以规范势为基本量的规范场论：电磁相互作用与宏观量子态的统一框架
Gauge Field Theory with Gauge Potential as the Fundamental Quantity: A Unified Framework for Electromagnetic Interactions and Macroscopic Quantum States
作者：Figo Cheung ＆ Figo AI team
摘要
电磁理论的传统表述以电场 E\mathbf{E}E 和磁场 B\mathbf{B}B 为基本物理量，这一框架在经典电动力学中取得了巨大成功。然而，量子力学中的阿哈罗诺夫-玻姆效应以及凝聚态物理中对称性自发破缺的发现，揭示了规范势 Aμ=(ϕ/c,A)A^\mu = (\phi/c, \mathbf{A})Aμ=(ϕ/c,A) 具有比场强 E\mathbf{E}E 、 B\mathbf{B}B 更根本的物理地位。本文系统构建了以规范势 AμA^\muAμ 为基本量的规范场论（ Gauge Potential Field Theory，GPFT）框架 。我们首先提出三条公理：规范势公理（ E、B\mathbf{E} 、 \mathbf{B}E、B 为导出量） 、规范对称性公理（物理可观测量规范不变） 、量子化公理（规范势的量子涨落是电磁相互作用的最终源头） 。基于此，我们推导了磁场的几何结构（ ∇⋅B=0\nabla \cdot \mathbf{B} = 0∇⋅B=0 ，磁感线为 A\mathbf{A}A 的旋度线），揭示了洛伦兹力与坡印廷能流的规范起源，并证明能量传输方向垂直于电场与磁场，不沿磁感线。进一步，我们将规范对称性的自发破缺统一描述超导（U(1) 规范对称性破缺）与铁磁（自旋旋转对称性破缺），指出永磁铁的磁场源于电子自旋的量子有序排列，是系统基态的固有属性而非外源维持。最后，我们讨论了静态磁场不耗能的热力学本质与动态过程中熵增的单向性。本理论为电磁学、量子场论与凝聚态物理的深度融合提供了自洽的统一图景，并为拓扑物态、磁单极子、早期宇宙电磁涨落等前沿课题奠定了基础。
关键词：规范势；U(1) 规范场论；阿哈罗诺夫-玻姆效应；对称性自发破缺；超导；铁磁；坡印廷能流；热力学第二定律
1. 引言
电磁理论是物理学最成功的基石之一。从法拉第、麦克斯韦到现代量子电动力学，电磁相互作用的理解不断深化。麦克斯韦方程组以电场 E\mathbf{E}E 和磁场 B\mathbf{B}B 为核心变量，成功统一了电、磁、光现象，并预言了电磁波的存在。然而，这一经典表述在量子层面遭遇了概念性挑战：它是否触及了电磁相互作用的终极本质？电场和磁场是否是最基本的物理实体？
1959年，阿哈罗诺夫与玻姆 1 提出了一个深刻的思想实验，随后被实验证实：当电子束通过一个被磁通量包围但磁场为零的区域时，干涉条纹会发生移动。电子波函数的相位差由 ∮A⋅dl\oint \mathbf{A} \cdot d\mathbf{l}∮A⋅dl 决定，尽管路径上的磁场 B=0\mathbf{B} = 0B=0 。这一效应表明，磁矢势 A\mathbf{A}A 具有独立于 B\mathbf{B}B 的可观测物理效应，不能被视为仅为数学便利而引入的辅助量。阿哈罗诺夫-玻姆效应迫使人们重新审视电磁理论的基本变量：规范势 Aμ=(ϕ/c,A)A^\mu = (\phi/c, \mathbf{A})Aμ=(ϕ/c,A) 可能比场强 E、B\mathbf{E} 、 \mathbf{B}E、B 更为基本。
