基于MLE的无网格波达方向估计：结构化协方差恢复与SBL网格细化新方法
题目
基于结构化协方差矩阵恢复和网格细化稀疏贝叶斯学习的最大似然无网格波达方向估计
摘要
本文针对线谱估计、波达方向估计等应用中的参数化测量模型，以无网格方式估计底层参数为研究目标。研究聚焦于随机最大似然估计框架，通过对目标函数重新参数化并结合稀疏贝叶斯学习方法，克服了以往模型的复杂性问题。研究证实稀疏贝叶斯学习是一种感知相关性的方法，对于所研究问题而言，该方法也是一种基于网格、实现测量值结构化协方差矩阵恢复的技术。当测量值为规则间隔的空间或时间采样时，结构化矩阵可表示为采样托普利兹矩阵，此时通过添加额外约束并对稀疏贝叶斯学习的目标函数重新参数化，提出了基于最大似然估计的结构化矩阵恢复技术。该优化问题具有非凸性，因此本文提出一种基于大化极小化的迭代过程以估计结构化矩阵，且每次迭代均求解一个半定规划问题。借助半正定托普利兹矩阵分解的卡拉西奥多里-费耶尔定理，实现了目标参数的无网格恢复。针对采样间隔不规则的一般情况，提出了迭代稀疏贝叶斯学习方法，该方法可在潜在信源位置附近细化网格点以提高分辨率，同时保持较低的单次迭代复杂度。本文通过数值实验，将所提技术与其他无网格技术及克拉美-罗界的性能进行对比，结果表明，所提感知相关性方法在快照数较少、信源相关或信源间距较近等场景下鲁棒性更强，且提升了信源的可识别性。
引言
本文研究的参数化数据模型为 yl=Φθxl+nly_{l}=\Phi {\theta }x{l}+n_{l}yl=Φθxl+nl ，该模型中测量值、信源信号与噪声呈非线性关系，求解难度大，广泛应用于生物磁成像、线谱估计、波达方向估计等领域。针对该模型的求解方法主要分为传统方法与现代方法两类：
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传统方法 ：又可分为基于谱的方法和参数化方法，均利用数据的二阶统计量，其中参数化方法如最大似然估计可引入有效参数融合几何和先验信息，单快照下也能实现参数推断，但存在模型复杂度高、代价函数对参数高度非线性、模型阶数未知等问题；
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现代方法 ：以稀疏信号恢复为核心，通过对原问题重新参数化、引入稀疏正则化构建优化问题，分为基于网格和无网格两种实现方式，大多显式施加稀疏性约束，而稀疏贝叶斯学习是例外，其通过隐式正则化实现稀疏解恢复，且基于最大似然估计框架，性能更优。
现有研究中，感知相关性技术能有效利用几何和先验信息实现高维信源支撑集恢复，且有研究证实稀疏贝叶斯学习在特定条件下可识别大量信源。本文核心问题为如何改进稀疏贝叶斯学习公式，克服传统最大似然估计的模型复杂性，实现参数的无网格估计，并围绕该问题开展相关研究，同时阐述了研究的主要贡献与后续内容安排。
方法简介
本文以最大似然估计为核心框架，结合稀疏贝叶斯学习、结构化矩阵恢复、网格细化等技术，提出了适用于规则采样和不规则采样场景的无网格波达方向估计方法，核心方法与步骤如下：
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稀疏贝叶斯学习的感知相关性验证：明确感知相关性技术的三大核心要求，通过推导证明稀疏贝叶斯学习的超参数仅通过测量值的结构化协方差矩阵影响代价函数，满足感知相关性技术要求，证实其为感知相关性方法；同时将其与基于多样性度量最小化的感知相关性稀疏信号恢复技术对比，揭示二者在数据拟合项上的差异，凸显稀疏贝叶斯学习基于最大似然估计的优势。
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结构化矩阵恢复（SMR）方法设计：针对均匀线性阵列（无缺失传感器），利用阵列几何特征和信源不相关先验，将稀疏贝叶斯学习的代价函数重新参数化，直接估计托普利兹协方差矩阵的元素，构建对应的优化问题；针对存在缺失传感器的均匀线性阵列，基于差分共阵列概念定义线性映射，明确结构化协方差矩阵的形式，拓展结构化矩阵恢复的优化模型。
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非凸优化问题的求解：利用对数行列式项的凹性，通过泰勒展开对其进行大化近似，将非凸优化问题转化为凸的半定规划问题，提出基于大化极小化的迭代算法（StructCovMLE），通过迭代求解半定规划实现结构化协方差矩阵的估计，同时给出算法的初始化策略与停止准则。
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无网格参数恢复：利用根多重信号分类法（root-MUSIC）对恢复的结构化托普利兹矩阵进行分解，实现波达方向的无网格估计，依托半正定托普利兹矩阵的唯一分解特性，保证估计的有效性。
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适用于不规则采样的网格细化稀疏贝叶斯学习：针对传感器任意排布的一般情况，提出两步式网格细化策略：首先在稀疏贝叶斯学习求解得到的伪谱峰值附近，通过序贯稀疏贝叶斯学习调整网格点，同时更新功率估计；其次进行多分辨率网格细化，在新峰值位置引入更精细的网格点，修剪无效网格点后重新运行稀疏贝叶斯学习，迭代优化直至收敛，在保证单次迭代复杂度的同时提升分辨率。
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方法关联性证明：从理论上证明所提结构化矩阵恢复方法与传统最大似然估计、网格稀疏贝叶斯学习的等价性，证实该方法是在所有模型阶数/合适字典下，以最大似然估计准则实现与测量值匹配的结构化协方差矩阵估计。
结论
本文基于最大似然估计框架重新研究了无网格稀疏信号恢复问题，得出核心结论并完成相关方法设计，主要研究成果如下：
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证实了稀疏贝叶斯学习的本质是实现结构化协方差矩阵估计，其矩阵结构由测量系统几何特征和信源不相关先验决定，且明确稀疏贝叶斯学习为感知相关性方法，可利用稀疏线性阵列实现 O(M2)O(M^2)O(M2) 量级信源的识别，同时基于KL散度量化了信源相关时的模型失配问题。
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针对传感器均匀排布（含缺失传感器）的场景，对稀疏贝叶斯学习代价函数重新参数化，提出了基于大化极小化的迭代算法（StructCovMLE），实现了结构化协方差矩阵的估计，结合root-MUSIC完成了波达方向的无网格恢复。
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针对传感器任意排布的一般场景，提出了结合峰值调整和多分辨率细化的迭代稀疏贝叶斯学习方法，在不显著增加计算复杂度的前提下，提升了潜在信源位置附近的网格分辨率，实现了波达方向的精准估计。
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数值实验结果表明，所提方法与现有先进无网格算法相比，在快照数少、信源相关、信源间距近、信源数多于传感器数等复杂场景下鲁棒性更强，估计偏差更小，分辨率更高，且在信噪比提升时估计精度可逼近克拉美-罗界，凸显了基于最大似然估计准则设计代价函数的优越性。
此外，本文还指出了未来的研究方向：针对传感器网格排布场景，开发更高效的StructCovMLE优化问题求解方法；针对传感器任意排布场景，基于所提网格细化稀疏贝叶斯学习方法开展更深入的研究，探索无需预先离散化网格的参数估计方法。