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- [快速幂： O ( log b ) O(\log b) O(logb)](#快速幂： O ( log b ) O(\log b) O(logb))
- 逆元
快速幂： O ( log b ) O(\log b) O(logb)
数学定义
目标函数： a b m o d p a^b mod p abmodp
其中a，b，p的值都非常大(1e9+)
快速幂是一种用来高效计算幂 的方法。
如果直接计算 a b a^b ab，需要做 b − 1 b-1 b−1 次乘法，时间复杂度是 O ( b ) O(b) O(b)；
而快速幂利用指数的二进制拆分性质 ，可以把时间复杂度降为 O ( log b ) O(\log b) O(logb)。
数学原理
任意整数 b b b 都可以写成二进制形式：
b = ∑ i = 0 k c i 2 i ( c i ∈ 0 , 1 ) b = \sum_{i=0}^{k} c_i 2^i \quad (c_i \in {0,1}) b=∑i=0kci2i(ci∈0,1)
因此，
a b = a ∑ c i 2 i = ∏ i = 0 k a c i 2 i a^b = a^{\sum c_i 2^i} = \prod_{i=0}^{k} a^{c_i 2^i} ab=a∑ci2i=∏i=0kaci2i
因为 c i c_i ci 只可能是 0 0 0 或 1 1 1，所以实际上只需要把那些二进制位上为 1 1 1 的幂乘起来即可。
例如若
b = 13 = ( 1101 ) 2 = 8 + 4 + 1 b = 13 = (1101)_2 = 8 + 4 + 1 b=13=(1101)2=8+4+1
那么
a 13 = a 8 ⋅ a 4 ⋅ a 1 a^{13} = a^8 \cdot a^4 \cdot a^1 a13=a8⋅a4⋅a1
这就是快速幂的本质：
实现
代码中用了三个变量：
pow：当前底数，表示当前处理到的幂次res：当前答案b：指数，每次右移一位- 注意：一定要开long long！！！一定要开long long！！！一定要开long long！！！
cpp
ll qmi(int a, int b, int p) {
ll pow = a, res = 1;
while (b) {
if (b & 1) {
res = res * pow % p;
}
pow = pow * pow % p;
b = b >> 1;
}
return res;
}逆元
数学定义
对于整数 a a a 和模数 p p p，如果存在整数 x x x，使得
a ⋅ x ≡ 1 ( m o d p ) a \cdot x \equiv 1 \pmod{p} a⋅x≡1(modp)
则称 x x x 是 a a a 在模 p p p 意义下的乘法逆元 （简称逆元），记作：
a − 1 ≡ x ( m o d p ) a^{-1} \equiv x \pmod{p} a−1≡x(modp)
存在条件：
gcd ( a , p ) = 1 \gcd(a, p) = 1 gcd(a,p)=1
否则逆元不存在。
费马小定理
定理内容
若 p p p 是质数，且 gcd ( a , p ) = 1 \gcd(a,p)=1 gcd(a,p)=1，则：
a p − 1 ≡ 1 ( m o d p ) a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p} ap−1≡1(modp)
失效条件
费马小定理及其逆元形式必须满足以下条件：
- p p p 必须是质数
- a ≢ 0 ( m o d p ) a \not\equiv 0 \pmod{p} a≡0(modp)（即 gcd ( a , p ) = 1 \gcd(a,p)=1 gcd(a,p)=1）
若不满足：
- 当 p p p 不是质数 → 公式不成立
- 当 a ≡ 0 ( m o d p ) a \equiv 0 \pmod{p} a≡0(modp) → 逆元不存在
快速幂求逆元： O ( log p ) O(\log p) O(logp)
数学原理
基于公式：
a − 1 ≡ a p − 2 ( m o d p ) a^{-1} \equiv a^{p-2} \pmod{p} a−1≡ap−2(modp)
-
判断是否存在逆元
- 若 a ≡ 0 ( m o d p ) a \equiv 0 \pmod{p} a≡0(modp)，输出
"impossible"
- 若 a ≡ 0 ( m o d p ) a \equiv 0 \pmod{p} a≡0(modp)，输出
-
转化为幂运算
-
将问题转化为计算：
a p − 2 m o d p a^{p-2} \bmod p ap−2modp
-
cpp
ll qmi(int a, int b, int p) {
ll res = 1, pow = a;
while (b) {
if (b & 1) {
res = res * pow % p;
}
b >>= 1;
pow = pow * pow% p;
}
return res;
}
void solve() {
cin >> n;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
int a, p;
cin >> a >> p;
if (a % p) {
cout << qmi(a, p - 2, p) << endl;
}
else {
cout << "impossible" << endl;
}
}
}