1、特征值、特征向量的定义
是个n阶矩阵，
是一个数，存在一个非零向量
，使得
那么称是
的特征值，
是
的对应与特征值
的特征向量。
1.1、如何求解特征值和特征向量 
是特征方程，可以求出
例题：
，求特征值和特征向量
解：
，解出
,再带入求出特征向量；
我们列举一下为10的特征向量例子
把10带入，得到矩阵
现在我们要把这个矩阵化简为行阶梯矩阵，由于这个矩阵是带入特征值，所以它一定不是满秩的，我们可以看出它的秩就是2,直接把一行写成0，再进行化简就简单多了。
1.2、如何快速求解特征方程的根
①我们直接使用特征值的性质提取出一个公因子
②看出0,1,-1,2，-2这些显然的因子，然后再使用多项式的带余除法
③如果多项式的系数都是整数，则有理根一定都是整数，且均是常数项的因子
2、特征值的性质
①是
的特征值
，如果给了
，可以带入求
中的未知数。
②若则
是
的特征值
③若是
的特征值，则
证明：
、
、
3、特征向量的性质
①是
的属于
的特征向量
是
的非零解。可以用来求A中的未知数
②重特征值
至多只有
个线性无关的特征向量（其次方程的基础解系数量为k）。
③若是
的属于不同特征值
、
的特征向量，则
线性无关。
④若是
的属于不同特征值
、
的特征向量，则当
,
不是
的任何特征值的特征向量。（常考
情形）
⑤ 一个特征向量是不能属于两个不同的特征值的。
4、常用矩阵的特征值和特征向量
①，由于
，所以伴随矩阵的特征值等于任意两个特征值的乘积。
②
③的特征值还是
，但是特征向量需要重新计算。
对于一个秩为1的矩阵，其特征值
证明：
因为，所以
，则
，故0为
的特征值。
，根据前面的特征向量的性质，0至少为n-1重根。
5、矩阵的相似（重点）
定义：设是两个
阶方阵，若存在
阶可逆矩阵
，使得
，则称
相似于
，记成
5.1、相似矩阵的性质
这些性质即使全满足也不能推出两个矩阵是相似的，还需要从定义出发
①
②
③；由下面的④推过来
④（或
）
⑤
⑥各阶主子式之和分别相等
5.2、重要结论
①若，则
对于除转置外的相似，他们用的都是相同的手段，即P相同。
②若，则
5.3、如何证明两个矩阵相似
①定义法：找出P使得，
②传递法（后面重点）：，则
③性质（只能证否）
6、矩阵的相似对角化
若存在n阶可逆矩阵P，使得，其中B是对角矩阵 ，则称A可相似对角化，记作
，称B是A的相似标准型
6.1相似对角化的条件
①A可以相似对角化A有n个线性无关的特征向量
②A可以相似对角化A对应于每个
重特征值都有
个线性无关的特征向量
③n阶矩阵A有n个不同的特征向量A可以相似对角化
④n阶矩阵A为实对称矩阵A可以相似对角化（后面证明）
6.2、求可逆矩阵P，使得
①求的特征值**
**
②求n个特征值对应的线性无关的特征向量
③令，则
6.3、判别一个矩阵是否相似于对角矩阵
①判断是否是实对称矩阵，实对称矩阵必相似于对角矩阵
②特征值是否都是实单根
③特征值是重根，若对应有
个线性无关的特征向量，则相似于对角矩阵；若对应的线性无关的特征向量少于
个，则不能相似于对角矩阵。
回顾之前的结论，
无论对于A，B是否可逆都满足
6.4、可以求解哪些问题
①求一个矩阵的高次幂
②已知特征值和特征向量，可以求A矩阵
7、实对称矩阵的相似对角化
7.1、实对称矩阵的性质
①实对称矩阵的不同特征值的特征向量正交。 
②相同特征值的特征向量可能正交 也可能线性无关
③对于任意的阶实对称矩阵
，存在
阶正交矩阵
，使得
这里的是
的特征向量**正交化、单位化（其实只有特征值相同的需要）**后的矩阵；这里因为特征值相同时，把两个向量正交，依然是原来的空间，所以不影响。
实对称矩阵一定可以通过正交矩阵相似对角化，普通矩阵一定不能。 
7.2、实对称矩阵相似对角化的基本步骤
①求的特征值**
**
②求特征值对应的特征向量
③将正交化（若需要的话）、单位化为
④令 ，则
为正交矩阵，且
施密特正交化公式：
设线性无关但不正交，令