一、为什么要融合？
先看两个方法的本质：
格雷码（Gray Code）
优点：稳定、不易误码
缺点：只能整数精度（像素级）
输出：
相位移（Phase Shift）
优点：亚像素精度（0.01 pixel）
缺点：周期性 → 会"跳变"
输出：
相位不知道属于哪个周期（2π歧义）
二、核心思想（关键）
格雷码 → 确定周期编号
相位 → 确定周期内位置
工业流程
1 投影 Gray Code
2 投影 Phase Shift（3/4/5步相移）
方法 优点 3步 快 4步 抗噪好 5步 精度更高 3 相机采集
4 Gray 解码 → k
5 Phase 计算 → φ
6 相位展开 → Φ = 2πk + φ
7 三角测量 → 3D
三、相位移数学原理
以 **三步相移（3-step）**为例：
投影：
解相位
这是 包裹相位（wrapped phase）
相位展开
问题：
φ 是周期性的
例如：
真实： 7π
测量： π
用 Gray Code 解：
格雷码得到：
k = 周期编号
最终：
得到：
绝对相位（Absolute Phase）
四、空间坐标恢复
投影仪列坐标：
然后：
相机点 ↔ 投影仪点
做：
三角测量（Triangulation）
得到： XYZ
精度分析
工业优化
多步相移（推荐）
| 方法 | 优点 |
|---|---|
| 3步 | 快 |
| 4步 | 抗噪好 |
| 5步 | 精度更高 |
正反投影
pattern + inverse 提升鲁棒性
相位滤波
Gaussian / Median
阴影掩码
低亮度区域剔除
五、案例
相机分辨率：1280 × 1024
投影仪分辨率：1024 × 768
测量物体：金属台阶（有高度差）
目标：
恢复每个像素对应的 3D 坐标 (X,Y,Z)
投影阶段
投影 Gray Code
投影 10位格雷码（因为 1024=2¹⁰）
需要 10 张图（正码）
- 10 张图（反码）
= 20 张
投影相位移（Phase Shift）
分析单个点P
1、gray code 解码
假设该像素在 10 张 Gray 图中：
cpp
1 1 0 1 0 0 1 0 1 12、转换为二进制
cpp
Gray: 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1
Binary:1 0 0 1 1 1 0 0 1 03、转十进制
k = 570 表示：该点属于第 570 条投影列（粗定位）
相位计算
该像素在4张相移图中的灰度：
I1 = 120
I2 = 200
I3 = 130
I4 = 60
计算相位
cpp
包裹相位：φ ∈ (-π, π]相位展开（核心）
格雷码给出：
k = 570
绝对相位
投影仪坐标恢复
投影宽度： W = 1024
投影列坐标
投影列坐标 = 569.74 pixel（亚像素）
计算深度
相机内参
投影仪内参（当成"反向相机"）
fx_p = 1000
fy_p = 1000
cx_p = 512
cy_p = 384
外参（投影仪相对于相机）
R = I（简化）
T = 100, 0, 0 mm
表示：
投影仪在相机右边 100 mm
已知观测（来自Gray+Phase）
相机看到：
u = 700
v = 500
投影仪对应：
xp = 569.74（亚像素）
yp = 400
像素 → 归一化坐标
相机光线方向
cpp
x_c = (700 - 640)/1200 = 0.05
y_c = (500 - 512)/1200 ≈ -0.01相机光线：
投影仪光线
投影光线（在投影仪坐标系）：
坐标统一到相机坐标系
投影仪位置：
C_p = (100, 0, 0)
求两条线最近点（核心）
理想情况：
两条线相交
实际：
求最小距离点
解方程
cpp
从：
-0.01t = 0.016s
→ s = -0.625t
代入 x 方程：
0.05t = 100 + 0.0577(-0.625t)
0.05t = 100 - 0.036t
0.086t = 100
t ≈ 1162.8求3D坐标
最终结果
(X,Y,Z) ≈ (58.1, -11.6, 1162.8) mm
误差分析
相位误差
Gray错误（最危险）
如果：
k = 570 → 571
误差：
≈ 1 pixel
放大后：
严重误差（跳变）