与此同时，凝聚态物理的发展揭示了规范对称性自发破缺的核心作用。金兹堡-朗道理论 2 将超导相变描述为 U(1) 规范对称性的自发破缺，伦敦方程 3 则直接用矢势 A\mathbf{A}A 描述迈斯纳效应。铁磁体则是自旋旋转对称性自发破缺的典型范例 4。这些进展暗示，规范势及其对称性破缺可能是统一描述电磁现象与宏观量子态的关键。
本文旨在构建一个以规范势 AμA^\muAμ 为基本量的规范场论框架，从第一性原理出发，自洽地解释电磁场的基本性质、洛伦兹力与能量传输、超导与铁磁的宏观量子态，以及热力学约束。我们将论证：
· 规范势 AμA^\muAμ 是电磁相互作用的根本实体 ，电场和磁场是其导出量；
· 磁感线是规范势的旋度线 ，闭环性质源于 ∇⋅B=0\nabla \cdot \mathbf{B} = 0∇⋅B=0 ；
· 洛伦兹力与坡印廷能流的方向垂直于磁场 ，源于规范势的旋度结构；
· 超导与铁磁统一于对称性自发破缺 ，区别在于破缺的对称性类型；
· 静态磁场处于热力学基态，不耗能；动态过程导致熵增，能量单向流动。
通过这一体系，我们期望为电磁学、量子场论与凝聚态物理的深度融合提供统一视角，并为未来探索拓扑物态、磁单极子、早期宇宙电磁涨落等前沿领域奠定理论基础。
2. 基本公理体系
2.1 第一公理：规范势的基本性
公理 1（规范势公理） ：电磁相互作用的根本实体是四维规范势 Aμ=(ϕ/c,A)A^\mu = (\phi/c, \mathbf{A})Aμ=(ϕ/c,A) ，其中 ϕ\phiϕ 为标势， A\mathbf{A}A 为矢势。电场和磁场是规范势的导出量：
E=−∇ϕ−∂A∂t,B=∇×A.(1)\mathbf{E} = -\nabla \phi - \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}, \qquad \mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A}. \tag{1}E=−∇ϕ−∂t∂A,B=∇×A.(1)
物理含义 ：规范势 AμA^\muAμ 是比 E、B\mathbf{E} 、 \mathbf{B}E、B 更基本的自由度。阿哈罗诺夫-玻姆效应提供了直接证据：在 B=0\mathbf{B} = 0B=0 的区域， A\mathbf{A}A 仍能影响电子干涉条纹。这体现了规范势的物理实在性。
2.2 第二公理：规范对称性
公理 2（规范对称性公理） ：物理可观测量在规范变换下保持不变。规范变换为：
A→A+∇χ,ϕ→ϕ−∂χ∂t,(2)\mathbf{A} \rightarrow \mathbf{A} + \nabla \chi, \qquad \phi \rightarrow \phi - \frac{\partial \chi}{\partial t}, \tag{2}A→A+∇χ,ϕ→ϕ−∂t∂χ,(2)
其中 χ(r,t)\chi(\mathbf{r}, t)χ(r,t) 是任意标量函数。在此变换下， E和B\mathbf{E} 和 \mathbf{B}E和B 不变。
物理含义：规范对称性不是冗余的自由度，而是电磁相互作用的基本结构。它决定了电磁力的形式，并通过诺特定理导出电荷守恒。规范势的选取具有任意性，但所有物理结果必须规范不变。这一对称性是后续讨论对称性破缺的出发点。
2.3 第三公理：量子化与涨落
公理 3（量子化公理） ：规范势 AμA^\muAμ 是量子场，其激发态对应光子。真空中存在规范势的量子涨落，表现为零点能，是电磁相互作用的最终源头。
物理含义：即使在无粒子、无经典场的真空中，规范势的量子涨落仍然存在。卡西米尔效应等实验证实了这种涨落的物理实在性。这一公理将经典规范场论与量子电动力学衔接，并为宇宙早期电磁涨落等课题提供了基础。
