C++ 二叉搜索树

比昨天多敲两行2026-03-30 22:51

一、二叉搜索树的概念​

二叉搜索树又称二叉排序树，它的定义非常明确：它要么是一棵空树，要么是具有以下三个核心性质的二叉树，这也是判断一棵二叉树是否为BST的关键依据：​

1.若它的左子树不为空，则左子树上所有结点的值都小于等于根结点的值；​

2.若它的右子树不为空，则右子树上所有结点的值都大于等于根结点的值；​

3.它的左、右子树也分别为二叉搜索树（递归定义）。​

这里需要重点说明：二叉搜索树是否支持插入相等的值，没有固定规则，完全取决于使用场景。后续我们学习的STL容器中，map、set不支持插入相等值，而multimap、multiset支持插入相等值，本质就是基于二叉搜索树的规则调整实现的。

直观示例

下面这棵树是典型的二叉搜索树，对照性质可直接验证。

8​

/ \​

3 10​

/ \ \​

1 6 14​

/ \ /​

4 7 13

二、二叉搜索树的性能分析

二叉搜索树的核心价值的是高效的增删查改操作，但性能好坏完全取决于树的结构，主要分为两种情况：

最优情况下 ，⼆叉搜索树为完全⼆叉树(或者接近完全⼆叉树)，其⾼度为：log2N

最差情况下 ，⼆叉搜索树退化为单⽀树(或者类似单⽀)，其⾼度为：N

所以综合⽽⾔⼆叉搜索树增删查改时间复杂度为： O(N) 那么这样的效率显然是⽆法满⾜我们需求的，我们后面会学到⼆叉搜索树的变形，平衡⼆ 叉搜索树AVL树和红⿊树，才能适⽤于我们在内存中存储和搜索数据。

另外需要说明的是，⼆分查找也可以实现O(logN) 2级别的查找效率，但是⼆分查找有两⼤缺陷：

  1. 需要存储在⽀持下标随机访问的结构中，并且有序。

  2. 插⼊和删除数据效率很低，因为存储在下标随机访问的结构中，插⼊和删除数据⼀般需要挪动数 据。

这⾥也就体现出了平衡⼆叉搜索树的价值。

三、⼆叉搜索树的插⼊

插⼊的具体过程如下：

  1. 树为空，则直接新增结点，赋值给root指针

  2. 树不空，按⼆叉搜索树性质，插⼊值⽐当前结点⼤往右⾛，插⼊值⽐当前结点⼩往左⾛，找到空位 置，插⼊新结点。

  3. 如果⽀持插⼊相等的值，插⼊值跟当前结点相等的值可以往右⾛，也可以往左⾛，找到空位置，插 ⼊新结点。（要注意的是要保持逻辑⼀致性，插⼊相等的值不要⼀会往右⾛，⼀会往左⾛）

cpp 复制代码 
int a[] = {8, 3, 1, 10, 6, 4, 7, 14, 13};

代码实现：

cpp 复制代码 
//BinarySearch.h
#include<iostream>
using namespace std;

	template<class K>
	struct BSTNode//树节点
	{
		K _key;
		BSTNode<K>* _left;
		BSTNode<K>* _right;

		BSTNode(const K& key)
			:_key(key)
			,_left(nullptr)
			,_right(nullptr)
		{ }
	};

	template<class K>
	class BSTree
	{
		using Node = BSTNode<K>;//和typedef Node = BSTNode<K>;一样的作用	
	public:
		//插入
		bool Insert(const K& key)
		{   
            //空树情况
			if (_root == nullptr)
			{
				_root = new Node(key);
				return true;
			}

			//树非空，查找插入位置
			Node* parent = nullptr;
			Node* cur = _root;
			while (cur)
			{
				if (cur->_key<key)
				{
					parent = cur;
					cur = cur->_right;
				}
				else if (cur->_key > key)
				{
					parent = cur;
					cur = cur->_left;
				}
				else
				{
					return false;// 遇到重复值，插入失败（不支持重复值）
				}
			}
            // 找到空位置，创建新节点，插入到父节点的左/右
			cur = new Node(key);
			if (parent->_key < key)
			{
				parent->_right = cur;
			}
			else
			{
				parent->_left = cur;
			}
			return true;
		}

	private:
		Node* _root = nullptr;
	};

