2026年3月GESP真题及题解（C++七级）：物流网络
题目描述
一个物流网络由 n n n 个城市和 m m m 条双向公路组成。每条公路都有两个属性：
- 运输费用 w i w_i wi
- 景观评分 b i b_i bi
当一辆运输车从城市 1 1 1 运送货物到城市 n n n 时，需要支付经过道路的运输费用之和。
为了推广旅游线路，物流公司推出了一项优惠政策：在运输路径上，可以免除景观评分最高 的那条公路的运输费用。如果有多条公路的景观评分同为最大值，则只免除其中 一条 的费用。
请你计算，从城市 1 1 1 到城市 n n n 的最小运输费用。
输入格式
第一行两个整数 n , m n,m n,m，分别表示城市数量和公路数量。
接下来 m m m 行，每行四个整数 u , v , w , b u,v,w,b u,v,w,b，表示存在一条连接城市 u u u 和城市 v v v 的双向公路，其中 w w w 为运输费用， b b b 为景观评分。
输出格式
输出一个整数，表示从城市 1 1 1 到城市 n n n 的最小费用。
如果无法到达，输出 -1。
输入输出样例 1
输入 1
3 3
1 2 10 5
2 3 20 6
1 3 100 1输出 1
0说明/提示
样例解释
路径 1 → 2 → 3 1\to 2\to 3 1→2→3：费用 10 + 20 10+20 10+20，最大美丽值 6 6 6（边 2 − 3 2-3 2−3）。免除 20 20 20，总花费 10 10 10。
路径 1 → 3 1\to 3 1→3：费用 100 100 100，最大美丽值 1 1 1（边 1 − 3 1-3 1−3）。免除 100 100 100，总花费 0 0 0。
数据范围
1 ≤ n ≤ 5000 1\leq n\leq 5000 1≤n≤5000， 1 ≤ m ≤ 5000 1\leq m\leq 5000 1≤m≤5000， 1 ≤ w , b ≤ 10 9 1\leq w,b\leq 10^9 1≤w,b≤109。
思路分析
题目要求从城市 1 到城市 n 找一条路径，可以免除路径上景观评分最高的一条边的费用，求最小总费用。
核心思路是枚举哪条边被免除 。对于每条边 e(u,v,w,b)，如果它作为路径上评分最高的边，那么路径上所有边的评分都不超过 b，并且必须经过 e。
此时总费用 = (路径总费用) - w。在满足评分限制的子图中，经过 e 的最短路径费用可以表示为：
min( (1→u 的最短路不含 e) + w + (v→n 的最短路不含 e), (1→v 的最短路不含 e) + w + (u→n 的最短路不含 e) )
减去 w 后得到候选值 min( d1[u] + d2[v], d1[v] + d2[u] )，其中 d1、d2 是在评分 ≤ b 且不含 e 的子图上计算的最短路。
由于边数 ≤ 5000，我们可以将边按评分排序，然后逐批加入子图。对于每一批相同评分的边，先将它们加入子图，再对该批中的每条边分别运行两次 Dijkstra（排除自身）来计算候选值，并更新答案。总复杂度 O(m² log n)，在本题数据范围内可行。
代码实现
cpp
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;
const int N = 5005; // 最大城市数
const int M = 5005; // 最大边数
const ll INF = 1e18; // 无穷大
struct Edge { // 邻接表中的边
int v; // 邻接点
ll w; // 费用
int id; // 边的原始编号
};
struct E { // 原始边信息
int u, v, w, b, id;
} e[M];
vector<Edge> adj[N]; // 邻接表（动态添加边）
int n, m;
bool cmp(E x, E y){
return x.b<y.b;
}
// Dijkstra 求从 s 出发，跳过编号为 skip 的边的最短距离数组 d[]
void dijkstra(int s, int skip, ll d[]) {
for (int i = 1; i <= n; ++i) d[i] = INF;
d[s] = 0;
priority_queue<pair<ll, int>, vector<pair<ll, int>>, greater<pair<ll, int>>> pq;
pq.push({0, s});
while (!pq.empty()) {
auto [dis, u] = pq.top(); pq.pop();
if (dis != d[u]) continue;
for (auto &ed : adj[u]) {
if (ed.id == skip) continue; // 跳过被免除的边
int v = ed.v;
ll nd = dis + ed.w;
if (nd < d[v]) {
d[v] = nd;
pq.push({nd, v});
}
}
}
}
int main() {
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0);
cin >> n >> m;
for (int i = 0; i < m; ++i) {
int u, v, w, b;
cin >> u >> v >> w >> b;
e[i] = {u, v, w, b, i}; // 保存原始编号 i
}
// 按评分 b 升序排序
sort(e, e + m, cmp);
ll ans = INF;
// 逐批处理相同评分的边
for (int i = 0; i < m; ) {
int j = i;
while (j < m && e[j].b == e[i].b) ++j;
// 先将这一批所有边加入邻接表（子图扩大）
for (int k = i; k < j; ++k) {
int u = e[k].u, v = e[k].v, w = e[k].w, id = e[k].id;
adj[u].push_back({v, w, id});
adj[v].push_back({u, w, id});
}
// 对这批中的每条边，分别作为被免除边计算候选值
for (int k = i; k < j; ++k) {
int skip = e[k].id; // 当前被免除的边的编号
int u = e[k].u, v = e[k].v;
ll d1[N], d2[N];
dijkstra(1, skip, d1); // 从 1 出发，不含 skip
dijkstra(n, skip, d2); // 从 n 出发，不含 skip
// 两种方向经过 skip 边
if (d1[u] < INF && d2[v] < INF)
ans = min(ans, d1[u] + d2[v]);
if (d1[v] < INF && d2[u] < INF)
ans = min(ans, d1[v] + d2[u]);
}
i = j; // 处理下一批
}
if (ans == INF) cout << "-1\n";
else cout << ans << "\n";
return 0;
}功能分析
-
数据结构
E存储原始边（起点、终点、费用、评分、编号），用于排序和后续查询。Edge存储在邻接表中（邻接点、费用、编号），便于 Dijkstra 中快速跳过指定边。adj[]为动态邻接表，随着评分升高逐步添加边，保证子图单调扩大。
-
核心算法
- 排序：按评分升序排列，确保处理到某条边时，所有评分更小的边都已加入子图。
- 分批处理：相同评分的边同时加入子图，然后对该批中的每条边分别计算候选值。
- Dijkstra：对每条边执行两次（起点 1 和起点 n），并跳过当前被免除的边，得到两个距离数组。
- 候选值计算 ：两种方向
d1[u]+d2[v]和d1[v]+d2[u]取最小值，更新全局答案。
-
复杂度
- 最多进行
2m次 Dijkstra（每条边两次），每次 Dijkstra 遍历当前子图的所有边（平均约m/2条），堆操作O(当前边数 log n)。 - 总时间复杂度
O(m² log n)≈5000² × 12 ≈ 3×10⁸。 - 空间复杂度
O(n+m)，邻接表存储所有边。
- 最多进行
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cpp
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
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return 0;
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· 文末祝福 ·
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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
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cout<<" csp信奥赛一等奖属于你! ";
return 0;
}