3. 几何结构与物理性质
3.1 磁场的旋度性与无源性
由公理 1 直接导出：
∇⋅B=∇⋅(∇×A)=0.(3)\nabla \cdot \mathbf{B} = \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{A}) = 0. \tag{3}∇⋅B=∇⋅(∇×A)=0.(3)
这一关系在几何上意味着磁感线没有起点和终点，必须形成闭合回路或延伸到无穷远。磁感线并非独立于 A\mathbf{A}A 的实体，而是规范势的旋度线------描述的是 A\mathbf{A}A 在空间中的涡旋结构。类比流体力学，若将 A\mathbf{A}A 视为流速场，则 B\mathbf{B}B 对应于涡度场。
推论 ：若自然界存在磁单极子，则 ∇⋅B=ρm\nabla \cdot \mathbf{B} = \rho_m∇⋅B=ρm （磁荷密度），此时规范势必须具有狄拉克弦等拓扑缺陷。实验迄今未发现磁单极子，表明规范势的旋度场在自然界中无源。
3.2 电场的时空梯度性
电场由标势和矢势共同决定：
E=−∇ϕ−∂A∂t.(4)\mathbf{E} = -\nabla \phi - \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}. \tag{4}E=−∇ϕ−∂t∂A.(4)
在静态情况（ ∂A/∂t=0\partial \mathbf{A}/\partial t = 0∂A/∂t=0 ）下，电场退化为标势的梯度，对应于电势能。在动态情况中，矢势的时间变化贡献感应电场，体现了电场与磁场的耦合。
3.3 规范势的拓扑性质
考虑一个闭合路径包围磁通量 Φ=∫B⋅dS\Phi = \int \mathbf{B} \cdot d\mathbf{S}Φ=∫B⋅dS ，由斯托克斯定理：
∮A⋅dl=∫(∇×A)⋅dS=Φ.(5)\oint \mathbf{A} \cdot d\mathbf{l} = \int (\nabla \times \mathbf{A}) \cdot d\mathbf{S} = \Phi. \tag{5}∮A⋅dl=∫(∇×A)⋅dS=Φ.(5)
在阿哈罗诺夫-玻姆效应中，电子波函数沿两条路径的相位差为：
Δθ=eℏ∮A⋅dl=eℏΦ.(6)\Delta \theta = \frac{e}{\hbar} \oint \mathbf{A} \cdot d\mathbf{l} = \frac{e}{\hbar} \Phi. \tag{6}Δθ=ℏe∮A⋅dl=ℏeΦ.(6)
该相位差是规范势拓扑性质的直接体现，与路径的具体形状无关，仅依赖于磁通量。这表明规范势在量子力学中具有直接可观测的效应，即使其旋度为零的区域亦然。
4. 力与能量的规范理论
4.1 洛伦兹力的规范起源
运动电荷在电磁场中受洛伦兹力：
F=q(E+v×B).(7)\mathbf{F} = q(\mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B}). \tag{7}F=q(E+v×B).(7)
将 B=∇×A\mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A}B=∇×A 代入，得：
v×(∇×A)=∇(v⋅A)−(v⋅∇)A.(8)\mathbf{v} \times (\nabla \times \mathbf{A}) = \nabla(\mathbf{v} \cdot \mathbf{A}) - (\mathbf{v} \cdot \nabla)\mathbf{A}. \tag{8}v×(∇×A)=∇(v⋅A)−(v⋅∇)A.(8)
