洛谷 P15800：[GESP202603 六级] 选数 ← 动态规划

【题目来源】
https://www.luogu.com.cn/problem/P15800

【题目描述】

【输入格式】
第一行，一个正整数，表示数组长度。
第二行，n 个正整数 a1, a2, ..., an，表示数组 a。
第三行，n 个正整数 b1, b2, ..., bn，表示数组 b。

【输出格式】
一行，一个整数，表示在满足下标条件的前提下，数组 a 对应下标的整数之和的最大值。

【输入样例】
6
1 1 4 5 1 4
1 2 3 2 1 0

【输出样例】
11

【数据范围】
对于 40% 的测试点，保证 2≤n≤10^3。
对于所有测试点，保证 2≤n≤10^5，0≤ai≤10^9，0≤bi≤n。

【算法分析】
● 闫氏 DP 分析法：https://www.bilibili.com/video/BV1X741127ZM
● 最后一步法：https://www.bilibili.com/video/BV1xb411e7ww
● 解题思路（来源于：https://mp.weixin.qq.com/s/MzuV2CmidkGD5I-EMGS28A）
这是一个典型的带跳跃限制的动态规划问题。如果我们当前选择位置 i，那么下一个可选择的位置必须满足 j≥i+bi。因此，可以从 i 跳到区间 i+b\[i, n]。
（1）状态定义
设 fi 表示当第一个选择的位置是 i 时，能够获得的最大收益。
（2）状态转移
如果选择了 i，下一步可以选任意 j∈i+b\[i, n]。
于是：fi=ai+max(fj) （其中 j≥i+bi）
如果 i+bi>n，说明后面不能再选。此时，有 fi=ai。
（3）优化
直接枚举 j 会变成 O(n²)。我们可以维护一个后缀最大值数组 mxi = max(fi, fi+1, ..., fn)。这样就能 O(1) 得到 max(fj)，当 j≥i+bi=mxi+b\[i] 时。
于是转移方程优化为：当 i+bi<=n时，fi=ai+mxi+b\[i]。否则，fi=ai。
（4）最终答案
因为可以从任意位置开始，答案就是 max(f1, f2, ..., fn)。
复杂度分析：DP 计算 O(n)，空间复杂度 O(n)。整体复杂度 O(n)，完美通过。

【算法代码】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long LL;
const int N=1e5+5;
int a[N],b[N];
LL f[N],ans;
int n;

int main() {
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);
    cout.tie(0);

    cin>>n;
    for(int i=1; i<=n; i++) cin>>a[i];
    for(int i=1; i<=n; i++) cin>>b[i];
    for(int i=1; i<=n; i++) {
        ans=max(ans,f[i]+a[i]);
        if(i+b[i]<=n) {
            f[i+b[i]]=max(f[i+b[i]],f[i]+a[i]);
        }
        f[i+1]=max(f[i+1],f[i]);
    }
    cout<<ans;

    return 0;
}

/*
in:
6
1 1 4 5 1 4
1 2 3 2 1 0

out:
11
*/

【参考文献】
https://gesp.ccf.org.cn/101/attach/1734457386074144.pdf
https://blog.csdn.net/hnjzsyjyj/article/details/113549272
https://mp.weixin.qq.com/s/MzuV2CmidkGD5I-EMGS28A
https://mp.weixin.qq.com/s/xPLBl-FiJOvgF83-lqbGTA