第四课
《机器人走格子------发现状态转移》
🌟一、故事开始：迷宫机器人
1、在算法王国里，
有一台超级聪明的小机器人。
它叫：
🤖"格子探险家"
2、有一天，
国王给了它一张地图：
□ □ □
□ □ □
□ □ □并告诉它：
3、🏰"你必须从左上角走到右下角！"
但是！
机器人有个奇怪规定：
只能：
向右走 →
向下走 ↓
不能：
向左
向上
4、国王问：
🌟"到底有多少种走法呢？"🌟
5、今天，
我们就来帮助机器人！
🌟二、题目理解
1、我们把地图编号：
(1,1) (1,2) (1,3)
(2,1) (2,2) (2,3)
(3,1) (3,2) (3,3)2、机器人：
（1）从：
(1,1)出发。
（2）目标：
到达：
(3,3)（3）每次：
只能：
向右
向下
（4）问：
🌟一共有多少种走法？
🌟三、先别急着写代码！
1、动态规划最重要的：
🌟不是上来写代码！
2、而是：
🌟"观察规律"！
3、我们先：
自己推一推。
🌟四、先看最简单格子
1、起点
(1,1)2、机器人已经在这里了。
所以：
只有1种方法到达这里。
3、于是：
dp[1][1] = 1;🌟五、再看第一行
1、比如：
(1,2)怎么到？
2、只能：
从左边：
(1,1)走过来！
3、所以：
dp[1][2] = 1;4、同理：
(1,3)也只有：
1种方法。
5、因为：
第一行不能从上面来！
🌟六、再看第一列
1、比如：
(2,1)2、只能：
从上面：
(1,1)下来。
3、所以：
dp[2][1] = 1;4、同理：
第一列所有格子：
也都只有1种方法。
🌟七、真正关键来了！
1、现在：
看中间格子：
(2,2)机器人怎么到这里？
2、最后一步：
只有两种可能：
（1）🌟情况1
从上面：
(1,2)下来。
（2）🌟情况2
从左边：
(2,1)走来。
（3）所以：
到(2,2)的方法数 = 到(1,2)的方法数 + 到(2,1)的方法数
3、于是：
dp22=dp12+dp21
🌟八、发现规律！
1、对于任意格子：
(i,j)2、都只能：
从上面来
从左边来
3、所以：
🌟状态转移公式：
dpij=dpi-1j+dpij-1
🌟九、这就是二维DP！
1、前几课：
我们学的是：
dp[i]2、今天升级了！
变成：
dp[i][j]3、因为：
地图有：
行
列
4、所以：
需要二维数组！
🌟十、手动画表格
1、现在：
我们一步一步填表。
2、初始：
| 1 | 2 | 3 | |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 1 | ? | ? |
| 3 | 1 | ? | ? |
3、计算 dp22
1 + 1 = 24、表格变成：
| 1 | 2 | 3 | |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 1 | 2 | ? |
| 3 | 1 | ? | ? |
5、计算 dp23
来自：
上面 dp13
左边 dp22
1 + 2 = 3表格：
| 1 | 2 | 3 | |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 1 | 2 | 3 |
| 3 | 1 | ? | ? |
6、计算 dp32
2 + 1 = 37、计算 dp33
3 + 3 = 6最终：
| 1 | 2 | 3 | |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 1 | 2 | 3 |
| 3 | 1 | 3 | 6 |
8、🌟答案：
6🌟十一、参考代码
#include <iostream>
using namespace std;
int dp[105][105];
int main()
{
int n = 3;
int m = 3;
// 第一行
for(int j = 1; j <= m; j++)
{
dp[1][j] = 1;
}
// 第一列
for(int i = 1; i <= n; i++)
{
dp[i][1] = 1;
}
// 状态转移
for(int i = 2; i <= n; i++)
{
for(int j = 2; j <= m; j++)
{
dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
}
}
cout << dp[n][m];
return 0;
}🌟十二、程序运行过程
程序会：
第一步
初始化：
第一行、第一列。
第二步
从左到右，
从上到下，
慢慢填表。
第三步
最后：
dp[n][m]就是答案！
🌟十三、动态规划真正的感觉
很多同学现在会发现：
1、🌟目前学的DP很像：
"填地图"
2、因为：
每个格子的答案，
都来自：
周围格子。
3、这就是：
🌟状态转移！
🌟十四、动态规划四步法（再次强化）
以后同学们使用所有DP：
都尽量按这四步！
🌟第一步：定义状态
这里：
dp[i][j]表示：
"走到(i,j)的方法数"
🌟第二步：初始化
第一行：
全是1。
第一列：
全是1。
🌟第三步：找转移
dpij=dpi-1j+dpij-1
🌟第四步：确定顺序
从：
左上角
慢慢往右下角推。
🌟十五、课堂挑战
🎯挑战1
如果地图是：
4 × 4答案是多少？
请自己画表！
🎯挑战2
修改程序：
输入：
n 和 m输出：
机器人走法数。
🎯挑战3
如果：
地图里有障碍物：
X机器人不能经过。
该怎么办？
提示：
障碍物位置：
dp[i][j] = 0;🌟十六、举一反三
今天我们学的这道题，
是不是很简单？
但是很多DP：
都是从它变来的！
比如：
🎮游戏地图
🧱迷宫问题
🚗最短路径
🪙最少花费
🌳路径统计
🌟十七、本课总结
✅1、二维DP使用：
dp[i][j]✅2、状态表示：
到某个格子的方法数。
✅3、状态转移：
来自：
上面
左边
✅4、动态规划本质：
🌟利用小答案推大答案
✅5、DP最核心：
🌟状态 + 转移
🌟十八、第一阶段总结
恭喜同学们！
我们已经完成：
⚔️动态规划启蒙篇⚔️
现在同学们已经学会：
🌟递归记忆化搜索
🌟DP数组
🌟状态转移
🌟二维DP
通车们已经正式进入：
🚀动态规划的大门！
🌟下阶段预告
接下来，
我们进入：
⚔️第二阶段：线性DP⚔️
第一课：
🐸《青蛙跳台阶大赛》🐸
这次：
青蛙不止能跳2步了！
而且台阶还有坏的，不能跳！
我们再看看：
状态转移还能怎么玩！