关键性质 ：磁力垂直于速度 v\mathbf{v}v 和磁场 B\mathbf{B}B ，因此不做功。这是规范势旋度结构的直接后果：力不沿磁感线，与梯度场（如重力场、静电场）形成根本区别。
4.2 能量密度与坡印廷能流
电磁场的能量密度为：
u=ϵ02E2+12μ0B2.(9)u = \frac{\epsilon_0}{2} E^2 + \frac{1}{2\mu_0} B^2. \tag{9}u=2ϵ0E2+2μ01B2.(9)
能流密度由坡印廷矢量给出：
S=1μ0E×B.(10)\mathbf{S} = \frac{1}{\mu_0} \mathbf{E} \times \mathbf{B}. \tag{10}S=μ01E×B.(10)
重要推论 ：能流方向垂直于 E\mathbf{E}E 和 B\mathbf{B}B ，因此不沿磁感线。在直流电路中，能量传输发生在导线外部的电磁场中，方向从电源指向负载，而非沿导线内部。这一结论揭示了"能量沿导线流动"的直观图像是错误的------真正的能流是通过规范势的场结构在空间中以 E×B\mathbf{E} \times \mathbf{B}E×B 的形式传输。
4.3 能量守恒与功
从麦克斯韦方程组可导出能流守恒方程：
∂u∂t+∇⋅S=−J⋅E.(11)\frac{\partial u}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{S} = -\mathbf{J} \cdot \mathbf{E}. \tag{11}∂t∂u+∇⋅S=−J⋅E.(11)
右边项 J⋅E\mathbf{J} \cdot \mathbf{E}J⋅E 表示电场对电流做功（焦耳热），是能量从电磁场转化为其他形式的通道。静态场（ ∂u/∂t=0\partial u/\partial t = 0∂u/∂t=0 ）中，若 J=0\mathbf{J} = 0J=0 ，则 ∇⋅S=0\nabla \cdot \mathbf{S} = 0∇⋅S=0 ，能流形成闭合环路，不产生净能量输运。这正是永磁铁周围磁场能流的表现。
5. 对称性破缺与宏观量子态
5.1 超导：U(1) 规范对称性的自发破缺
在超导体中，库珀对凝聚形成宏观波函数 ψ=nseiθ\psi = \sqrt{n_s} e^{i\theta}ψ=ns eiθ 。金兹堡-朗道自由能密度为 2：
f=12m∣(−iℏ∇−e∗A)ψ∣2+α∣ψ∣2+β2∣ψ∣4+B22μ0.(12)f = \frac{1}{2m} |(-i\hbar\nabla - e^* \mathbf{A})\psi|^2 + \alpha |\psi|^2 + \frac{\beta}{2} |\psi|^4 + \frac{B^2}{2\mu_0}. \tag{12}f=2m1∣(−iℏ∇−e∗A)ψ∣2+α∣ψ∣2+2β∣ψ∣4+2μ0B2.(12)
当温度低于临界温度 TcT_cTc 时， α<0，∣ψ∣≠0\alpha < 0 ， |\psi| \neq 0α<0，∣ψ∣=0 ，U(1) 规范对称性自发破缺。变分可得超导电流：
Js=e∗m(ℏiψ∗∇ψ−ℏiψ∇ψ∗)−e∗2mA∣ψ∣2.(13)\mathbf{J}_s = \frac{e^*}{m} \left( \frac{\hbar}{i} \psi^* \nabla \psi - \frac{\hbar}{i} \psi \nabla \psi^* \right) - \frac{e^{*2}}{m} \mathbf{A} |\psi|^2. \tag{13}Js=me∗(iℏψ∗∇ψ−iℏψ∇ψ∗)−me∗2A∣ψ∣2.(13)
