - 1][j];
}
row.add(dp[i][j]);
}
ans.add(row);
}
return ans;
}
}复杂度分析
- 时间复杂度：
O(numRows^2) - 空间复杂度：
O(numRows^2)（二维表 + 输出）
解法二：按行迭代（推荐）
原理
只保存"上一行"，生成"当前行"：
- 当前行首尾是
1 - 中间值来自上一行对应的两个位置相加
这是最常见、最清晰的工程写法。
时序图
ans(结果) cur(当前行) prev(上一行) 主循环(i) ans(结果) cur(当前行) prev(上一行) 主循环(i) 创建长度 i+1 的新行 填充首尾 1 读取 prev[j-1], prev[j] 返回两个值 计算中间元素并加入 cur 入结果 prev = cur
Java 代码
java
import java.util.*;
class Solution {
public List<List<Integer>> generate(int numRows) {
List<List<Integer>> ans = new ArrayList<>();
List<Integer> prev = new ArrayList<>();
for (int i = 0; i < numRows; i++) {
List<Integer> cur = new ArrayList<>();
for (int j = 0; j <= i; j++) {
if (j == 0 || j == i) {
cur.add(1);
} else {
cur.add(prev.get(j - 1) + prev.get(j));
}
}
ans.add(cur);
prev = cur;
}
return ans;
}
}复杂度分析
- 时间复杂度：
O(numRows^2) - 额外空间复杂度：
O(numRows)（不算输出，仅上一行临时存储） - 若计入输出，整体仍为
O(numRows^2)
解法三：组合数公式
原理
杨辉三角第 i 行（0-based）第 j 个数就是组合数：
C ( i , j ) C(i, j) C(i,j)
使用递推避免直接阶乘：
C ( i , j ) = C ( i , j − 1 ) × i − j + 1 j C(i, j) = C(i, j-1) \times \frac{i-j+1}{j} C(i,j)=C(i,j−1)×ji−j+1
每一行从 1 开始递推，逐个得到后续元素。
Java 代码
java
import java.util.*;
class Solution {
public List<List<Integer>> generate(int numRows) {
List<List<Integer>> ans = new ArrayList<>();
for (int i = 0; i < numRows; i++) {
List<Integer> row = new ArrayList<>();
long val = 1; // C(i,0)=1
for (int j = 0; j <= i; j++) {
row.add((int) val);
// 计算下一个组合数 C(i, j+1)
val = val * (i - j) / (j + 1);
}
ans.add(row);
}
return ans;
}
}复杂度分析
- 时间复杂度：
O(numRows^2) - 额外空间复杂度：
O(1)（不计输出） - 需注意中间计算建议用
long
示例推演（numRows = 5）
text
第0行: [1]
第1行: [1, 1]
第2行: [1, 2, 1]
第3行: [1, 3, 3, 1]
第4行: [1, 4, 6, 4, 1]各解法实现复杂度与性能对比
| 解法 | 核心思想 | 时间复杂度 | 额外空间复杂度（不含输出） | 实现复杂度 | 性能表现 | 适用场景 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 二维 DP 表 | 显式保存所有状态 | O(n²) | O(n²) | 低 | 稳定，但内存占用最高 | 教学、初学者理解转移 |
| 按行迭代 | 只依赖上一行 | O(n²) | O(n) | 低 | 综合最优，代码简洁 | 面试/实战首选 |
| 组合数公式 | 直接算 C(i,j) | O(n²) | O(1) | 中 | 空间最省，需注意数值细节 | 追求数学解法、低额外空间 |
结论：
在这题约束下，三种都能轻松通过。推荐优先写"按行迭代"：可读性和工程实用性最好。