P1209 [USACO1.3] 修理牛棚 Barn Repair

题目分析

有c头牛，s个牛棚，给出每个牛住的牛棚的编号，给出木板的最大数量，求要拦住所有的牛需要的最小总长度。

要拦住所有牛是指什么呢?

我们要所有住牛的房子都被木板覆盖到（不能有住牛的房子露在外面）。

但是：

· 最多只能用 m 块木板，即木板的块数是确定的，木板的长度是你需要控制的

· 要所有木板的总长度最短

比如：假设 m=3 块木板，牛住在 3,4,6,8,14,15,16,17

求解思路

其实在做题时，可以先不考虑限制条件，题目有时候要清晰一点

比如，先考虑

1.有无限块木板

那么只有有牛的地方覆盖

2.先考虑只有一块木板，

木板覆盖的长度就是从一个牛的窝到最后一头牛的窝

3. 1块木板增加到两块木板，从哪里断开呢，节省下来的又是哪里？

从这个图可以看出，最开始有一大块木板（红色部分）覆盖了牛住的牛棚，如果此时木板数量变为两块，最理想的状态是断开8-14中间的部分，因为这一段空的最多，断开这一部分，可以节省最大的长度。

4.2块木板增加到3块木板

这里我们断开的有两个选择，4后面断开，6后面断开，但这两处的断开都只能节省一个单位长度的木板。一样的。

综上，我的想法是

记录空格的长度，从小到大排序，选前m-1的空格长度，从总的长度中减去。

即：

从边界想：m=1 时什么样，m=c 时什么样
看增加木板能带来什么好处：发现是省掉间隔
省掉的间隔越大，节省越多 → 优先省大间隔
证明：因为间隔是独立的，选大的肯定比选小的好

这就是贪心策略的发现过程：先理解操作的影响，再找最大化收益的方式。

代码实现

cpp 复制代码

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
int cows[205], g[205],ans=0; 
int main() {
    int m, s, c;
    cin >> m >> s >> c;
    
    for (int i = 0; i < c; i++) {
        cin >> cows[i];
    }
    // 特殊情况：如果木板数量大于等于牛的数量
    // 每头牛单独一个木板，总长度就是牛的数量
    if (m >= c) {
        cout << c << endl;
        return 0;
    }
    
    sort(cows, cows + c);
    
   //（1）1个牛棚用多长的木板 
    ans = cows[c-1] - cows[0] + 1;
    
    // （2）计算相邻牛棚之间的间隔,从小到大排序 
   
    for (int i = 1; i < c; i++) {
        g[i-1] = cows[i] - cows[i-1] - 1;
    }    
    sort(g, g + c-1, greater<int>());
    
    // 减去前 m-1 个最大的间隔
    for (int i = 0; i < m-1; i++) {
        ans-= g[i];
    }
    
    cout<<ans<< endl;
    
    return 0;
}