选取规范使 θ=0\theta = 0θ=0 ，得伦敦方程 3：
Js=−nse∗2mA.(14)\mathbf{J}_s = -\frac{n_s e^{*2}}{m} \mathbf{A}. \tag{14}Js=−mnse∗2A.(14)
结合安培定律，导出迈斯纳效应：磁场指数衰减进入超导体，穿透深度 λL=m/(μ0nse∗2)\lambda_L = \sqrt{m/(\mu_0 n_s e^{*2})}λL=m/(μ0nse∗2) 。从规范场论视角看，超导体的规范对称性破缺使光子获得有效质量（对应 1/λL1/\lambda_L1/λL），表现为磁场被排斥。
5.2 铁磁：自旋旋转对称性的自发破缺
铁磁体的序参量为自发磁化强度 M\mathbf{M}M ，其大小在居里温度 TcT_cTc 以下非零，破缺了自旋旋转对称性（SO(3)）。与超导不同，铁磁不涉及 U(1) 规范对称性破缺，但两者均属于对称性自发破缺的宏观量子态。
在微观上，铁磁性源于电子之间的交换相互作用，使自旋倾向于平行排列。海森堡模型 4 可描述这一现象。当系统从高温顺磁态降温至 TcT_cTc 以下时，发生相变，自旋自发对齐，产生宏观磁化。这一有序态的建立伴随着向环境排出熵，系统进入能量更低的基态。
5.3 永磁铁的本质
永磁铁是铁磁有序态的宏观表现。其磁场来源于电子自旋的量子有序排列（交换相互作用），而非自由电子的宏观电流。在规范场论视角下，永磁铁的磁场对应于规范势 A\mathbf{A}A 的旋度场，其源是磁化电流 Jm=∇×M\mathbf{J}_m = \nabla \times \mathbf{M}Jm=∇×M ，这是束缚电流而非传导电流。
关键区别：
· 永磁铁 ：磁场源于自旋有序，是系统的量子基态属性，处于热力学平衡，无需外部能量维持。
· 电磁铁：磁场源于自由电子运动，是外部能量输入维持的非平衡态。
6. 热力学约束
6.1 静态场与熵
对于静态电磁场（ ∂/∂t=0\partial/\partial t = 0∂/∂t=0 ），若 J=0\mathbf{J} = 0J=0 ，则 ∇⋅S=0\nabla \cdot \mathbf{S} = 0∇⋅S=0 ，能流形成闭合环路，无净能量输运。永磁铁周围的静态磁场属于此类------它不消耗能量，不产生熵，因此能"永久"存在。热力学上，永磁铁的铁磁态是系统的能量基态，已处于热力学平衡。
6.2 动态过程与熵增
当磁场随时间变化时，法拉第定律 ∇×E=−∂B/∂t\nabla \times \mathbf{E} = -\partial \mathbf{B}/\partial t∇×E=−∂B/∂t 感应出电场，在导体中产生电流并导致焦耳热。磁化过程中的能量损耗由磁滞回线面积给出：
W=∮H⋅dB.(15)W = \oint \mathbf{H} \cdot d\mathbf{B}. \tag{15}W=∮H⋅dB.(15)
每单位体积每周期损耗的能量转化为热，导致熵增。热力学第二定律要求：
∮dQT≥0,(16)\oint \frac{dQ}{T} \geq 0, \tag{16}∮TdQ≥0,(16)
这意味着能量单向流动（从高能态到低能态）是动态过程的必然方向。磁场变化所释放的能量最终转化为热，熵增。
6.3 有序态的形成：熵的排出
超导态和铁磁态的形成都需要降温（向环境排出热量），即系统熵减少。这一过程不违反热力学第二定律，因为环境吸收了排出的熵。有序态是系统在低能下的基态，具有比无序态更低的熵和能量。因此，宏观量子态的本质是系统通过对称性自发破缺达到的低熵有序状态。
