《算法题讲解指南：动态规划算法--路径问题》--7.礼物的最大价值，8.下降路径最小和

class Solution {
public:
    int jewelleryValue(vector<vector<int>>& frame) 
    {
        //1、创建 dp 表
        //2、初始化
        //3、填表
        //4、返回值
        int m = frame.size();
        int n = frame[0].size();       

        vector<vector<int>> dp(m + 1, vector<int>(n + 1));
        for(int i = 1; i <= m; i++)
        {
            for(int j = 1; j <= n; j++)
            {
                dp[i][j] = max(dp[i - 1][j] + frame[i - 1][j - 1], dp[i][j - 1] + frame[i - 1][j - 1]);
            }
        }
        return dp[m][n];
    }
};

算法总结及流程解析：

8.下降路径最小和

题目链接：

931. 下降路径最小和 - 力扣（LeetCode）

题目描述：

题目示例：

解法(动态规划)：

算法思路：

关于这一类题，由于我们做过类似的，因此「状态表示」以及「状态转移」是比较容易分析出的。比较难的地方可能就是对于「边界条件」的处理。

1.状态表示：

对于这种「路径类」的问题，我们的状态表示一般有两种形式：

i.从 $i，j$ 位置出发，到达目标位置有多少种方式;

ii.从起始位置出发，到达 $i，j$ 位置，一共有多少种方式

这里选择第二种定义状态表示的方式：

dp $i$ $j$ 表示:到达 $i，j$ 位置时，所有下降路径中的最小和。

2.状态转移方程：

对于普遍位置 $i，j$ ，根据题意得，到达 $i，j$ 位置可能有三种情况：

i. 从正上方 $i- 1，j$ 位置转移到 $i，j$ 位置;

ii.从左上方 $i- 1，j -1$ 位置转移到 $i，j$ 位置;

iii.从右上方 $i -1，j+ 1$ 位置转移到 $i，j$ 位置;

我们要的是三种情况下的「最小值」，然后再加上矩阵在 $i，j$ 位置的值。于是dp $i$ $j$ = min(dp $i -1$ $j$ , min(dp $i - 1$ $j - 1$ , dp $i - 1$ $j +1$ )) + matrix $i$ $j$ 。

3.初始化：

可以在最前面加上一个「辅助结点」，帮助我们初始化。使用这种技巧要注意两个点：

i.辅助结点里面的值要「保证后续填表是正确的」;

ii.「下标的映射关系」。

在本题中，需要「加上一行」，并且「加上两列」。所有的位置都初始化为无穷大，然后将第一行初始化为 0 即可。

4.填表顺序：

根据「状态表示」，填表的顺序是「从上往下」。

5.返回值：

注意这里不是返回 dp $m$ $n$ 的值！

题目要求「只要到达最后一行」就行了，因此这里应该返回「dp 表中最后一行的最小值」。

C++算法代码：

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    int minFallingPathSum(vector<vector<int>>& matrix) 
    {
        //1、创建 dp 表
        //2、初始化
        //3、填表
        //4、返回值
        int m = matrix.size();
        int n = matrix[0].size();

        vector<vector<int>> dp(m + 1, vector<int>(n + 2, INT_MAX));
        //dp所有值初始化为INT_MAX是为了保证两边的边界值不会影响dp有效位置的结果
        //dp的第一行初始化成0
        for(int j = 0; j < n + 2; j++)
        {
            dp[0][j] = 0;
        }

        for(int i = 1; i <= m; i++)
        {
            for(int j = 1; j <= n; j++)
            {
                dp[i][j] = min(min(dp[i - 1][j - 1], dp[i - 1][j]), dp[i - 1][j + 1]) + matrix[i - 1][j - 1];
            }
        }
        //判断dp最后一行所有数据的最小值
        int ret = INT_MAX;//避免ret本身值影响最终结果，需避免取到ret，则初始化成最大值
        for(int j = 0; j < n + 2; j++)
        {
            ret = min(ret, dp[m][j]);
        }
        return ret;
    }
};

算法总结及流程解析：

结束语

到此，7.礼物的最大价值，8.下降路径最小和这两道算法题就讲解完了。**礼物的最大价值，通过定义dp $i$ $j$ 表示到达(i,j)位置的最大价值，状态转移方程为dp $i$ $j$ =max(dp $i-1$ $j$ ,dp $i$ $j-1$ )+grid $i$ $j$ ，采用辅助结点技巧初始化并填表；下降路径最小和，定义dp $i$ $j$ 为到达(i,j)位置的最小和，状态转移考虑上方、左上方和右上方三个来源的最小值，同样使用辅助结点处理边界条件。**希望大家能有所收获！