本文设计知识点
预备知识：三角和差公式
sin ( α ± β ) = sin α cos β ± cos α sin β \sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha \cos\beta \pm \cos\alpha \sin\beta sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ正弦和公式
cos ( α + β ) = cos α cos β − sin α sin β \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ余弦和公式
cos ( α − β ) = c o s α cos β + sin α sin β \cos(\alpha-\beta)=cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta cos(α−β)=cosαcosβ+sinαsinβ 余弦差公式
积化和差
sin α sin β = 1 2 c o s ( α − β ) − cos ( α + β ) \sin \alpha\sin \beta=\frac 1 2cos(\\alpha-\\beta)-\\cos(\\alpha+\\beta) sinαsinβ=21cos(α−β)−cos(α+β)式子一
cos α cos β = 1 2 cos ( α + β ) + cos ( α − β ) \cos \alpha\cos \beta=\frac 1 2\\cos(\\alpha+\\beta)+\\cos(\\alpha-\\beta) cosαcosβ=21cos(α+β)+cos(α−β)式子二
sin a cos β = 1 2 sin ( α + β ) + sin ( α − β ) \sin a\cos \beta=\frac 1 2\\sin(\\alpha+\\beta)+\\sin(\\alpha-\\beta) sinacosβ=21sin(α+β)+sin(α−β) 式子三
式子一证明：
右式= 1 2 cos α cos β + sin a sin β − cos α cos β + sin α sin β = sin α sin β \frac 1 2\\cos \\alpha\\cos \\beta+\\sin a\\sin \\beta-\\cos\\alpha\\cos\\beta+\\sin\\alpha\\sin\\beta=\sin\alpha\sin \beta 21cosαcosβ+sinasinβ−cosαcosβ+sinαsinβ=sinαsinβ
令 x = sin α sin β , y = cos α cos β , z = sin a cos β x=\sin \alpha\sin \beta ,y=\cos \alpha\cos \beta, z= \sin a\cos \beta x=sinαsinβ,y=cosαcosβ,z=sinacosβ
式子二右式= 1 2 ( y − x + y + x ) = y \frac 1 2(y-x+y+x)=y 21(y−x+y+x)=y
式子三右式= 1 2 ( z − w + z − w ) = z \frac 1 2(z-w+z-w)=z 21(z−w+z−w)=z
特别的 α = β \alpha=\beta α=β
sin 2 a = 1 2 ( 1 − cos 2 α ) \sin^2a=\frac 1 2 (1-\cos 2\alpha) sin2a=21(1−cos2α)
cos 2 a = 1 2 ( cos 2 α + 1 ) \cos^2a=\frac 1 2(\cos 2\alpha +1) cos2a=21(cos2α+1)
sin α cos α = 1 2 sin 2 α \sin\alpha \cos\alpha=\frac 1 2 \sin 2\alpha sinαcosα=21sin2α
积化和差
sin α + sin β = 2 sin ( α + β 2 ) cos α − β 2 \sin \alpha+\sin \beta=2\sin(\frac {\alpha + \beta} 2)\cos\frac{\alpha-\beta}2 sinα+sinβ=2sin(2α+β)cos2α−β 式子一
sin α − sin β = 2 cos ( α + β 2 ) sin α − β 2 \sin \alpha-\sin \beta=2\cos(\frac {\alpha + \beta} 2)\sin\frac{\alpha-\beta}2 sinα−sinβ=2cos(2α+β)sin2α−β 式子二
cos α + cos β = 2 cos ( α + β 2 ) cos α − β 2 \cos \alpha+\cos \beta=2\cos(\frac {\alpha + \beta} 2)\cos\frac{\alpha-\beta}2 cosα+cosβ=2cos(2α+β)cos2α−β 式子三
cos α − cos β = − 2 sin ( α + β 2 ) sin α − β 2 \cos \alpha-\cos \beta=-2\sin(\frac {\alpha + \beta} 2)\sin\frac{\alpha-\beta}2 cosα−cosβ=−2sin(2α+β)sin2α−β 式子四
式子一右式= sin α + sin β \sin \alpha+\sin \beta sinα+sinβ 利用积化和差，其它三个式子也可以用积化和差证明。
扩展阅读
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测试环境
操作系统：win7 开发环境： VS2019 C++17
或者 操作系统：win10 开发环境： VS2022 C++17
如无特殊说明，本算法用**C++**实现。