7. 统一图景与核心命题
7.1 三个层次的整合
| 层次 | 核心概念 | 数学结构 | 关键物理 |
|---|---|---|---|
| 量子场论 | U(1) 规范势 AμA^\muAμ、虚光子 | 规范对称性、费曼图 | 电磁相互作用的基本描述 |
| 经典电动力学 | E\mathbf{E}E 、 B\mathbf{B}B 、坡印廷矢量 | 麦克斯韦方程组 | 宏观电磁现象、能量传输 |
| 凝聚态物理 | 对称性破缺、序参量 | 金兹堡-朗道理论、伦敦方程 | 超导、铁磁等宏观量子态 |
7.2 核心命题
- 规范势优先性 ： AμA^\muAμ 是基本量， E\mathbf{E}E 和 B\mathbf{B}B 是其派生量。阿哈罗诺夫-玻姆效应是其实验证据。
- 磁场是旋度场 ： B=∇×A\mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A}B=∇×A ，磁感线是规范势的旋度线，闭环无源。
- 电场是时空梯度 ： E=−∇ϕ−∂A/∂t\mathbf{E} = -\nabla \phi - \partial \mathbf{A}/\partial tE=−∇ϕ−∂A/∂t ，电场和磁场是规范势在不同方向上的投影。
- 力不沿磁感线 ：洛伦兹力 qv×Bq\mathbf{v} \times \mathbf{B}qv×B 垂直于 B\mathbf{B}B ，源于规范势的旋度结构。
- 能流不沿磁感线 ：坡印廷矢量 S=E×B/μ0\mathbf{S} = \mathbf{E} \times \mathbf{B}/\mu_0S=E×B/μ0 垂直于 E\mathbf{E}E 和 B\mathbf{B}B ，能量传输在空间中进行，不在导线内部。
- 对称性破缺统一宏观量子态：超导破缺 U(1) 规范对称性，铁磁破缺自旋旋转对称性，两者都是系统在低温下通过排出熵达到的有序态。
- 静态场不耗能：永磁铁等静态磁场处于热力学基态，不消耗能量，不产生熵。
- 动态过程熵增：磁场变化导致感应电场和焦耳热，能量单向流动，熵增。
8. 结论与展望
8.1 主要结论
本文构建了以规范势 AμA^\muAμ 为基本量的规范场论（GPFT）框架，从三条公理出发，系统推导了电磁场的几何结构、力与能量传输、对称性破缺与宏观量子态、热力学约束等。主要结论包括：
· 规范势 AμA^\muAμ 是电磁相互作用的根本实体，电场和磁场是其导出量。
· 磁感线是 A\mathbf{A}A 的旋度线，闭环源于 ∇⋅B=0\nabla \cdot \mathbf{B} = 0∇⋅B=0 。
· 洛伦兹力与坡印廷能流的方向垂直于磁场，源于规范势的旋度结构。
· 超导与铁磁统一于对称性自发破缺，区别在于破缺的对称性类型。
· 静态磁场处于热力学基态，不耗能；动态过程熵增，能量单向流动。
8.2 未来展望
GPFT理论框架为进一步探索提供了新视角：
· 拓扑物态 ：在量子自旋液体、拓扑绝缘体等系统中，规范势可以表现为有效的规范场，揭示新的对称性破缺类型 5。
· 高温超导机理 ：铜氧化物超导体的配对机制与自旋涨落密切相关，规范对称性破缺与自旋旋转对称性破缺的耦合可能是理解其机理的关键。
· 磁单极子 ：若自然界存在磁单极子，则 ∇⋅B=ρm\nabla \cdot \mathbf{B} = \rho_m∇⋅B=ρm ，规范势必须具有狄拉克弦等拓扑缺陷。大统一理论预言其存在，但实验尚未发现 6。本框架自然允许这种扩展。