四、 ⼆叉搜索树的查找

  1. 从根开始⽐较，查找x，x⽐根的值⼤则往右边⾛查找，x⽐根值⼩则往左边⾛查找。

  2. 最多查找⾼度次，⾛到到空，还没找到，这个值不存在。

  3. 如果不⽀持插⼊相等的值，找到x即可返回。

  4. 如果⽀持插⼊相等的值，意味着有多个x存在，⼀般要求查找中序的第⼀个x。

代码实现：

cpp 复制代码 
//查找
bool Find(const K& key)
{
	Node* cur = _root;
	while (cur)
	{
		if (key > cur->_key)
		{
			cur = cur->_right;
		}
		else if (key < cur->_key)
		{
			cur = cur->_left;
		}
		else
		{
			return true;
		}
	}
	return false;
}

五、⼆叉搜索树的删除

⾸先查找元素是否在⼆叉搜索树中，如果不存在，则返回false。

如果查找元素存在则分以下四种情况分别处理：（假设要删除的结点为N）

  1. 要删除结点N左右孩⼦均为空
  1. 要删除的结点N左孩⼦位空，右孩⼦结点不为空
  1. 要删除的结点N右孩⼦位空，左孩⼦结点不为空
  1. 要删除的结点N左右孩⼦结点均不为空，这是最复杂的情况，也是本章难点。

对应以上四种情况的解决⽅案：

  1. 把N结点的⽗亲对应孩⼦指针指向空，直接删除N结点（情况1可以当成2或者3处理，效果是⼀样 的）

  2. 把N结点的⽗亲对应孩⼦指针指向N的右孩⼦，直接删除N结点

  3. 把N结点的⽗亲对应孩⼦指针指向N的左孩⼦，直接删除N结点

  4. ⽆法直接删除N结点，因为N的两个孩⼦⽆处安放，只能⽤替换法删除。

对应要删除的N节点：

1.找到N的左子树的最大值进行替换，然后删除N；

2.找到N的右子树的最小值进行替换，然后删除N；

以上两种方法任意一个都可以。

假设使用方法2：

找到被删节点（cur）的右子树最小节点当替换节点（replace），替换后让replac的父亲节点（replaceparent）指向replace的右子树，最后删除replace。

情况1：replace在replaceparent的左子树，replaceparent就指向replace的右子树。

情况2：replace在replaceparent的右子树，replaceparent就指向replace的右子树。

代码实现：

cpp 复制代码 
//删除
bool Erase(const K& key)
{
	if (Find(key)==0)
		return false;

	Node* parent = nullptr;
	Node* cur = _root;

	while (cur)
	{
		//查找
		if (cur->_key < key)
		{
			parent = cur;
			cur = cur->_right;
		}
		else if (cur->_key > key)
		{
			parent = cur;
			cur = cur->_left;
		}
		else
		{
			//删除	
			if (cur->_left == nullptr)//被删节点左为空的情况
			{
				if (cur == _root)
				{
					_root = cur->_right;
				}
				else
				{
					if (parent->_left == cur)//在父亲的左边
					{
						parent->_left = cur->_right;
					}
					else
					{
						parent->_right = cur->_right;
					}
				}
				delete cur;
			}
			else if (cur->_right == nullptr)//被删节点右为空的情况
			{
				if (cur == _root)
				{
					_root = cur->_left;
				}
				else
				{						
					if (parent->_left == cur)
					{
						parent->_left = cur->_left;
					}
					else
					{
						parent->_right = cur->_left;
					}
				}
				delete cur;
			}
			else
			{
				//被删节点左右子树都不为空
				//找其右子树最左节点
				Node* replaceParent = cur;
				Node* replace = cur->_right;
				while (replace->_left)
				{
					replaceParent = replace;
					replace = replace->_left;
				}
				cur->_key = replace->_key;

				if (replaceParent->_left == replace)
					replaceParent->_left = replace->_right;
				else
					replaceParent->_right = replace->_right;

				delete replace;
			}
			return true;//成功找到要删除的节点并删除
		}
	}
	return false;//未找到要删除的节点
}

