1、二次型的定义及其矩阵表达式
定义：
元变量
的二次齐次多项式
称为**元二次型** ，简称二次型
矩阵表达式：
则二次型可表示为（矩阵表达式）
例题：
写出三元二次型的二次型矩阵
。
系数矩阵的秩称为二次型
的秩，比如本题中，
，其秩为
,故其对应的二次型的秩也是3。
2、合同变换，二次型的合同标准型、规范形
2.1、线性变换的定义
对于n元二次型，若令
可写成
若其中可逆，则称为可逆的线性变换 ，现给出
，令
，则
2.2、矩阵合同的定义与性质
上述二次型系数矩阵与
有下述关系,C是可逆矩阵
则称为与
合同，记作
，此时称其对应的二次型为合同二次型
2.3、二次型的标准形、规范形
若二次型中只含有平方项，没有交叉项（即所有交叉项的系数全为零），即形如
的二次型称为标准形
若标准形中，系数的取值范围为
，即形如
的二次型称为规范形
3、实对称矩阵化为标准形、规范形的两种方法
定理一：配方法
任何二次型均可通过配方法 （作可逆线性变换
）化成标准形及规范形，用矩阵语言来表述：任何实对称矩阵
，必存在可逆矩阵
（不是唯一的），使得
其中
例题1： 化二次型为标准形，并写出所作的可逆线性变换。
解： 先对及所有含
的混合项
陪完全平方，有
作线性变换
把二次型化为标准形
将线性变换表示成矩阵的形式，即
其实可逆，故是可逆的线性变换。
例题2： 将二次型化为规范形，并求所用的可逆线性变换
解：
则
令
得二次型的规范形为
所用线性变换为
其中C可逆，故是可逆线性变换
定理二：正交变换法
任何二次型也可以通过正交变换
化成标准型，用矩阵语言表述：任何是对承矩阵
，一定存在正交矩阵
（不是唯一的），使得
其中
**例题：**用正交变换化二次型
为标准形，并求所作的正交变换
**解：**二次型对应的矩阵为
可得A有特征值
当时，基础解析为
当，基础解系为
将对应的特征向量
标准正交化
取
不妨取，再把单位化
得正交矩阵令
，则原二次型化为标准形
其中正交变换为
4、惯性定理
无论选取什么样的可逆线性变换，将二次型化成标准形或规范形，其正项个数，负项个数
都是不变的，
称为正惯性指数 ，
称为负惯性指数
相似变换 下不变的是k阶主子式之和 = k个特征值乘积的和
注：若二次型的秩为，则
，可逆线性变换不改变正、负惯性指数
5、正定二次型及其判别
定义：n元二次型，若任意的
，均有
，则称
为正定二次型，称二次型的对应矩阵A为正定矩阵
5.1、二次型正定的充要条件
①对任意的，均有
②的正惯性指数
③存在可逆矩阵，使得
④
⑤的特征值
⑥的全部顺序主子式均大于0
额为补充：
⑦是正定矩阵
5.2、二次型正定的必要条件
①
②
③是正定矩阵
5.3、如何判断一个矩阵是不是正定矩阵
①一定是一个对称矩阵
②再用充要条件