· 早期宇宙 ：在宇宙极早期，规范势的量子涨落可能是宇宙大尺度结构（如星系分布）的种子 7。
· 引力类比：引力与规范场在数学结构上有深刻类比，本框架可能为引力规范理论提供启发。
参考文献
1 Y. Aharonov and D. Bohm, Phys. Rev. 115, 485 (1959).
2 V. L. Ginzburg and L. D. Landau, Zh. Eksp. Teor. Fiz. 20, 1064 (1950).
3 F. London and H. London, Proc. R. Soc. London A 149, 71 (1935).
4 P. W. Anderson, Phys. Rev. 86, 694 (1952).
5 X. G. Wen, Phys. Rev. B 65, 165113 (2002).
6 P. A. M. Dirac, Proc. R. Soc. London A 133, 60 (1931).
7 A. H. Guth, Phys. Rev. D 23, 347 (1981).
8 J. D. Jackson, Classical Electrodynamics, 3rd ed. (Wiley, 1999).
9 M. E. Peskin and D. V. Schroeder, An Introduction to Quantum Field Theory (Westview, 1995).
10 S. Weinberg, The Quantum Theory of Fields, Vol. 1 (Cambridge University Press, 1995).
附录 A：规范固定与物理量
在库仑规范 ∇⋅A=0\nabla \cdot \mathbf{A} = 0∇⋅A=0 下，矢势满足：
∇2A−1c2∂2A∂t2=−μ0J⊥,\nabla^2 \mathbf{A} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \mathbf{A}}{\partial t^2} = -\mu_0 \mathbf{J}_\perp,∇2A−c21∂t2∂2A=−μ0J⊥,
其中 J⊥\mathbf{J}_\perpJ⊥ 是横电流。这一规范便于处理辐射问题。
在伦敦规范 ∇⋅A=0\nabla \cdot \mathbf{A} = 0∇⋅A=0 且 A⊥=0\mathbf{A}_\perp = 0A⊥=0 在超导体内部，可直接导出迈斯纳效应。
附录 B：阿哈罗诺夫-玻姆效应的推导
在存在矢势 A\mathbf{A}A 时，电子波函数满足：
iℏ∂ψ∂t=12m(−iℏ∇−eA)2ψ.i\hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} = \frac{1}{2m}(-i\hbar\nabla - e\mathbf{A})^2 \psi.iℏ∂t∂ψ=2m1(−iℏ∇−eA)2ψ.
对于在磁场为零的区域运动的电子，可写为：
ψ(r)=ψ0(r)exp(ieℏ∫r0rA⋅dl),\psi(\mathbf{r}) = \psi_0(\mathbf{r}) \exp\left( \frac{ie}{\hbar} \int_{\mathbf{r}_0}^{\mathbf{r}} \mathbf{A} \cdot d\mathbf{l} \right),ψ(r)=ψ0(r)exp(ℏie∫r0rA⋅dl),
其中 ψ0\psi_0ψ0 是 A=0\mathbf{A}=0A=0 时的解。当电子沿两条路径从源到屏时，相位差为：
Δθ=eℏ(∫path 1A⋅dl−∫path 2A⋅dl)=eℏ∮A⋅dl=eℏΦ.\Delta \theta = \frac{e}{\hbar} \left( \int_{\text{path 1}} \mathbf{A} \cdot d\mathbf{l} - \int_{\text{path 2}} \mathbf{A} \cdot d\mathbf{l} \right) = \frac{e}{\hbar} \oint \mathbf{A} \cdot d\mathbf{l} = \frac{e}{\hbar} \Phi.Δθ=ℏe(∫path 1A⋅dl−∫path 2A⋅dl)=ℏe∮A⋅dl=ℏeΦ.
该相位差导致干涉条纹移动，移动量正比于 Φ\PhiΦ ，与规范选择无关。
附录 C：伦敦方程的推导
从金兹堡-朗道自由能出发，对 A\mathbf{A}A 变分得超导电流密度：
Js=e∗m(ℏiψ∗∇ψ−ℏiψ∇ψ∗)−e∗2mA∣ψ∣2.\mathbf{J}_s = \frac{e^*}{m} \left( \frac{\hbar}{i} \psi^* \nabla \psi - \frac{\hbar}{i} \psi \nabla \psi^* \right) - \frac{e^{*2}}{m} \mathbf{A} |\psi|^2.Js=me∗(iℏψ∗∇ψ−iℏψ∇ψ∗)−me∗2A∣ψ∣2.
若取 ψ=nseiθ\psi = \sqrt{n_s} e^{i\theta}ψ=ns eiθ 并选择规范使 θ=0\theta = 0θ=0 ，则得伦敦方程 Js=−nse∗2mA\mathbf{J}_s = -\frac{n_s e^{*2}}{m} \mathbf{A}Js=−mnse∗2A 。