六、二叉搜索树的两种使用场景（key / key-value）

二叉搜索树主要有两种使用场景，对应两种节点结构，我们分别说明并实现key-value场景的代码。

6.1 key搜索场景

核心特点：结构中只存储key（关键码），核心需求是判断key是否存在，支持增删查，但不支持修改key（修改key会破坏BST的有序性）。

典型应用场景

  • 小区无人值守车库：将业主车牌号作为key存入BST，车辆进入时扫描车牌，查找是否在BST中，在则抬杆，不在则禁止进入；

  • 英文单词拼写检查：将词库中所有单词作为key存入BST，读取文章中的单词，查找是否在BST中，不在则提示拼写错误。

我们前面实现的BSTree<K>，就是典型的key搜索场景。

cpp 复制代码 
#include"BinarySearch.h"
int main()
{
	key_value::BSTree<string, string> dict;
	dict.Insert("left", "左边");
	dict.Insert("right", "右边");
	dict.Insert("insert", "插入");
	dict.Insert("string", "字符串");

	string str;
	while (cin >> str)
	{
		auto ret = dict.Find(str);
		if (ret)
		{
			cout << "->" << ret->_value << endl;
		}
		else
		{
			cout << "无此单词，请重新输入" << endl;
		}
	}
	return 0;
}

6.2 key-value搜索场景

核心特点：每个key对应一个value（值），节点中需要同时存储key和value，增删查仍以key为关键字，支持修改value（不支持修改key），核心需求是通过key快速找到对应的value。

典型应用场景

  • 简单中英互译字典：key为英文单词，value为中文释义，输入英文key，快速查找对应的中文释义；

  • 商场无人值守车库：key为车牌号，value为入场时间，出场时通过车牌号（key）查找入场时间，计算停车时长和费用；

  • 单词出现次数统计：key为单词，value为出现次数，读取单词时，若key不存在则插入（key, 1），若存在则将value++。

cpp 复制代码 
int main()
{
	string arr[] = { "苹果", "西瓜", "苹果", "西瓜", "苹果", "苹果", "西瓜",
	"苹果", "香蕉", "苹果", "香蕉" };
	key_value::BSTree<string, int> countTree;

	for (const auto& str : arr)
	{
		// 先查找水果在不在搜索树中
		// 1、不在，说明水果第一次出现，则插入<水果, 1>
		// 2、在，则查找到的结点中水果对应的次数++
		auto ret = countTree.Find(str);
		if (ret == nullptr)
		{
			countTree.Insert(str, 1);
		}
		else
		{
			// 修改value
			ret->_value++;
		}
	}
	countTree.Inorder();
	return 0;
}

七、全文总结

二叉搜索树是C++数据结构的重点，也是后续高级树形结构的基础，核心要点总结如下：

  1. 概念：二叉搜索树要么是空树，要么满足"左子树≤根，右子树≥根"，左右子树也为BST；是否支持重复值，取决于使用场景。

  2. 性能：最优情况（完全二叉树）时间复杂度 \(O(log _{2} N)\)，最差情况（单支树）退化到 \(O(N)\)，后续需学习AVL树、红黑树优化。

  3. 核心操作： - 插入：按BST性质查找空位置，插入新节点，不支持重复值则返回false； - 查找：按BST性质缩小范围，最多查找树的高度次； - 删除：分4种场景，核心是"替换法"处理左右子树均非空的情况，删除后保持BST有序。

  4. 使用场景： - key场景：只判断key是否存在，不支持修改key； - key-value场景：通过key找value，支持修改value，不支持修改key。

  5. 关键验证：中序遍历结果为严格递增序列，是判断BST的核心方法。

二叉搜索树的难点在于删除操作的4种场景，建议大家多敲几遍代码，尤其是场景4的替换法，理解替代节点的选择逻辑和删除逻辑。掌握了二叉搜索树，后续学习AVL树、红黑树就会轻松很多，也能更好地理解STL容器的底层实现。

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