每个系列一本前端好书，帮你轻松学重点。
本系列来自上海交通大学硕士，华为高级算法工程师 靳宇栋 的 《Hello，算法》
常言道：大事化小，小事化了。
这不仅是解决生活问题的策略，算法领域同样用途广泛，就是"分治"。
辨别分治
分治，"分而治之"，是一种非常重要的算法策略。常基于递归实现，它包括"分"和"治"两个步骤。
- 分：递归地将原问题分解为两个或多个子问题，直至到达最小子问题。
- 治：从已知解的最小子问题开始，将子问题的解进行合并，从而构建出原问题的解。
一个问题是否适合使用分治，通常有以下判断依据。
- 可以分解：原问题可以分解成规模更小、类似的子问题，以及能够以相同方式递归地进行划分。
- 子问题独立：子问题之间没有重叠，互不依赖，可以独立解决。
- 子问题的解可合并：原问题的解可通过合并子问题的解得来。
归并排序
"归并排序"是分治策略的典型应用之一。它满足以上三个判断依据。
- 可以递归地将数组划分为两个子数组。
- 每个子数组都可以独立进行排序。
- 两个有序子数组可以合并为一个有序数组。
处理流程如下：
image
核心代码
javascript
/* 移动一个圆盘 */
function move(src, tar) {
// 从 src 顶部拿出一个圆盘
const pan = src.pop();
// 将圆盘放入 tar 顶部
tar.push(pan);
}
/* 求解汉诺塔问题 f(i) */
function dfs(i, src, buf, tar) {
// 若 src 只剩下一个圆盘，则直接将其移到 tar
if (i === 1) {
move(src, tar);
return;
}
// 子问题 f(i-1) ：将 src 顶部 i-1 个圆盘借助 tar 移到 buf
dfs(i - 1, src, tar, buf);
// 子问题 f(1) ：将 src 剩余一个圆盘移到 tar
move(src, tar);
// 子问题 f(i-1) ：将 buf 顶部 i-1 个圆盘借助 src 移到 tar
dfs(i - 1, buf, src, tar);
}
/* 求解汉诺塔问题 */
function solveHanota(A, B, C) {
const n = A.length;
// 将 A 顶部 n 个圆盘借助 B 移到 C
dfs(n, A, B, C);
}提升效率
分治不仅可以用来解决问题，还能帮助提升算法效率。
在排序算法中，快速、归并、堆排序，相较于选择、冒泡、插入排序，速度更快，就是因为采用了分治。
其底层逻辑是什么？
可以从"操作数量"和"并行计算"两方面来讨论。
- 操作数量
以"冒泡排序"为例，处理一个长度为 n 的数组需要 O(n²) 时间。
假设将数组从中点处分为两个子数组，则划分需要 O(n) 时间，排序每个子数组需要 O((n/2)²) 时间，合并两个子数组需要 O(n) 时间。
总体如下图：
最终，就是比较 n² 和 n²/2 + 2n，进一步简化，当满足 n(n-4) > 0，即n大于4时，划分后的操作数量更少，排序效率应该更高。
- 并行计算
分治生成的子问题是相互独立的，因此通常可以并行解决。
也就是说，分治不仅可以降低算法的时间复杂度，还有利于操作系统的并行优化。
并行优化在多核或多处理器的环境中尤其有效，因为系统可以同时处理多个子问题，更加充分地利用计算资源，显著减少总体运行时间。
认识汉诺塔
什么是"汉诺塔"？
给定三根柱子，记为 A、B 和 C 。
起始状态下，柱子 A 上套着 n 个圆盘，它们从上到下按照从小到大的顺序排列。
我们的任务是要把这 n 个圆盘移到柱子 C 上，并保持它们的原有顺序不变。在移动圆盘的过程中，需要遵守以下规则。
- 圆盘只能从一根柱子顶部拿出，从另一根柱子顶部放入。
- 每次只能移入一个圆盘。
- 小圆盘必须时刻位于大圆盘之上。
我们将规模为 i 的汉诺塔问题记作f(i) 。例如 f(3) 代表将 3 个圆盘从 A 移动至 C。
求解流程：
- 基本情况，只有一个盘子，直接从A到C即可；
- 两个盘子，由于需要保证顺序，就需要借助B，先将上面的小圆盘从 A 移至 B ，再将大圆盘从 A 移至 C ，最后将小圆盘从 B 移至 C。
- 三个盘子，事情开始变得复杂一些。
但是，因为已知 f(1) 和 f(2) 的解，所以我们可从分治角度思考，将A顶部的两个圆盘看作一个整体，执行下图所示的步骤。这样三个圆盘就被顺利地从 A 移至 C 了。
- 令 B 为目标柱、C 为缓冲柱，将两个圆盘从 A 移至 B 。
- 将 A 中剩余的一个圆盘从 A 直接移动至 C 。
- 令 C 为目标柱、A 为缓冲柱，将两个圆盘从 B 移至 C 。
至此，我们可总结出解决汉诺塔问题的分治策略：将原问题f(n) 划分为子问题 f(n-1) 和 f(1) ，f(n-1) 可以通过相同的方式进行递归划分，直至达到最小子问题 f(1)，f(1) 的解是已知的，只需一次移动操作即可。
常见应用
除了"汉诺塔"，分治的用途还很多。
- 寻找最近点对：该算法首先将点集分成两部分，然后分别找出两部分中的最近点对，最后找出跨越两部分的最近点对。
- 大整数乘法：例如 Karatsuba 算法，它将大整数乘法分解为几个较小的整数的乘法和加法。
- 矩阵乘法：例如 Strassen 算法，它将大矩阵乘法分解为多个小矩阵的乘法和加法。
- 求解逆序对：在一个序列中，如果前面的数字大于后面的数字，那么这两个数字构成一个逆序对。求解逆序对问题可以利用分治的思想，借助归并排序进行求解。
可以看出，分治是一种 "润物细无声" 的算法思想，隐含在各种算法与数据结构之中。
小结
本篇为大家呈现了"分治"策略的概念、代码和应用，但只作为一个引子，建立初步印象，更多内容，望各位自行拓展学习，欢迎评论交流。
更多好文第一时间接收，可关注公众号："前端说书匠"